河北省秦皇岛市新世纪高级中学高三数学文下学期期末试题含解析

河北省秦皇岛市新世纪高级中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（] B．（） C．（] D．（）参考答案：D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】先作出函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，得到x2+x3=6，且﹣＜x1＜0；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可．【解答】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选D2.已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx﹣1与该抛物线交于第一象限内的零点A，B，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）A． B． C． D．参考答案：D考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，利用抛物线的定义表示出|AF|与|FB|，再利用直线与抛物线方程组成方程组，结合根与系数的关系，求出k的值即可．解答：解：∵抛物线方程为x2=4y，∴p=2，准线方程为y=﹣1，焦点坐标为F（0，1）；设点A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=y1+=y1+1，|FB|=y2+=y2+1；∵|AF|=3|FB|，∴y1+1=3（y2+1），即y1=3y2+2；联立方程组，消去x，得y2+（2﹣4k2）y+1=0，由根与系数的关系得，y1+y2=4k2﹣2，即（3y2+2）+y2=4k2﹣2，解得y2=k2﹣1；代入直线方程y=kx﹣1中，得x2=k，再把x2、y2代入抛物线方程x2=4y中，得k2=4k2﹣4，解得k=，或k=﹣（不符合题意，应舍去），∴k=．故选：D．点评：本题考查了抛物线的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了直线与抛物线的综合应用问题，考查了方程思想的应用问题，是综合性题目．3.如图所示的程序框图输出的结果是S=720，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤9 D．i＞9参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据程序输出的结果，得到满足条件的i的取值，即可得到结论．【解答】解：第一次运行，i=10，满足条件，S=10×1=10，i=9第二次运行，i=9，满足条件，S=10×9=90，i=8，第三次运行，i=8，满足条件，S=90×8=720，i=7，此时不满足条件，输出S=720，故条件应为，8，9，10满足，i=7不满足，故条件为：i＞7，故选：B．4.已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a在区间[0，1]上的最大值为2，则a的值为(

)A．2 B．﹣1或﹣3 C．2或﹣3 D．﹣1或2参考答案：D【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用二次项系数为﹣1，函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a的图象的开口方向是向下，对称轴为x=a，因此需要按对称轴与区间的关系进行分类讨论．【解答】解：函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a的对称轴为x=a，图象开口向下，①当a≤0时，函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a在区间[0，1]是减函数，∴fmax（x）=f（0）=1﹣a，由1﹣a=2，得a=﹣1，②当0＜a≤1时，函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a在区间[0，a]是增函数，在[a，1]上是减函数，∴fmax（x）=f（a）=﹣a2+2a2+1﹣a=a2﹣a+1，由a2﹣a+1=2，解得a=或a=，∵0＜a≤1，∴两个值都不满足；③当a＞1时，函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a在区间[0，1]是增函数，∴fmax（x）=f（1）=﹣1+2a+1﹣a=a，∴a=2综上可知，a=﹣1或a=2．故选：D．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．也可以利用回代验证法判断选项．5.已知双曲线的一个焦点与抛物线=24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为300，则该双曲线的标准方程为参考答案：B

【知识点】抛物线的简单性质．H7解析：抛物线=24y的焦点为（0，6），

即有双曲线的焦点为（0，±6），

设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），则c=6，

由渐近线方程为．则有，

又a2+b2=c2，解得a=3，b=3，则双曲线的方程为．

故选B．【思路点拨】出抛物线的焦点，即有c=6，求得渐近线方程即有，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．6.已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn=sgnx B．sgn=﹣sgnx C．sgn=sgn D．sgn=﹣sgn参考答案：B【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=sgn（x+1）=；sgn=sgn（﹣x）=，﹣sgn=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7.设函数是定义在上的偶函数,对任意,都有,且当时,,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：由得,作出图像如下.关于的方程恰有三个不同的实数根,就是函数与有三个不同的交点，即，选B.考点：函数零点【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.8.若直角坐标系中有两点满足条件：（1）分别在函数、的图象上，（2）关于点（1，0）对称，则称是一个“和谐点对”。函数的图象与函数的图象中“和谐点对”的个数是（）A．4

B．6

C．8

D．10参考答案：A9.“≤k≤”是“关于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx有且仅有2个正整数解”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；综合法；简易逻辑．【分析】由图可求得“关于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx有且仅有2个正整数解”的k的取值范围，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：关于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx即﹣x＞k，设y=﹣x，则y′=，令y′=﹣的零点为a，则a∈（0，1），且当x∈（0，a）时，y′＞0，y=﹣x为增函数，当x∈（a，+∞）时，y′＞0，y=﹣x为减函数，故函数y=﹣x的图象如下图所示：要使﹣x＞k有且仅有2个正整数解，则k∈[，），即≤k＜”，故“≤k≤”是“关于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx有且仅有2个正整数解”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，存在性问题，数形结合思想，其中求出“关于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx有且仅有2个正整数解”的充要条件，难度较大．10.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是A. B.C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.参考答案：112

12.已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若，则C的离心率为________.参考答案：【分析】先求出点A到渐近线的距离为，再解方程即得解.【详解】由题得双曲线的渐近线方程为由题得△AMN是等边三角形，边长为b.所以点A到渐近线的距离为.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为．参考答案：10【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．【解答】解：样本间隔为80÷5=16，∵42=16×2+10，∴该样本中产品的最小编号为10，故答案为：10．14.由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成_______个数字不重复且2，3相邻的四位数（用数字填空）.参考答案：答案：6015.（几何证明选讲选做题）如图5，是梯形的中位线，记梯形的面积为，梯形的面积为，若，则

，

．参考答案：略16.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则=．

参考答案：1考点： 平面向量数量积的运算．专题： 计算题．分析： 将表示为，再利用向量的运算法则，数量积的定义求解．解答： 解：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，＜＞=60°，=180°﹣60°=120°∵=，∴=（+）?=?+?=2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1故答案为：1．点评： 本题考查向量的数量积运算．关键是将将表示为．易错点在于将有关向量的夹角与三角形内角不加区别，导致结果出错．本题还可以以为基底，进行转化计算．17.用min{a，b}表示a，b二个数中的较小者．设f（x）=min{}，则f（x）的最大值为

．参考答案：2【考点】函数的最值及其几何意义；对数值大小的比较．【分析】讨论当+3≤log2x，当+3＞log2x，由对数函数的单调性可得x的范围，f（x）的解析式，再由单调性求得最大值．【解答】解：当+3≤log2x，即为3﹣log2x≤log2x，即log2x≥3，解得x≥4，即有f（x）=+3，当x=4时，取得最大值3﹣1=2；当+3＞log2x，解0＜x＜4，即有f（x）=log2x，由f（x）递增，则f（x）＜2．综上可得f（x）的最大值为2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点．（1）求点的轨迹的方程；（2）若在的方程中，令，．设轨迹的最高点和最低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？参考答案：解析：如图，（1）设椭圆Q：（a>b>0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1°当AB不垂直x轴时，x11x2，由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0

\b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0（2）因为轨迹H的方程可化为：\M（，），N（，－），F（c，0），使△MNF为一个正三角形时，则tan＝＝，即a2＝3b2.由于，，则1＋cosq＋sinq＝3sinq，得q＝arctan19.平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点取自△内部的概率为______．参考答案：,根据几何概型可知点取自△内部的概率为，其中为平行四边形底面的高。20.（12分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABC；（Ⅱ）当∠PCB=60°时，求三棱锥A﹣PCB的体积．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）=．（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于点O，∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC，即O为△ABC的外心，又∵△ABC中，∠ACB=90°，故O为AB边的中点，所以PO?平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）∵PA=PB=PC，∠PCB=60°，∴△PCB为正三角形，∵AC=CB=2，∴PA=PB=PC=2，∴OA=PO=，∴三棱锥A﹣PCB的体积VA﹣PCB=VP﹣ACB=?PO===．…（12分）21.已知椭圆过点，两个焦点为F1，F2，椭圆的离心率为为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)过左焦点F1作直线L交椭圆于P，Q两点（异于左右顶点），求的内切圆半径的最大值．参