初中数学 第八讲 动态几何与函数问题

xx中数重点题座第八讲态几何与函数问【前言】在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析整说来代几综合题大概有两个侧重第一个是侧重几何方面利几何图形的性质结合代数知识来考察另一个则是侧重代数方面何质只是一个引入点更的考察了考生的计算功夫是这两种侧重也没有很严格的分野多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象过从近年北京中考的趋势上看求构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小多是一个较为简单的函数式现中考数学的考试说明当中“减少复杂性灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。【例】如图①所示，直角梯形OABC的点A、分在y轴半轴与轴负半轴上过、C作线l

.

将直线l

平移，平移后的直线l

与

x

轴交于点D与轴交于点E.（）直线

l

向右平移，设平移距离CD

t

（角梯形OABC被线

l

扫过的面积（图中阴影部份）为，关于

t

的函数图象如图所示OM为段MN抛物线的一部分NQ为射线，且NQ平行于轴N点坐标为4，求梯形上底AB的长及直角形OABC的积（）

时，求S关

t

的函数解析式.【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图第1页

共20页

二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个点何含义，于是无从下手。其实就表示当平移距离为2的候整个影部分面积为8，相对的N表示移动距离超过4之阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D移动过了0点时候所根据这么几种情况去作答就可以了二建立函数式则需要看出当24时阴影部分面积就是整个梯形面积减去的积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系利用对应关系去分段求解。【解】（）图2）知，M点的坐标是2，）∴由此判断：

；∵点横坐标是4，∴CO4

NQ是行于轴的射线，∴直角梯形OABC的面积为：（）2时

AB2.....(3分阴影部分的面积直角形的面积的面积

(本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关)∴∵∴

ODOEOE

.∴t

.【例】已知矩中别所直线为轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系．是

上的一个动点（不与

B，

重合F点反比例函数

y

kx

的图象与AC边于点E．（）证：△AOE与△BOF的积相等；第2页

共20页

12112221211222（）

△OEF△ECF

，求当k为值时，有大值，最大为多少？（请索是否存在这样的点使将CEF沿EF对折后，点好落在上？若存在，求出点的标；若不存在，说明理由．【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上AOE和FOB这个直角三角形的底边和高恰好就是点横坐标和纵坐标这个乘积恰好就是反比例函数的系数所以直接设点即可轻松证出结果。第二问有些同学可能依然纠结这个△EOF的积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个积都是异常好求的。于是利用矩形面积减去三个小面积可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值第问的思路就是假设这点存在，看看能不能证明出来为翻折问题，翻折之后大量相等的角和边所自然去利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就【解析】（）明：设

(，)，x，)12

，

△

与

△FOB的积别为，S，1由题意得

ky，．xx121

111xk，xk2

．S1

，即

△

与

△

的面积相等．（）题意知：E，F两点坐标分别为E

，想到这样设点可以直接用X去入

麻烦一点而已第3页

共20页

△ECF2124124k4k1△ECF2124124k4k13k1k2，

11CFk3k234

，

△EOF

矩形AOBC

△AOE

△BOF

△

k

△ECF

OEF

11243S

k

2

．当

1

时，

有最大值．最大值

1

．（）：设存在这样的点，CEF沿EF对折后，C点好落在OB边的M点，过点E作

OB

，垂足为

．由题意得：

AO

k，MFCF

，EMNFMBMFB90MFB

．又

ENM，ENMMBF

．将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当)11ENEM312，MBMF412

，MB

．MB

2

2

2

，k4

，解得

k

．k

．

存在符合条件的点F，的坐标为

．【例】第4页

共20页

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥，＝°＝，＝AD＝。点P从出发，沿射线DA的向以每秒两单位长的速度运动，动点Q从点C出发线CB以每秒1个位长的速度向点运分从D同出发，当点Q运到点B时点随停止运动。设运动的间为t（秒（）△的积为S求S与t

之间的函数关系式；（）t

为何值时，以，，三为顶点的三角形等腰三角形？（）否存在时刻t，得⊥？存在，求出t

的值；若不存在，请说明理由。【思路分析】本是一道和一二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上讲时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化哪量没有变化对该来说当运时eq\o\ac(△,，)BPQ高的长度始终不变即CD长所以只需关注变化的边BQ即可，于是列出函数式。第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件过勾股定理建立方程去求解三很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘记这个题目中贯穿始终的不动—，过Q做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明PEQ和△BCD是似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系这中只有是知的于得解。这题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用每一小问和它休戚相关用这个不变的高区建立函数建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。【解析】解：（）如图1，点P作PM⊥，足为M则四边形为形。∴＝＝∵＝－，S＝

××t)＝－

A

P

D（）图可知：CM＝PD＝，＝。热以BP、三为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。

B

MQ图1

C①若PQ＝。在eq\o\ac(△,Rt)PMQ中

PQ

22

，由＝第5页

共20页

得

t

22

，解得＝

72

；②若＝。在eq\o\ac(△,Rt)PMB中

BP

2

t)

2

2

。由＝BQ2得：(16)2)

2

即t

321440。由于Δ＝－＜∴3t32144无，≠…③若＝。PB2＝，

t整理，得3

64256。得

t1

，2

（舍想为什么要舍？函自变量的取值范围是多少？）7综合上面的讨论可知：当＝秒t2腰三角形。

163

秒时，以B、、三为顶点的三角形是等（）存在时刻，使得PQ⊥。如图2，过点作QEADS，垂足为。由eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)BDC∽eq\o\ac(△,Rt)，PE12t得，即BC1612

。解得t＝

AEO

D所以，当t＝秒时⊥。【例】

BQ图2

C在Rt中①C=90°，=AB．从出沿CA以秒1个位长的速度向点A匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返；点Q从点A出发沿AB每秒1个位长的速度向点B匀运动随P的动保垂直平分PQ且交PQ于D，折线QB-BC-CP点．Q同出发，当点Q到点B时停止运动，点也之停止．设点P、运的间是t

秒（＞

B（）t=时AP=

，点Q到的距离；（）点P从C向A运动的过程中，求①APQ的积S与t

的函数关系式必出t

的取值范围）

EQ（）点E从向C运的过程中，四边形QBED能成为直角梯形？若能，求t

的值．若不能，请说明理由；

A

D

P

C（）DE过点C时请直接写出t第6页

的值．共20页

【思路分析依然是一道放在几图形当中的函数题是本题略有不同的是动点有一个折返的动作加了思考难,

但是这个条件基本不影响做题

不需要太专注于其上。首先应当注意到的是在运动过程中DE保垂直平分PQ这条件，然后判断

可能的范围因为给出了AC和的长据估计出运动可能呈现的状.第问简单不用多,二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式DE//QB和PQ//BC都分情况讨最后一问则可以直接利用勾股定理或者的等量关系去求解8解），；5

B（）QF于，如图，AQ=CP=，①

．由AQF①①ABC，

，

EQQFt．得．①QFt4514①(3)t，226．即Stt55（）．①当时如图4①PQ，①QB，边形QBED是角梯形．

A

AQ

DFP图DP图

BEC

C此时①AQP=90°．AQAP由APQ①，得ACABt3．即．解t3

，

Q

B①如图，当PQ时DE，四边形是角梯形．

D

E此时①APQ=90°．由AQP①，得

AQAC

，

A

P

图5

Ct．即．解55（）t或t．214【注：①点P由C向A运，过点C方法一、连接，作QG①BC于G，图．

A

P

QD图6

BGC(E)第7页

共20页

55PC，QC

QG

34)][4(5)]55

．由PC

，得t

3)][4)]55

5，解得t．2

B方法二、由

AQ，QCA

，进而可得

Q

GBCQ，CQBQ，①．①t．22

D①点P由A向运，DE经点，图7．3445(6))][4)]，t5514

A

P

图7

C(E)【例】如图，在

eq\o\ac(△,)ABC

中，A，

，

，

，E

分别是边

AB，AC

的中点点P从点D出沿DE方向运动点作于Q过点Q作BA交

于，点与C重时，点P停止运动．BQx，QRy（）点D到BC的离DH的长；（）关x的数关系式（不要求写出自变量的取值范围（否在点P△为腰三角形？若存在求出所有满足要求的x的；若不存在，请说明理由．

AD

R

EB

H

C【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，长度实际上就是后面的度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算H的法很多，不用累述第问列函数式最重要的找到y(QR)和x(BQ)要过哪些量练系在一.

我们发现RQ和QC所在的QRC和△BAC是似,

于是建立起比例关系得出结果第三问依然是要分类讨论

但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下.

不同类之间的解法也有所不同,

需要注意一下第8页

共20页

解）

，

，

，

．点为AB中，

AB

．DHB，B．BHD

，

DHBD，DHACACBCBC5

．（）

QR∥

，QRC90

．C，eq\o\ac(△,)

，

RQQC，ABBC6即关x的数关系式为：

y

x

．（）在，分三种情况：①当PQPR时过点P作PM于M，则QM．A，C90，，，5

B

D1M2H

R

E

C

132512

45

，

．

D

A

P

E

R5①当PQRQ时，

x

，

B

H

Q

Cx

．

A①当QR时，则为PQ中线上的点，

D

EP

R于是点为的点，

B

H

Q

CAC

．QRCCRCA

，第9页

共20页

65x65x328

，．综上所述，当为

或6或时，为腰三角形．【总结】通过以上的例题，大家心里大概都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有一定要求，而且还很考验考生的方程、函数的计算能力。解决这类问题需要注意这么几个点先和纯动态几何题一样终握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系

尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系次要注意特殊图形如等腰三角形角形等的分类讨论第要注意函数自变量的取值范围理筛选出可能的情况最就是在计算环节认真细心，做好每一步。第部发思【思考1】如图所示菱形

ABCD

的边长为6厘，初始时刻开始

、同从A

点出发

以1厘米秒的速度沿

AB

的方向运动以2厘米秒的速度沿

ABCD

的方向运动Q运到点两同时停止运动P

、Q动的时间为秒，APQ与

ABC

重叠部分的面积为平厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形答列问题：（）、Q从发到相遇所用时是

秒；（2）点

、

Q

从开始运动到停止的过程中，当

APQ

是等边三角形时的值是秒；（）与之的函数关系．

D

CPA

Q

B【思路分析】此题一二问不用多说，第三问是比较少见的分段函数。需要运分成第10

共20页

三个阶段第个阶段是0≤≤刚好Q到第阶是≤≤Q返来第三阶段则是再折回根各分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即.【思考2】已知直角坐标系中菱形ABCD的置如图CD两点的坐标分别(4,0)(0,3).现两动点P,Q分从A,C同出发，点P沿线段AD向点运动，点Q沿线CBA向点A运，运动时间为t

秒(1)填空：菱形ABCD的长是、积是、高BE的是；(2)探究下列问题：①若点的度为每秒1个位，点的速度为每秒个单位当Q在段BA上时，求APQ的积S关t

的函数关系式，以及的大值；②若点P的度为每秒1个位，点的速度变为每秒个位，在运动过程任时刻都有相应的值，使得△沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形请究当t=4时的情形，并求出k的值yDOCx【思路分析】依然是面积和时间的函数关系，依然是先做垂线，然后利用三角形的比例关系去列函数式意里这个数式的自变量取值范围是要去求的后在范围中去求得S的大值。最后一问翻折后若要构成菱形，则需三角形APQ为腰三角形即可，于是继续分情况去讨论就行了。第11

共20页

【思考3】已知：等边三角形的边长为4厘，长为1厘米的线MN在ABC的边AB上沿方以米秒的速度向B点动（运动开始时，点与点A重，到达点B线段

时运动终止、分作AB运的时间为t秒

边的垂线△的其它边交于P、Q两，（线

在运动的过程中t

为何值时四形

恰为矩形？并求出该矩形的面积；（线MN在动的过程中四形的面积为运动的时间为t求边形的积S随运动时间t变的函数关系式，并写出自变量t的值范围CQPAMN

B【思路分析】第问就是看运到特殊图形那一瞬间的静止状态，当成正常的几何题去求解因要成为矩形只有一种情况就是PM=QN所以此时MN刚被三角形的高线垂直平分不第问也是较为显的分段函数问题先是N过AB中之其是N过中点之后同时M没过中点是过了中点这三种情况去分解题目讨论。需要注意的就是四边形始终是个梯形高MN是变以PM和长度就成为了求面积中变化的部分。这一类题目计算繁琐，思路多样，所以希望大家仔细琢磨8个经典题型就可以了，中考中总逃不出这些题型的只要研究透了面对它们的时候思路上来的就快题自然不在话下了。第12

共20页

11第部思题析【思考1解】解）．（）．（）当0

x

时，Q3D

CO

P3P2Q2P1

EBAQ1y

△APQ13

3APx22

2

．②当3

x

时，=△APQ

12

?Q22

12

APCQ13(12-x22=

2

3x③当

x时设P3

与

交于点

O

．(解法一)过Q作ECB则eq\o\ac(△,)E3

为等边三角形．第13

共20页

33333333QEECB.COP∽△3CP1OEEQ2x231OC33y△-△ACPeq\o\ac(△,S)COP1OCsin60

31(x·6(2x12)(6)2232

．

x2x3（解法二）如右图，过点

O

作

CP3

于点F，

CQ3

，于点

G,过点作3

交

DC

延长线于点H．ACB,OFOG又

CPCQ23,S△△1△△CPQ3

,

D

Q3

O

G

C

HF

P311CQH32113323(2.6

A

B又

S△

ACP3

sin°第14

共20页

(x

3

(y

AOP

△

△33(x6)(26

x

3x3.【思考2解】24解）,24,5（）由题意，得，如图过点Q作，足为，QG得QGQA①∴,BE

P

y48t①QG=525

,

………分

EGAOC

x∴

12

24APt25

245t(5

≤≤

Q……1分

B

(1①

2425

5(t)22

(

52

≤t

≤（这个自变量的范围很重要）∴当

时，最值为6.第15

共20页

QQ①要△沿的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形据对称的性质△APQ为腰三角形即可

P

yD当t=4秒，∵点P的度为每秒1个位①AP=.

E

M以下分两种情况讨论

A

F

O

x第一种情况：当点在上时Q1A=Q1P.

∵≥，①只存在点使

B1(图)如图过点Q1作，垂足为点MQ1M交A