河北省秦皇岛市深河乡中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析

河北省秦皇岛市深河乡中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，AB=6，，棱锥O-ABCD的体积为，则球O的表面积为A．

B．

C．

D．参考答案：D由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径，，设O到平面ABCD的距离为h，则，解得∴∴.2.已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|log3x＞0}，则A∩（?UB）=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}参考答案：D【考点】指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先化简集合A、B，求出?UB，然后借助数轴即可求得答案．【解答】解：A={x|x＜0}，B={x|x＞1}，则CUB={x|x≤1}，∴A∩（?UB）={x|x＜0}，故选D．【点评】本题考查指数、对数不等式的解法和集合的运算，属基础题，指数、对数不等式常化同底后利用函数单调性求解．3.已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和是，若是公差为－1的等差数列，且那么的值是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A2.设全集，集合，，则（

）A．(－5,－2]

B．[4,5)

C．(－5,－2)

D．(4,5)参考答案：A5.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，，E、F分别为AB、BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则(

)A.直线A1E与直线C1F异面，且 B.直线A1E与直线C1F共面，且C直线A1E与直线C1F异面，且 D.直线A1E与直线C1F共面，且参考答案：B【分析】连接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性质可知，直线与直线共面.，同理易得，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线与所成角为，然后再利用余弦定理求解.【详解】如图所示：连接，，，，由正方体的特征得，所以直线与直线共面.由正四棱柱的特征得，所以异面直线与所成角为.设，则，则，，，由余弦定理，得.故选：B【点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.6.若实数满足对任意正数，均有，则的取值范围是

．参考答案：7.（多选题）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是（

）A.直线与平面平行B.平面截正方体所得的截面为三角形C.异面直线AD1与A1C1所成的角为D.的最小值为参考答案：ACD【分析】根据线面平行，异面直线夹角，截面图形，线段最值的计算依次判断每个选项得到答案.【详解】如图所示：易知平面平面，平面，故直线与平面平行，正确；平面截正方体所得的截面为为四边形，故错误；连接，，易知，故异面直线与所成的角为，，故，故正确；延长到使，易知，故，当为中点时等号成立，故正确；故选：.【点睛】本题考查了异面直线夹角，截面图形，线面平行，最短距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8.设集合A={x|x2﹣5x﹣14＜0}，B={x|x＞1，x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集，找出交集的个数即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣7）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜7，即A={x|﹣2＜x＜7}，∵B={x|x＞1，x∈N}，∴A∩B={x|1＜x＜7，x∈N}={2，3，4，5，6}，则A∩B的元素的个数为5．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．9.已知复数z＝(cosθ＋i)(2sinθ－i)是纯虚数，θ∈[0,2π)，则θ＝ (

)A.

B.

C. D.参考答案：D10.一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3π B．4π C． D．6π参考答案：A【考点】球内接多面体．【分析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．【解答】解：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．所以球的表面积为：4πR2==3π．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，若，则k=______．参考答案：8【分析】由向量平行的坐标运算即可得出。【详解】，，解得【点睛】若，平行或者共线，则。12.已知双曲线C：的右顶点为A，以点A为圆心，b为半径作圆，且圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，若（O为坐标原点），则双曲线C的标准方程为________.参考答案：【分析】如图，不妨设圆与双曲线的一条渐近线，交于，两点，过点作垂直于该渐近线于点，连接，先求出，，，再由题得到，求出，即得双曲线的标准方程.【详解】由双曲线的方程：，知，不妨设圆与双曲线的一条渐近线，交于，两点，过点作垂直于该渐近线于点，连接，如图.点到渐近线的距离.∵，∴.∵，∴，∴，∴.在中，，，，，即，，∴，∴，∴双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用，考查圆的几何性质，考查平面向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.13.给出以下命题：（1）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的必要不充分条件；（2）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定为锐角三角形；（3）函数与函数y=sinπx，x∈{1}是同一个函数；（4）函数y=f（2x﹣1）的图象可以由函数y=f（2x）的图象按向量平移得到．则其中正确命题的序号是（把所有正确的命题序号都填上）．参考答案：②③略14.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=．参考答案：ln2【考点】变化的快慢与变化率．【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+1和y=ln（x+2）的切点分别为（x1，lnx1+1）、（x2，ln（x2+2））；∵y=lnx+1，y=ln（x+2）∴y′=，y′=，∴k==，∴x1﹣x2=2，切线方程分别为y﹣（lnx1+1）=（x﹣x1），即为y=+lnx1，或y﹣ln（x2+2）=（x﹣x2），即为y=++lnx1，∴=0，解得x1=2，∴b=ln2故答案为：ln2【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．15.在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．参考答案：y2=4x【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=2，从而得到抛物线C的方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．16.函数f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣），x∈（，）的值域是．参考答案：（，1]【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=sin2x，x∈（，）?2x∈（，），利用正弦函数的单调性与最值即可求得其值域．【解答】解：∵f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）=﹣=（sin2x+sin2x）=sin2x，∵x∈（，），∴2x∈（，），∴＜sin2x≤1，即当x∈（，）时，函数f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）的值域是（，1]．故答案为：（，1]．17.四进制数123（4）化为十进制数为．参考答案：27考点：进位制．专题：计算题；算法和程序框图．分析：利用累加权重法，即可将四进制数转化为十进制，从而得解．解答：解：由题意，123（4）=1×42+2×41+3×40=27，故答案为：27．点评：本题考查四进制与十进制之间的转化，熟练掌握四进制与十进制之间的转化法则是解题的关键，属于基本知识的考查．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数R),其中.(1)若,求曲线在点的切线方程;（6分）(2)若在区间上，>0恒成立，求a的取值范围.（8分）参考答案：解:(1)当a=1时3;……

1分f′(x)′(2)=6.……

3分所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),……

5分即.

……

6分(2)f′1).令f′(x)=0,解得x=0或.

……

7分以下分两种情况讨论:①若则.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

当时,f(x)>0等价于

即

……

9分解不等式组得-5<a<5.因此.……

10分②若a>2,则.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

当时,f(x)>0等价于

即

…

12分解不等式组得或.因此2<a<5.

…

13分综合①和②,可知a的取值范围为.……

14分19.

几何体EFG—ABCD的面ABCD，ADGE，DCFG均为矩形，AD=DC=l，AE=。

（I）求证：EF⊥平面GDB； （Ⅱ）求三棱锥D—BEF的体积。

参考答案：（Ⅰ）且,为平行四边行，,在正方形中，,……2分由面,又面，面,，……4分,面．……6分（Ⅱ）设EF的中点为M，连GM、BM，则GM//DB，GM与DB共面由（Ⅰ）知EF平面GDBM，又EF平面BEF，平面BEF平面GDBM，交线为BM，过点D作DOBM于点O，则DO平面BEF，即DO为三棱锥D－BEF的高……8分，……10分BE＝BF＝，EF＝，BM＝．……12分

略20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，DP=DC，E是PC的中点，过点D作DF⊥PB交PB于点F．

（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）若AD⊥BD，求证：PC⊥DF；（Ⅲ）若四边形ABCD为正方形，在线段PA上是否存在点G，使得二面角E-BD-G的平面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说面理由．参考答案：（1）（2）略

（3）.=121.（本题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆内一点M(1,3)的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线于点N，若，求证：为定值，并求出此定值.

参考答案：(1)椭圆的标准方程为：；…………4分(2)设，由得所以，…………7分，因为上，所以得到，得到；…………9分同理，由可得所以m,n可看作是关于x的方程的两个根，所以为定值.……12分

22.（本小题满分12分）数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，前项和为.数列是等差数列，前项和满足（为常数，且）.（1）求数列的通项公式及的值；（2）令求证：.参考答案：【知识点】等差数列的通项公式；不等式的证明；数列求和。D2D4【答案解析】(1)，（2）见解析解析：（1）