培优课：与圆有关的轨迹问题 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

培优课：与圆有关的轨迹问题教学设计-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）培优课：与圆有关的轨迹问题教学设计-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册教学内容本节课的教学内容来自于苏教版（2019）选择性必修第一册，第二章“圆锥曲线”的第三节“圆的方程”。具体包括以下几个方面：

1.圆的定义及其标准方程的推导。

2.圆的性质，如圆心到圆上任意一点的距离相等，圆上任意两点与圆心的连线所夹角为圆心角等。

3.圆与圆的位置关系，包括内含、相交、外切和外离。

4.圆的方程在实际问题中的应用，如圆的轨迹问题。

本节课的重点是让学生掌握圆的定义、性质以及方程的推导，难点是圆与圆的位置关系的理解和应用。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过学习圆的定义、性质和方程，学生能够抽象出圆的基本特征，并用数学语言进行描述。同时，通过推导圆的方程和分析圆与圆的位置关系，学生能够锻炼其逻辑推理能力。最后，通过实际问题中的应用，学生能够学会如何建立圆的方程模型，从而培养其数学建模的能力。教学难点与重点1.教学重点

-圆的定义及其标准方程的推导：这是课程的基础部分，需要学生熟练掌握圆的五大要素（圆心、半径、直径、弧、弦）以及如何根据这些要素写出圆的标准方程。

-圆的性质：学生需要理解并能够应用圆的性质解决实际问题，如圆的切线、割线与圆的位置关系，圆的周长和面积公式等。

-圆的方程在实际问题中的应用：通过实际问题引导学生学会建立圆的方程模型，培养学生解决实际问题的能力。

2.教学难点

-圆与圆的位置关系：理解和掌握圆与圆相交、相切、内含、外离等位置关系的判定及应用是教学难点。例如，学生需要能够根据两圆的位置关系判断出圆的交点个数以及如何求解这些交点。

-圆的方程的变换与应用：如何将实际问题转化为圆的方程问题，以及如何通过对方程进行适当的变换来解决实际问题，这对学生来说是一个挑战。例如，通过给定的条件建立圆的方程，求解特定点的坐标或判断某条线段是否为圆的弦。

-圆的方程的证明：在推导和证明圆的方程时，学生需要掌握代数变换和几何证明的方法，这对于培养学生的逻辑推理能力是一个重要的环节。例如，证明圆的方程中等式两边的系数相等，或者证明圆上的点满足特定的条件。教学方法与手段1.教学方法

-问题驱动法：通过提出与圆相关的轨迹问题，激发学生的思考，引导学生主动探索圆的性质和方程。

-案例分析法：通过分析具体的圆的轨迹问题，让学生学会将实际问题转化为圆的方程问题，培养学生的解决问题的能力。

-小组合作法：在探讨圆与圆的位置关系时，学生可以分组讨论，共同完成判定和应用的任务，增强团队协作能力。

2.教学手段

-多媒体演示：利用多媒体课件展示圆的性质和轨迹问题，通过动态演示增强学生的直观理解。

-数学软件辅助：运用数学软件如几何画板等，让学生亲自操作，观察圆的方程在不同条件下的图形变化。

-在线互动平台：利用在线互动平台进行课堂提问和问题讨论，提高学生的参与度和思考深度。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对圆的轨迹问题的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道什么是圆的轨迹问题吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于圆的轨迹问题的图片或视频片段，让学生初步感受圆的轨迹问题的魅力或特点。

简短介绍圆的轨迹问题的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.圆的基本概念讲解（10分钟）

目标：让学生了解圆的基本概念、组成部分和性质。

过程：

讲解圆的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍圆的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

通过实例或案例，让学生更好地理解圆的实际应用或作用。

3.圆的轨迹问题探究（15分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解圆的轨迹问题的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的圆的轨迹问题进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解圆的轨迹问题的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用圆的轨迹问题解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与圆的轨迹问题相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对圆的轨迹问题的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调圆的轨迹问题的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括圆的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调圆的轨迹问题在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用圆的轨迹问题。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于圆的轨迹问题的短文或报告，以巩固学习效果。知识点梳理1.圆的定义与标准方程

-圆的定义：平面上一动点以一定点（圆心）为起点，以一定长（半径）为距离运动一周的轨迹称为圆。

-圆的标准方程：圆心在原点，半径为r的圆的方程为x^2+y^2=r^2。

2.圆的性质

-圆心到圆上任意一点的距离相等，这个距离称为半径。

-圆上任意两点与圆心的连线所夹角为圆心角，圆心角对应的弧相等。

-圆的切线与半径垂直，割线与圆心角的平分线垂直。

3.圆的方程

-圆的方程一般形式：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

-圆的方程与圆的性质的关系：圆的方程可以用来描述圆的性质，如半径、圆心等。

4.圆与圆的位置关系

-内含：一个圆完全在另一个圆内部。

-相交：两个圆在平面上有一定公共部分。

-外切：两个圆的外部边界相切。

-外离：两个圆在平面上没有公共部分。

5.圆的方程在实际问题中的应用

-圆的轨迹问题：根据给定的条件，求解圆的方程。

-圆的面积和周长计算：利用圆的方程计算圆的面积和周长。

-圆的实际应用：如圆的切割、测量等实际问题。反思改进措施（一）教学特色创新

1.问题驱动教学法：通过提出与圆相关的轨迹问题，激发学生的思考，引导学生主动探索圆的性质和方程。

2.案例分析教学法：通过分析具体的圆的轨迹问题，让学生学会将实际问题转化为圆的方程问题，培养学生的解决问题的能力。

3.小组合作教学法：在探讨圆与圆的位置关系时，学生可以分组讨论，共同完成判定和应用的任务，增强团队协作能力。

（二）存在主要问题

1.教学管理：课堂时间安排不够合理，导致某些环节过于紧凑，学生没有足够的时间进行思考和讨论。

2.教学组织：在讲解圆的方程时，对于一些学生的疑问没有及时解答，导致学生对知识点的理解不够深入。

3.教学方法：在引导学生思考圆的轨迹问题时，过于依赖多媒体演示，而忽视了学生的实际操作和体验。

（三）改进措施

1.调整课堂时间安排：合理分配课堂时间，确保每个环节都有足够的时间进行深入讨论和解答学生的疑问。

2.加强教学组织：针对学生的疑问，及时进行解答和引导，帮助学生深入理解圆的方程和相关性质。

3.优化教学方法：在讲解圆的轨迹问题时，结合学生的实际操作和体验，让学生更好地理解和应用圆的方程。

4.增加课堂互动：鼓励学生积极参与课堂讨论，提出自己的观点和疑问，增强学生的表达能力和思维能力。

5.培养学生自主学习能力：引导学生学会独立思考和解决问题，培养学生的自主学习能力和创新精神。典型例题讲解1.题目：已知一个圆的半径为5，圆心在原点，求该圆的方程。

答案：x^2+y^2=25。

2.题目：已知一个圆的圆心坐标为(3,4)，半径为7，求该圆的方程。

答案：(x-3)^2+(y-4)^2=49。

3.题目：已知两个圆的半径分别为5和7，圆心坐标分别为(1,2)和(4,6)，求这两个圆的方程。

答案：

(x-1)^2+(y-2)^2=25和

(x-4)^2+(y-6)^2=49。

4.题目：已知一个圆的圆心在原点，半径为5，求该圆与x轴的交点坐标。

答案：交点坐标为(±5,0)。

5.题目：已知一个圆的圆心坐标为(2,3)，半径为4，求该圆与x轴和y轴的交点坐标。

答案：交点坐标为(2,0)和(0,3)。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了圆的基本概念、性质和方程，以及圆与圆的位置关系。通过学习，我们了解到圆是平面上一动点以一定点（圆心）为起点，以一定长（半径）为距离运动一周的轨迹。圆具有许多独特的性质，如圆心到圆上任意一点的距离相等，圆上任意两点与圆心的连线所夹角为圆心角等。我们还学习了如何根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程。此外，我们还探讨了圆与圆的位置关系，包括内含、相交、外切和外离，以及如何通过圆的方程来描述这些位置关系。

当堂检测：

1.已知一个圆的半径为5，圆心在原点，求该圆的方程。

2.已知一个圆的圆心坐标为(3,4)，半径为7，求该圆的方程。

3.已知两个圆的半径分别为5和7，圆心坐标分别为(1,2)和(4,6)，求这两个圆的方程。

4.已知一个圆的圆心在原点，半径为5，求该圆与x轴的交点坐标。

5.已知一个圆的圆心坐标为(2,3)，半径为4，求该圆与x轴和y轴的交点坐标。板书设计1.圆的定义与标准方程

-圆的定义：平面上一动点以一定点（圆心）为起点，以一定长（半径）为距离运动一周的轨迹称为圆。

-圆的标准方程：x^2+y^2=r^2。

2.圆的性质

-圆心到圆上任意一点的距离相等，这个距离称为半径。

-圆上任意两点与圆心的连线所夹角为圆心角，圆心角对应的弧相等。

3.圆的方程

-圆的方程一般形式：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2