高二数学25等比数列的前n项和

2.5等比数列的前n项和〔一〕1．记住等比数列的前n项和公式，能够利用公式求等比数列的前n项和．2．掌握前n项和公式的推导方法．

课前自主学习1．在等比数列{an}中，假设公比q＝1，，那么其前n项和Sn＝________.答案：na12．在等比数列{an}中，假设公比q≠1，那么其前n项和Sn＝________＝________.自学导引1．等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系？自主探究当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．(2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．2．数列a，a2，a3，…，an，…一定是等比数列吗？答案：不一定，例如当a＝0时，数列就不是等比数列．1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为(

)预习测评解析：要考虑到公比为1的情况，此时Sn＝n.答案：D2．数列{2n－1}的前99项和为 (

)A．2100－1 B．1－2100C．299－1 D．1－2992．数列{2n－1}的前99项和为 (

)A．2100－1 B．1－2100C．299－1 D．1－299答案：C3．假设等比数列{an}的前3项的和为13，首项为1，那么其公比为__________．答案：3或－4答案：1

课堂讲练互动1．等比数列前n项和公式的推导设等比数列a1，a2，a3，…，an，…它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.由等比数列的通项公式可将Sn写成Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①①式两边同乘以q得，qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn. ②①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1时，要点阐释当q＝1时，Sn＝na1.以上的推导方法叫做“错位相减法〞．这是中学数学里比较重要的一种求和方法，要多用心体会．特别提示：(1)等比数列的前n项和的公式及通项公式涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量，俗称“知三求二〞．(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为q≠1，当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论q≠1与q＝1两种情况．2．等比数列的判定方法(1)an＋1＝anq(an≠0，q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(2)an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)an＋12＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．题型一等比数列前n项和公式的根本运算典例剖析【例1】在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.方法点评：(1)这是一类根底题，要熟练应用等比数列的通项公式及前n项和公式，运用方程的思想，解决两个最根本的量：首项a1和公比q.在等比数列的求和问题中，经常使用整体代换的思想．(2)在使用等比数列的前n项和公式时，要注意讨论公比q＝1和q≠1两种情况．1．假设本例(1)中的条件不变，如何求{an}的通项公式？题型二错位相减法求和2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1题型三判断等比数列【例3】数列{an}的前n项和Sn＝a2n－1(a≠0，±1；n∈N*)，试判断{an}是否为等比数列，为什么？解：{an}是等比数列，理由如下：a1＝S1＝a2－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1)＝(a2－1)a2n－2，此时，n＝1时，a1＝a2－1.∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)．即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列．方法点评：将条件Sn＝a2n－1与an＝Sn－Sn－1结合起来，得到n≥2时的通项公式an＝(a2－1)a2n－2，特别注意的是，n＝1时即a1＝a2－1能否统一到an＝(a2－1)·a2n－2中去，如果能统一起来，那么数列{an}为等比数列，否那么数列{an}不是等比数列．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．误区解密漏掉q＝1而导致错误【例4】在数列{an}中，an＝a2n－an(a≠0)求{an}的前n项和Sn.错因分析：等比数列求和，一定要注意公比是否等于1，否那么将导致错误．课堂总结2．在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可以利用前n项和公式解与之有关的实际问题．3．错位相减法是数列求和的重要方法，必须理解数列特征及掌握求和方法．

2.5等比数列的前n项和〔二〕理解等比数列前n项和的性质，并能用它解决等比数列的求和问题．掌握数列求和的重要方法——分组法与并项法．课前自主学习1．假设数列{an}为等比数列(公比q≠－1)，Sn为前n项和，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍构成________数列．答案：等比2．假设某数列前n项和公式为Sn＝an－1(a≠0，a≠±1，n∈N*)，那么{an}成________．答案：等比数列自学导引3．假设数列{an}是公比为q的等比数列，那么①Sn＋m＝Sn＋qnSm.答案：q实际应用题是高考中的重要内容，那么关于解等比数列的应用题的根本步骤是什么呢？答案：解答等比数列应用题的根本步骤：(1)阅读理解材料，且对材料作适当处理；(2)建立等比数列模型；(3)解数列模型．(4)回到实际问题．自主探究1．等比数列{an}的前n项和为Sn，假设S10＝10，S20＝30，那么S30＝ ()A．70 B．90C．100 D．120解析：由于S10，S20－S10，S30－S20成等比数列．∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，又∵S10＝10，S20＝30，∴可得S30＝70.答案：A预习测评A．4 B．5 C．6 D．7答案：B3．数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，那么此数列为 ()A．等差数列 B．等比数列C．常数数列 D．递减数列解析：a1＝S1＝31－1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－3n－1＋1＝2·3n－1.所以对任意的正整数n，an＝2×3n－1成立，因此数列为等比数列．答案：B4．假设等比数列的前n项和Sn＝5n＋m，那么m＝ ()A．－1 B．1C．－5D．5解析：a1＝5＋m，当n≥2时，an＝5n－5n－1＝4·5n－1所以5＋m＝4，m＝－1.答案：A课堂讲练互动等比数列前n项和性质(1)假设某数列前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，那么数列{an}成等比数列．(2)假设数列{an}是公比为q的等比数列，那么①Sn＋m＝Sn＋qn·Sm；要点阐释③当q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．利用等比数列前n项和性质解题，可以简化计算量，提高解题速度．题型一等比数列前n项和的性质【例1】等比数列{an}的前n项和为54，前2n项的和为60，那么前3n项的和为 ()典例剖析答案：D方法点评：以上解法是根据“假设{an}是等比数列且q≠－1，那么“Sn，S2n－Sn，S3n－S2n〞成等比数列进行的，此题还可以列方程组，求出根本量a1，q，再求S3n，显然这种解法不如运用性质解好．1．一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．题型二等比数列的实际应用【例2】某地现有居民住房的总面积为am2，其中需要撤除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年撤除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应撤除的旧住房总面积x是多少？(可取10≈2.6)(2)过10年还未撤除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保存到小数点后第1位)解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为：a－x；2年后住房总面积为：a－x)－x＝2a－x－x；3年后住房总面积为：2a－x－x)－x＝3a－2x－x－x；……10年后住房总面积为：方法点评：此题主要考查阅读能力、分析能力，解题思维障碍主要是对“10%的住房增长率〞搞不清楚，要知道，它实际上是上一年住房的增长率．2．某林场原有木材量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年到达木材总存量翻两番，求每年砍伐量的最大值(1g2＝0.3)．误区解密考虑不全面，导致错误【例3】设等比数