2023年高考数学黄金100题系列第35题应用正弦定理和余弦定理解三角形理

第35题应用正弦定理和余弦定理解三角形I．题源探究·黄金母题【例1】在△ABC中，，解三角形．【解析】由余弦定理得：==-=-0．2444，∴≈104°，∴都是锐角，由正弦定理得，∴=0．6468，∴=40°，∴=36°．精彩解读【试题来源】人教版A版必修5第10页A组第4题〔1〕．【母题评析】此题考查利用正余弦定理解三角形．【思路方法】三角形三边解三角形问题，先用余弦定理求出最大边所对的角，再用正弦定理解出其余两角．II．考场精彩·真题回放【例2】【2023山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．假设为锐角三角形，且满足，那么以下等式成立的是A．B．C．D．【答案】A【解析】所以，选A．【例3】【2023浙江，14】△ABC，AB=AC=4，BC=2．

点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，那么△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【答案】【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，△ABE中，，，．又，，综上可得，△BCD面积为，．【例4】【2023课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为．〔1〕求sinBsinC；〔2〕假设6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【解析】试题分析：〔1〕由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；〔2〕由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为．试题解析：〔1〕由题设得，即．由正弦定理得．故．〔2〕由题设及〔1〕得，即．所以，故．由题设得，即．由余弦定理得，即，得．故的周长为．【例5】【2023课标II，理17】的内角所对的边分别为，，〔1〕求；〔2〕假设，的面积为，求．【答案】(1)；(2)．【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；利用〔1〕中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出．试题解析：(1)由题设及，，故．上式两边平方，整理得，解得(舍去)，．〔2〕由得，故．又，那么．由余弦定理及得：所以b=2．【命题意图】本类题问题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查考生运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查根底知识的识记与理解．【难点中心】解答此类问题的关键是正余弦定理，注意确定一解还是两解．III．理论根底·解题原理考点一正弦定理及其变形1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．〔为外接圆半径〕变形：①，，；②；③；④．考点二余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍；；．2．推论：；；．3．变形：；；．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，考查对根底知识的识记与理解，考查考生根本计算能力．【技能方法】解三角形中正余弦定理选择〔1〕三角形中的两角和一角的对边，利用正弦定理解三角形．三角形两边和一边的对角可以利用正弦定理解三角形也可以用余弦定理解三角形，注意判定三角〔3〕假设三边或两边和夹角，用余弦定理解三角形．2．形解得情况，如在△ABC中，a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解3．注意利用三角形内角和定理：沟通三个内角的关系．4．常用结论：；；；；【易错指导】在利用正弦定理解三角形时，注意判定三角形解得个数，常用大边对大角，判定一解还是两解，要熟记上边表格中解得个数的判定方法．V．举一反三·触类旁通考向1正弦定理应用【例6】【2023课表1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．，a=2，c=，那么C=A． B． C． D．【答案】B【解析】【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适宜，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，那么考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．【例7】【2023课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．C=60°，b=，c=3，那么A=_________．【答案】75°【解析】由题意：，即，结合可得，那么．【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵活转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的．其根本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．【例8】【2023北京，理15】在△ABC中，=60°，c=a．〔Ⅰ〕求sinC的值；〔Ⅱ〕假设a=7，求△ABC的面积．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．试题解析：解：〔Ⅰ〕在△ABC中，因为，，所以由正弦定理得．〔Ⅱ〕因为，所以．由余弦定理得，解得或〔舍〕．所以△ABC的面积．【考点】1．正余弦定理；2．三角形面积；3．三角恒等变换．【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，那么考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式〞，其中的核心是“变角〞，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式【跟踪训练】1．【2023届广东珠海市高三9月摸底考试数学】在中，角的对边分别为．，那么角大小为〔〕A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由正弦定理可得:，由此可得，因，故或，所以应选．2．【2023辽宁模拟】在锐角中，角的对边分别为，假设，，那么的取值范围〔〕A．B．C．D．【答案】B，，，，故答案选点睛：在解三角形中求范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式，结合角的范围求得最后结果．在边角互化中，注意化简和诱导公式的运用．3．【2023江西级阶段性检测〔二〕】黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一局部擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、A．A=30∘C．B=60∘【答案】D点睛：根据条件选用正弦定理与余弦定理，一般两角一边利用正弦定理，而一角两边求第三边或三边求一角往往利用余弦定理，利用正弦定理时注意根据边的大小关系确定解的个数，而利用余弦定理时，有时需结合根本不等式求最值，有时需整体转化求范围考向2余弦定理应用【例9】【2023天津，理15】在中，内角所对的边分别为．，，．〔Ⅰ〕求和的值；〔Ⅱ〕求的值．【答案】(1)．(2)【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边〞得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果．试题解析：〔Ⅰ〕在中，因为，故由，可得．由及余弦定理，有，所以．由正弦定理，得．所以，的值为，的值为．考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角〞寻求角的关系，利用“角转边〞寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题．【跟踪练习】1．【2023河南模拟】在中，角的对边分别为，假设，那么〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】正弦定理角化边可得：，且，结合余弦定理有：，那么：，利用两角和差正余弦公式可得：．应选D．2．在斜中，角的对边分别为，，那么〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得：，为斜三角形，那么，据此有：，结合诱导公式有：．此题选择B选项．3．【2023届河南郑州一中网校高三入学测试数学】设的内角的对边分别为，且，那么____．【答案】【解析】，．【方法总结】对三角形的两边和夹角求其中一边的对角正弦问题，先用余弦定理求出角的对角，再用正弦定理求出所求角的正弦值．考向3正弦定理与余弦定理的综合应用【例10】【2023天津，文15】在中，内角所对的边分别为．，．〔I〕求的值；〔II〕求的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．试题解析：〔Ⅰ〕解：由，及，得．由，及余弦定理，得．〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，可得，代入，得．由〔Ⅰ〕知，A为钝角，所以．于是，，故．【考点】1．正余弦定理；2．三角恒等变换．【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，那么考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式〞，其中的核心是“变角〞，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式【例11】为的角平分线，，那么．【答案】【方法点睛】先由余弦定理求出边BC的长，利用角平分线性质求出CD，利用正弦定理求出C角，再在△ACD中运用正弦定理求出AD．【跟踪练习】1．在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=，那么AC=_______．【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，．2．【2108辽宁庄河市高级中学、沈阳市第二十中学第一次联考】函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中，为的内角的对边，且满足．〔1〕证明：；〔2〕假设，设，，，求四边形面积的最大值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕．试题解析:〔1〕由题意知：，解得：，∵，∴，∴，∴．∴．〔2〕因为，，所以，所以为等边三角形，，∵，∴，当且仅当，即时取最大值，的最大值为．考向4正余弦定理与向量交汇【例12】【2023山东，文17】〔本小题总分值12分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=3，，S△ABC=3，求A和a．【答案】【解析】【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．【例13】在中，内角对边分别为，且，，．〔1〕求和的值；〔2〕求的值．〔2〕在中，，，，为锐角．，【名师点睛】涉及到平面向量的三角形问题，利用平面向量的相关知识，将条件转化为三角形的边角条件，再利用正余弦定理求解．【跟踪练习】1．三角形中，，那么角=_________【答案】【解析】由题，那么可得；利用余弦定理可得；，再由余弦定理可得；2．【2023甘肃模拟】向量，，设函数．〔1〕求函数的最小正周期；〔2〕分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，，，且恰是函数在上的最大值，求和三角形的面积．【答案】〔1〕；〔2〕，或，或．试题解析：〔1〕4分因为，所以最小正周期．6分〔2〕由〔1〕知，当时，．由正弦函数图象可知，当时，取得最大值，又为锐角所以．8分由余弦定理得，所以或经检验均符合题意．10分从而当时，△的面积；11分当时，．12分考点：平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数、余弦定理、三角形面积．考向5与三角函数交汇【例14】【2023河北沧州一中第一次月考】在中，．〔1〕求的长；〔2〕求的值．【方法总结】对涉及到三角形角三角函数式求值问题，常利用三角形内角和定理化为某个角的三角函数问题，利用三角函数公式求值．【跟踪练习】1．