高等代数的主要几个概念阐述,高等数学论文

高等代数的主要几个概念阐述,高等数学论文摘要：高等代数是数学专业的基础课,与中学代数相比,理论更抽象,构造更严谨,基于这样的学科特点,本文针对高等代数的几个比拟难以理解的几个概念,深切进入分析分析,进而帮助学生更好地理解及把握高等代数这门学科。本文关键词语：多项式;矩阵;线性空间;欧几里德空间;Abstract：Advancedalgebraisabasiccourseofmathmajor.Advancedalgebraismoreabstract,withmorerigorousstructure,comparedwithhighschoolalgebra.Basedonsuchdisciplinecharacteristic,thisarticleanalyzesseveraldifficultconceptsinadvancedalgebra,soastohelpstudentsunderstandandmasteradvancedalgebramorebetter.Keyword：polynomial;matrix;linearspace;Euclideanspace;高等代数是高校数学专业一年级的专业基础课,包含很多当代数学的基本观点和方式方法,其研究的主要对象是代数系统的构造以及互相间的关系和法则,它以严密的逻辑推理形式来考察各种代数的构造并逐层抽象。下面针对高等代数的主要几个概念,深切进入阐述。一、多项式理论多项式理论与整数理论有很多的类似之处,比方带余除法、整除、最大公因式(数)、因式(子)分解及唯一性定理等等,除此之外,定理的内容与形式也很类似。因而,整数理论能够帮助我们更好地理解多项式。但是,它们还有着很多显着的区别。通过了解这两者的区别,才能更好地把握多项式理论。1.多项式理论是系数在某一数域上研究的,而整数理论是固定在整数环中。这意味着整数理论中任意两个整数之间的整除、分解等关系都是确定的,而多项式理论中任意两个多项式的整数、分解等等关系是随着数域的不同而变化着的,取决于数域。比方多项式的因式分解及唯一性定理在不同数域上分解式不同,而整数理论中数的标准分解式是唯一的。2.多项式理论中,利用导函数能够判定一个多项式有无重因式。3.多项式理论固然只在一章中出现,但是实际上它的性质定理睬应用在后面很多章节中。比方二次型,特征多项式,特征值的求解等都需要用到多项式相关的理论。因而,要多注意多项式理论与矩阵理论的关联性。例如,在求矩阵或是线性变换的特征值时,其特征多项式实际上是关于的多项式,根据多项式的因式分解理论可求出特征值。二、矩阵矩阵是一堆数(或者变量)有规律的排列而成的一个数表,并且对矩阵定义了加法、减法、数乘、乘法、可逆等运算,并规定了运算知足的一些性质,比方数乘的分配律,以及加法的交换律等。矩阵根据类似、合同、等价等关系能够分成不同的等价类,这些等价类具有一些共同的性质,通过将矩阵分类,能够清楚地了解和更好地把握矩阵的构造以及性质。矩阵是高等代数的一个重要的工具,它贯穿于整个高等代数理论的学习中。但是由于学生第一次接触到矩阵定义,并且它的高度抽象性,导致了学生理解的困难。下面我们归纳矩阵作为工具,能够处理的问题,以帮助学生熟练把握学习矩阵这个概念。1.解线性方程组。通过矩阵可将线性方程组用矩阵和向量乘积的方式写出来,例如由m个n元一次方程组组成的方程组可写成矩阵的形式,AX=B,华而不实A为一个mn矩阵,X为未知量组成的列向量,B为一个列向量。解线性方程组只需要对矩阵A施行初等行变换,就能够解出未知量X。2.二次型化为标准二次型。二次型借助矩阵,能够写成形如XTAX的矩阵与向量的乘积的形式,华而不实A为一个实对称矩阵,X为未知量组成的列向量。将二次型转化为标准二次型只需要对(AE)T施行初等行变换以及相应的初等列变换将A化成对角形,则E转化成C,C即为二次型所做的非退化的线性退化。除此之外,向量可以以看做矩阵(行向量是1n矩阵,列向量是n1矩阵)。而mn矩阵利用分块的知识能够看作是m个行向量,或者n个列向量。因而向量组的线性相关(无关)性在特定的情况下能够通过矩阵的初等变换很容易的解出来。向量组的线性相关性教学是高等代数教学中的一个难点。对于大一新生来讲,向量组的线性相关性概念过于抽象。线性相关(无关)性:对n维向量组1,2m,假如存在一组不全为零(全为零)的实数k1,k2km,使得k11+k22++kmm=0。在教学实践中,我们换一种形象的语言来进行描绘叙述,学生对它的理解就会愈加透彻。将向量看成人,线性相关能够理解为,对一群人,假如华而不实有人相互认识,则这群人认识相关的,否则称为认识无关的。这样向量组的线性表示、等价向量组及相关定理等的后续的学习理解就容易多了。比方线性相关理论中的部分相关则整体相关,整体无关则部分也无关理论。利用认识相关的方式方法辅助理解,有利于学生理解和记忆。上述理论转化为认识相关形式就是:若有一群人中有人相互认识,则不管再向人群中参加多少人,还是有人互相认识;如有一群人中没有人相互认识,则不管从中挑选多少人,还是没有人相互认识。3.线性变换。线性变换是线性空间上的一个知足加法及数乘封闭的变换。通过线性空间的任一组基,能够将线性变换和矩阵对应起来,并且同一个线性变换在不同基下的对应矩阵是类似的。因而,对线性变换的研究能够通过研究其对应的矩阵的性质推得。借助于矩阵,线性变换的一些参数,更容易理解和求解。比方线性变换的特征值、特征向量、特征多项式、秩与其相应的矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、秩相等。线性变换在任一组基下对应一个矩阵,自然就想到能否存在一组基使得对应矩阵为对角形。并且能否任意一线性变换都能找到这样一组基,假如不是,那么能找到这样一组基的线性变换需要知足的充分,或者充要条件是什么。顺着这样一个思路,和线性变换相关的一些定理、性质就能把握的比拟全面。除此之外还有两类特殊的线性变换需要重点了解把握:(a)对称变换,其在标准正交基下的对应矩阵为实对称矩阵,而实对称矩阵这又对应了一个二次型,那么这个对称矩阵又能够通过二次型的相关知识化为对角形矩阵;(b)正交变换,其在标准正交基下对应的矩阵为正交矩阵,根据正交矩阵的性质能够充分理解把握正交变换。三、线性空间,欧几里德空间在空间这部分,主要介绍了线性空间和欧几里德空间。线性空间及欧几里德空间是两个抽象的概念。线性空间的运算,如,空间的和以及交还是线性空间,并且还定义了直和这一运算,即空间和的分解式唯一。线性空间是Rn向量空间概念的推广,欧几里德空间是在线性空间上另外定义了内积这一运算的空间。1.非空集合V与数域P,在V上定义了加法与数乘,并且加法和数乘知足一定的性质,则称V是数域P上的一个线性空间。线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是某一类事物在量的方面的一个抽象,即把实际问题看作线性空间,进而通过研究线性空间来解决实际问题。欧几里得空间是在实数域R上的线性空间V上定义了一个二元实函数,称为内积,这个内积也知足一定的性质。2.线性空间与欧几里德空间的基本区别是欧几里德空间是完备的,而线性空间不是。3.无论是线性空间还是欧几里德空间,都有同构这一等价关系。两个线性空间同构,那么这两个空间具有一些共同性质。只需研究华而不实一个详细的线性或者欧几里德空间,与它同构的其他线性或者欧几里德空间的性质也就清楚了。随着学习的不断深切进入,以后还会碰到度量空间,拓扑空间等等。因而,在代数知识学习的同时还需要注意各个学科间的联络,融会贯穿,才能更清楚明晰的把握我们所学习的知识。多项式理论,矩阵理论,空间理论是高等代数理论体系的主要内容。在上面的分析中,能够看出他们之间不是独立的理论体系,他们之间有穿插,且互相浸透影响。因而在学习经过中,需要注意同类概念的内在联络,进行类比学习。好像构:线性空间的同构,以及欧几里德空间的同构。对这两个同构进行比拟,结合两个空间的不同性质,注意这个两个同构的区别和一样之处。实际上,两个同构的欧几里德空间,作为线性空间也是同构的。但反之不一定成立。又比方矩阵出现了很多等价关系:合同,类似,相等。在学习的经过中,除了要将这三者的定义进行比拟,还要了解他们的内在性质,这样才不会造成后面学习的困难,也对能对矩阵间的关系比拟清楚明晰明了。总之,概念是高等代数的重要组成部分,学生对于概念的认识不是直线发展的,而是螺旋式前进的。因而,老师教授概念的经过也不应是一次性完成的,而是尽量在教学经过中注意引入能够帮助学生理解概念的感性材料,降低学习的难点,激发学习的主动性,同时有意识地引导