期权定价中的蒙特卡洛模拟办法

{定价策略}期权定价中的蒙特卡洛模拟办法期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方感谢阅读程法鞅方法和数值感谢阅读有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期谢谢阅读权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依精品文档放心下载赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。§1.预备知识◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数感谢阅读定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。精品文档放心下载大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变谢谢阅读量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：设为独立同分布的随机变量序列，若则有显然，若是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值当n很大时以概率1收敛于总体均值。谢谢阅读中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问感谢阅读题。设为独立同分布的随机变量序列，若则有其等价形式为。◆Black-Scholes期权定价模型模型的假设条件：1、标的证券的价格遵循几何布朗运动其中，标的资产的价格是时间的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，是维纳过程。2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。3、不考虑交易费用或税收等交易成本。4、在衍生证券的存续期内不支付红利。5、市场上不存在无风险的套利机会。6、无风险利率为一个固定的常数。下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分感谢阅读形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。伊藤Ito公式：设，是二元可微函数，若随机过程满足精品文档放心下载如下的随机微分方程则有根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值的微分形式为现在构造无风险资产组合，即有，经整理后得到这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes偏谢谢阅读微分方程。它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式谢谢阅读看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件精品文档放心下载不同，其价值也不相同。欧式看涨期权的终边值条件分别为，通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权感谢阅读的的解析解：欧式看跌期权的终边值条件分别为，此外，美式看涨期权的终值条件为，美式看跌期权的终值条件为。然而，美式期权的价值没有解析解，我们一般可精品文档放心下载通过数值方法（蒙特卡洛模拟、有限差分法等）求得其近似谢谢阅读解。◆风险中性期权定价模型如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动即标的资产的瞬时期望收益率取为无风险利率。同理，根据感谢阅读伊藤公式可以得到根据上述公式，得到标的资产的密度函数如下在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为：接下来，求解以上风险中性期望。首先，对上式的右边第一个广义积分分别作变量替换和，可以得到再对等式的右边的第二个无穷积分，令，可求得将以上的计算结果代入期望等式中，得到欧式看涨期权的价格公式为：可以看出，对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致的。感谢阅读基于风险中性的期权定价原理在于：任何资产在风险中性概精品文档放心下载率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，便可用风精品文档放心下载险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便是谢谢阅读初始时刻的期权价值。蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风险精品文档放心下载中性原理的期权数值定价方法。§2.蒙特卡洛模拟方法及其效率假设所求量是随机变量的数学期望，那么近似确定的蒙特卡洛方法是对进行n次重复抽样，产生独立同分布的随机谢谢阅读变量序列，并计算样本均值。那么根据Kolmogorov强大数定律有。因此，当n充分大时，可用作为所求量的估计值。对于标准正态分布的上分位数，有这表明，置信水平对应的渐近置信区间是其误差为，误差收敛速度是。不难看出，蒙特卡洛方法的误差是由和决定的。在对同一个进行抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固谢谢阅读定，将n增大100n将减小10倍。若两个随机感谢阅读感谢阅读估计值。比较其误差，设获得的一个抽样所需的机时为，那谢谢阅读么在时间T内生成的抽样数，若使，则需使。因而，若要提谢谢阅读高蒙特卡罗方法的效率，不能单纯考虑增加模拟的次数n或谢谢阅读是减小方差，应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所耗谢谢阅读费的机时，使方差与机时t的乘积尽量的小。§3.蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理：在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报的感谢阅读贴现的期望值，即，其中的表示风险中性期望，r为无风险精品文档放心下载利率，T为期权的到期执行时刻，是关于标的资产价格路径感谢阅读的预期收益。由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值，因此可以得到期权定价的蒙感谢阅读特卡洛方法。一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以感谢阅读下几步（以欧式看涨期权为例）:(l)在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径将时间区间分成n个子区间，标的资产价格过程的离散感谢阅读形式是，(2)谢谢阅读率求得回报的贴现(3)重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本(4)求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值另外，我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。由于，m条路径的收益均值为，m95%精品文档放心下载的置信区间为。例1：假设无红利的股票A，初始价格为￥6，价格过程感谢阅读服从几何布朗运动，年预期收益率为10%，收益率的波动率感谢阅读为每年25%0.011年为100谢谢阅读100，用蒙特卡洛方法模拟资产的价格路径如精品文档放心下载下：（1）（2）图（1）蒙特卡洛方法模拟股票A价格路径，图（2）蒙谢谢阅读特卡洛方法模拟股票B价格路径。若无红利的股票BCD6B的期感谢阅读望收益率为0.1，波动率为0.6；股票C的期望收益率为谢谢阅读0.50.25D的期望收益率为0.5精品文档放心下载0.6谢谢阅读径如下：（3）（4）图（3）蒙特卡洛方法模拟股票C价格路径，图（4）蒙感谢阅读特卡洛方法模拟股票D价格路径。C和股票D的价格上升速度较快，谢谢阅读而股票B和股票D的价格波动比较大。这是与股票C和股票感谢阅读D价格的期望收益率较高，股票B和股票D价格的波动率较精品文档放心下载高相对应的。欧式看涨期权，通过Black-Scholes公式计算得的精确精品文档放心下载值为，蒙特卡洛模拟的价格为，其蒙特卡洛模拟图如下：（5）上述同样的条件，路径由100逐渐增加到条，对应地分感谢阅读别得到的期权价值的模拟值和置信区间，结果如下表所示：谢谢阅读各种路径下蒙特卡洛方法模拟的95%置信区间N模拟值置信区间1004.3146[4.0112,4.6180]精品文档放心下载5004.2262[4.0962,4.3563]感谢阅读10004.2213[4.1287,4.3139]精品文档放心下载20004.1633[4.0984,4.2281]精品文档放心下载50004.1695[4.1280,4.2111]精品文档放心下载100004.1787[4.1490,4.2083]谢谢阅读500004.1960[4.1826,4.2094]谢谢阅读1000004.1886[4.1791,4.1980]精品文档放心下载4.1914[4.1884,4.1944]§4.蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价权证是一种合同，权证投资者在约定时间内有权按约定价格向发行人购入或者出售合同规定的标的证券。权证发行精品文档放心下载人可以是标的证券的发行人或其之外的第三方。权证主要具谢谢阅读有价格发现和风险管理的功能，它是一种有效的风险管理和感谢阅读资源配置工具。现选取我国认股权证中的五粮YGC1、马钢CWB1、伊利精品文档放心下载CWB1为例，以2006年的价格作为样本区间模拟认股权证的感谢阅读wind数据库给精品文档放心下载出的理论值进行比较。本例采用一年期短期利率2.52%作为谢谢阅读谢谢阅读现实中用等时间间隔观测股票价格序列，股票投资的连精品文档放心下载动率，则年度波动率按下式计算：年度波动率＝日波动率*（每年的交易日数）1/2将时间区间取为2006年12月1日－2006年12月29感谢阅读日，则由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与精品文档放心下载Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下：精品文档放心下载蒙特卡洛方法对五粮YGC1认股权证的模拟（）蒙特卡洛蒙特卡洛日期实际值理论值日期实际值理论值模拟值模拟值12-110.16410.0669.82112-1812.10013.52413.351精品文档放心下载12-410.12010.35710.12112-1912.08013.57413.401精品文档放心下载12-59.88010.63010.40112-2012.21013.77113.601感谢阅读12-69.39510.38610.15112-2111.90013.37613.201精品文档放心下载12-79.1479.9989.75112-2211.42012.68712.501谢谢阅读12-89.0509.7859.53112-2512.03813.74213.571谢谢阅读12-19.2258.95113.40613.231感谢阅读9.85012-2611.978112-110.60010.37114.36414.201感谢阅读9.82512-2713.001212-110.26010.02114.61214.451感谢阅读9.76612-2813.050312-111.33211.12116.19816.051谢谢阅读10.58912-2914.500412-112.02811.831－－10.849－－5蒙特卡洛方法对马钢CWB1认股权证的模拟（）蒙特卡洛蒙特卡洛日期实际值理论值日期实际值理论值模拟值模拟值12-11.1431.2440.56912-181.7751.7091.052感谢阅读12-41.2091.1880.51712-191.8031.7091.052谢谢阅读12-51.2411.2230.54912-201.7301.7561.103谢谢阅读12-61.3491.2230.54912-211.6411.7091.052感谢阅读12-71.6331.4160.74312-221.7001.5420.778精品文档放心下载12-81.7501.6180.95212-251.7071.4530.848感谢阅读12-111.9191.4160.74312-261.8351.5201.052谢谢阅读12-121.8741.6180.95212-271.7761.7091.052精品文档放心下载12-131.7941.7481.09412-281.6441.8111.163感谢阅读12-141.7941.6330.96912-291.7081.7481.094感谢阅读12-151.8301.6330.969－－－－感谢阅读蒙特卡洛方法对伊利CWB1认股权证的模拟（）蒙特卡洛蒙特卡洛日期实际值理论值日期实际值理论值模拟值模拟值12-113.32413.53312.62912-1814.76014.81813.988谢谢阅读12-413.25013.94713.06912-1915.47915.54114.748谢谢阅读12-513.29613.95713.07912-2015.48716.63015.888谢谢阅读12-612.91113.95713.07912-2115.59416.44915.698感谢阅读12-712.85313.28812.36912-2215.16816.57315.828精品文档放心下载12-812.73412.76311.80912-2516.61615.81715.038精品文档放心下载12-1112.92012.57611.60912-2616.61917.75417.058精品文档放心下载12-1214.05912.94111.99912-2717.67317.87917.188精品文档放心下载12-1313.52814.10813.23912-2817.67319.72619.098感谢阅读12-1414.28113.81512.92912-2917.67319.72619.098谢谢阅读12-1514.34914.61913.778－－－－精品文档放心下载从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。感谢阅读为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与谢谢阅读Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。精品文档放心下载其中SJ代表实际值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，BS精品文档放心下载代表由Black-Scholes公式计算出的理论值。感谢阅读五粮YGC1价格模拟比较图马钢CWB1价格模拟比较图伊利CWB1价格模拟比较图YGC1和伊利CWB1的模拟结果比较好，谢谢阅读蒙特卡洛模拟值和Black-Scholes模型的理论值均与实际值谢谢阅读CWB1的实证结果不理想，但是三种结果的走势谢谢阅读图有共同的趋势。从比较分析中发现蒙特卡洛方法模拟的价谢谢阅读格比Black-Scholes模型更接近实际价格。对于这些认股权谢谢阅读证价格的模拟结果的好坏，受诸多因素影响，主要与选取的感谢阅读波动率和中国权证市场的发展特点有关等等。◆隐含波动率及其数值计算方法隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率，是通过Black-Scholes期权定价公式计算出来的波动率。由于我谢谢阅读们无法给出它的解析解，因此，只能借助于数值计算给出近感谢阅读似解。下面介绍牛顿迭代法计算隐含波动率。牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域上近精品文档放心下载似求解方程根的方法。步骤1.将函数在点附近展开成泰勒级数步骤2.取泰勒级数的前两项作为假设，求解方程，并令其解为，得，这样得到迭代公式，经感谢阅读过n次迭代后，可以求出的近似解。根据牛顿迭代法，隐含波动率的计算步骤如下：1.假设其他变量保持不变，认为函数是隐含波动率的一元函数，其中的是市场上观察到的期权价感谢阅读格。2.求函数的导数3.由迭代公式计算波动率，直至此外，为了计算隐含波动率，经济学家和理财专家曾做Brenner和感谢阅读Subrahmanyam于1988年，Chance于1993年分别提出计算隐精品文档放心下载含波动率的公式，虽然这些公式对于持有平价期权的波动率感谢阅读的计算还算准确，但是基础资产的价格一旦偏离期权的执行精品文档放心下载1996年，Corrado和Miller谢谢阅读在前人研究的基础上建立了如下公式，大大提高了隐含波动谢谢阅读率的计算的准确性：§5最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同感谢阅读时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本感谢阅读谢谢阅读将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的谢谢阅读多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。选精品文档放心下载取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下精品文档放心下载一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法精品文档放心下载回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价精品文档放心下载值作比较，若后者较大，则应该立即执行期权，否则，就应感谢阅读继续持有期权。随机生成标的资产价格的多条样本路径；然后，从到期时刻感谢阅读逆向求解，比较期权的内在价值与持有价值，确定出各时刻谢谢阅读期权价值和每条样本路径的最优停时；最后，将所有样本的感谢阅读的期权价值求取按无风险利率贴现的算数平均值便是模拟的谢谢阅读期权价值。下面，我们运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法对单个标的资产的美式看跌期权进行定价，其算法实现步骤如下：第一步：随机生成标的资产价格过程的多条样本路径现设一单个标的资产美式看跌期权的持有到期日为，期精品文档放心下载风险中性条件下，该期权的初始时刻价值为：其中，为标的资产价格的路径，是在最优执行时刻的期权价感谢阅读值。上式定义的便是将要运用最小二乘蒙特卡洛方法进行模谢谢阅读拟的期权价值。将期权的存续区间均分为个子区间，则每个子区间的长度为，标的资产价格过程的离散形式：谢谢阅读模拟得到标的资产价格的一条样本路径，重复执行次模拟，谢谢阅读我们可得到资产价格的总样本。第二步：计算各个样本的最优停时及各时刻的期权价值对于美式看跌期权，在期权的有效时刻，样本路径上的内在价值为，持有价值为。由于美式期权在有效期的任何时谢谢阅读候都可行权，所以必须比较该时刻期权的内在价值与持有价精品文档放心下载值的大小，以确定该时刻的期权价值以及是否执行期权，即精品文档放心下载由期权的持有价值表达式可知它依赖于下一步期权决策的价谢谢阅读值，需通过逆向求解这个期望价值，这正是普通的蒙特卡洛感谢阅读模拟法为美式期权定价的难点所在。最小二乘蒙特卡洛模拟方法通过建立一个当前时刻标的资产价格与下一时刻期权价值贴现值的线性回归计量模型：感谢阅读上述模型以所有样本路径在时刻的价格和作为解释变量，对谢谢阅读应的下一时刻期权价值的现值作为被解释变量。采用普通最谢谢阅读感谢阅读再将各个资产价格样本代入到回归方程分别可以得到其期权精品文档放心下载的持有价值估计值，根据计量经济学的理论，这个估计值就是在标的资产价格下的期权持有价值的无偏估计值。另外，本例中选取基函谢谢阅读数作为解释变量，根据实际情况中也可以选取其他形式的基谢谢阅读函数：。作为解释变量。现在，我们从到期日开始倒推计算求解每条样本路径上的最优停时和每个样本点的期权价值。在到期日，执行看跌谢谢阅读期权的价值为。接着，判断在时刻是否行权。若期权处于实精品文档放心下载值状态，即，则与继续持有期权的价值相比较，若内在价值精品文档放心下载大于持有价值，则应立即执行期权；否则，继续持有期权。感谢阅读考虑在该时刻期权处于实值的样本子集，近似期权持有价值精品文档放心下载的回归方程为：精品文档放心下载在时刻的资产价格信息下，比较内在价值与继续持有期权的感谢阅读价值就可做出是否执行期权的决策。同理，我们可倒推继续谢谢阅读求得时刻的期权持有价值。对于每条样本路径，期权或是在感谢阅读最优停时执行，或是永不执行。具体设计程序时，令初值，谢谢阅读在时刻，如果继续持有期权，则不变；如果执行期权，则，精品文档放心下载依此类推。每个样本上就只有一个最优停时，每次更新，最精品文档放心下载后便求得每条样本路径上的最优停时。第三步：对各条样本路径上的期权价值按无风险利率贴现并求其均值经过次模拟后，得到条标的资产价格的样本路径，以及每条样本路径上的最优停时和在该时刻的期权价值：由于每条样本路径上的最优执行时间不同，期权价值的贴现感谢阅读因子也不同，所以应分别进行贴现求均值，最终得到初始时感谢阅读刻期权价值的最小二乘蒙特卡洛模拟值：例35050到精品文档放心下载期日为5个月，股票年收益率的标准差为0.4，无风险利率精品文档放心下载为10%，用最小二乘蒙特卡洛模拟其价格。编制最小二乘蒙特卡洛模拟的MATLAB程序如下：感谢阅读functionprice=AmericanOptLSM(S0,K,r,T,sigma,N,M)精品文档放心下载dt=T/N;R=exp((r-sigma^2/2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(N,M)感谢阅读);S=cumprod([S0*ones(1,M);R]);谢谢阅读ExTime=N*ones(M,1);CF=zeros(size(S));CF(end,:)=max(K-S(end,:),0);感谢阅读forii=N:-1:2Idx=find(S(ii,:)<K);X=S(ii,Idx)';X1=X/S0;Y=CF(ii+1,Idx)'*exp(-r*dt);感谢阅读R=[ones(size(X1))(1-X1)1/2*(2-4*X1+X1.^2)];精品文档放心下载a=R\Y;C=R*a;Jdx=max(K-X,0)>C;nIdx=setdiff((1:M),Idx(Jdx));谢谢阅读CF(ii,Idx(Jdx))=max(K-X(Jdx)',0);谢谢阅读ExTime(Idx(Jdx))=ii;CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx);精品文档放心下载endPrice=mean(CF(2,:))*exp(-r*dt)谢谢阅读%%%%%绘制标的股票价格模拟图%%%%%x1=[0:N];y1=S';y2=mean(S');精品文档放心下载subplot(2,1,1)plot(x1,y1)subplot(2,1,2)plot(x1,y2)xlabel('期权存续期间')ylabel('股价的模拟路径')%%%%%绘制期权价值模拟图%%%%%figure;x2=[1:N];y3=CF(2:end,:)';fori=1:My4(i)=y3(i,ExTime(i));endplot(x2,y3,ExTime,y4,'*')xlabel('期权的最优停止时间')ylabel('期权价值的模拟路径')模拟的美式看跌期权的价格路径如下图所示：模拟的期权价值路径及其最优停时如下图：本例中的美式看跌期权价格为：price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,10000谢谢阅读0)Price=4.2654§6改进蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方差减少技术方差减少技术的共性是利用模型特点，调整或修正模拟的输出变量，从而降低估计值的方差。在采用方差减少技术感谢阅读时，要具体问题具体分析，针对不同期权类型的特点应用相精品文档放心下载关的方差减少技术，从而取得效率的最大改进。◆对偶变量(Antitheticvariates)技术谢谢阅读对偶变量技术是最简单和最常用的方差减少技术。以标准欧式看涨期权为例，其标准蒙特卡洛估计值为标的股票的股价终值抽样为由概率论的知识可知也是标准正态分布中相互独立的抽样值，那么用代替得到的也是股票价格终值的抽样，从而由谢谢阅读的平均值也能得到期权价格的无偏估计量。因此，由对偶变感谢阅读量技术得到的期权价格蒙特卡洛估计值为。对偶变量技术的有效性：由于，所以；并且，令，对于标准欧式看涨期权，是单调递增函数。由谢谢阅读不等式，可知，从而，对偶变量技术有效。显然，标准欧式看跌期权和亚式期权对应的必也是单调函数，所以对偶变量技术对这两种期权也适用，而障碍期权感谢阅读和回望期权则反之。对偶变量技术置信区间的估计：由于并不独立，而才是n个而非2n个来计算样本标准差。精品文档放心下载以上对偶变量技术采用的输入变量Z服从标准正态分布，感谢阅读实际上使用更广泛的输入变量是随机数。显然，与具有相同精品文档放心下载分布且两者负相关，从而只要输入变量与输出变量存在单调感谢阅读感谢阅读对偶变量技术有效。◆控制变量(Controlvariates)技术一元控制变量：若是期权到期回报贴现的n次独立模拟谢谢阅读值，那么期权价格的蒙特卡罗估计值是。假设得到的同时能精品文档放心下载b精品文档放心下载有期权价格的控制变量估计值即为所谓的“控制”是指。由下式可知控制变量估计值是无偏估计量。若令，则有对上式关于b求导数，解得能够使最小化的b值应为。精品文档放心下载由此可见，只要X与Y的相关性越强，那么控制变量估谢谢阅读计的方差减少越显著，所以控制变量技术的关键是选择与Y感谢阅读关系密切且期望值已知的控制变量。另外，由于计算的两个精品文档放心下载量和未知，故实践中采用的是的估计值。多元控制变量：控制变量技术也可以推广到多元情形，假设得到的同时能得到d维向量并且已知，独立同分布，的感谢阅读协方差矩阵为b感谢阅读有。多元控制变量估计值为。精品文档放心下载其中。下面介绍在一种特殊情形下的推导过程：若多元控制变量之间彼此独立，即，则有由多元函数的极值理论，可解得使最小化的向量的第i个分量应为将代入可得。由与的相关性，可知控制变量估计值将是有偏的，并且也将感谢阅读是有偏的。n增大时，偏差的响将会变小；另一个方法是将模拟分为两谢谢阅读谢谢阅读这样得到的估计值将是无偏。不过，现实情形下，的偏差并精品文档放心下载不大，从而采用复杂的分步运算获取无偏估的作法并不吸引精品文档放心下载人。控制变量的类型：期权定价中常采用的三种控制变量有标的资产价格、定价已解决的期权以及为模拟标的资产价格谢谢阅读所需的正态随机变量。（1）标的资产价格在期权定价的蒙特卡罗模拟中，标的资产价格是来源最广的一类控制变量。在风险中性测度下，假设无风险利率为精品文档放心下载常数r，资产价格的贴现为鞅，即。而待定价的期权价格是谢谢阅读标的资产价格的函数，两者具有相关性，因此可以采用标的精品文档放心下载资产价格(或其贴现)作为控制变量。感谢阅读相应的控制变量估计值为实验证明，当K=0时，控制变量与Y的相关性最强，从感谢阅读而方差减少效果显著，而当K很大时情况相反。N精品文档放心下载么可将作为控制变量，由于相应的控制变量估计值为（2）定价己解决的期权如果两种期权的回报函数具有相似性，并且其中一种期权的定价公式已知，那么可将此期权作为控制变量为另一种精品文档放心下载期权定价。最著名的例子是Kemna和Vorst使用几何平均亚谢谢阅读式期权作为控制变量为算术平均亚式期权定价，显然这两种谢谢阅读期权的回报具有很强的相关性，从而方差减少效果显著。再比如仍是对算术平均资产价亚式期权定价，由于与其具有相同到期日与敲定价格的标准欧式看涨期权的价格可以谢谢阅读由B-S公式得到，故可将作为控制变量。（3）正态随机变量模拟标的资产价格路径要用到正态随机变量，因此可考虑将正态随机变量(或其线性组合)作为控制变量。比如为算术平均执行价亚式期权定价精品文档放心下载从而将作为多元控制变量可得相应的控制变量估计值为。◆矩匹配(MomentMatching)技术为了模拟标的资产样本路径需要从正态分布中抽样，考虑最简单的情形，标准欧式看涨股票期权的蒙特卡洛估计值精品文档放心下载需要m个独立且服从标准正态分布的抽样。由于的样本矩不谢谢阅读一定与总体矩匹配，故而矩匹配技术的思想就是对这些样本感谢阅读进行调整，使其一阶矩、二阶矩乃至高阶矩与总体矩匹配，谢谢阅读再利用调整后的样本得到蒙特卡洛估计值。生成的股票价格终值为，从而期权到期回报贴现的一次模拟谢谢阅读值为，利用矩匹配技术得到的蒙特卡洛估计量为。和对偶变量技术一样，应用矩匹配技术会给置信区间的估计带来变化，因为并不独立，导致也不独立，所以不能直谢谢阅读接应用中心极限定理估计误差。一个解决方案是将抽样分隔为不同批次，对每个批次分别应用矩匹配技术得到彼此独立的期权价格估计，再将批均感谢阅读值作为蒙特卡罗估计值，由批方差得到误差估计。例如可采精品文档放心下载用10000个相互独立的批次，每个批次对100个标准正态分感谢阅读布抽样应用矩匹配技术，即总共采用100万个标准正态分布精品文档放心下载抽样。如果定义为样本标准，通过如下的调整可达到前两阶矩匹配：。需注意由上式得到的不再服从标准正态分布，故相应的将是期权价格的有偏估计。这个偏差在极端情况下可能会很精品文档放心下载大，由此致的复杂性使得矩匹配技术的效率改进没有一个通感谢阅读用的量化标准。如果待匹配的抽样其总体均值，总体方差，作如下变换可分别达到一阶矩匹配和前两阶矩匹配：其中与的定义同上。仍以标准欧式看涨股票期权为例，若股价服从风险中性的几何布朗运动，则股价终值的均值与感谢阅读方差已知，故可采用上式对运用矩匹配技术。◆分层抽样(StratifiedSampling)技术感谢阅读分层抽样技术使样本的经验概率与理论概率相一致，其本质是为了使输入变量分布得更为均匀，这一点与对偶变量感谢阅读技术相同。考虑简单情形下分层样本的获取。在计算标准欧式看涨期权的价格时，需要标准正态分布中m个相互独立的抽样，感谢阅读其经验分布不会完全与总体分布相吻合，尤其是尾部表现可感谢阅读能较差。通过下述分层抽样方法可以对样本的经验分布加以精品文档放心下载改进。是在[0，1]上均匀分布的随机数，以的长度对区间进行感谢阅读nj层上，精品文档放心下载从而落在标准正态分布的上分位数与上分位数之间，故由可感谢阅读得标准正态分布的一个分层抽样。需要注意的是的高度相关性使得标准误差的估计复杂化，感谢阅读在高维情形下，采用拉丁超立方抽样技术精品文档放心下载(LatinHypercubeSampling)较为简便。精品文档放心下载假设是上均匀分布随机向量序列，是d个独立抽取的上谢谢阅读的随机排列。令其中是第k个排列的第j个元素。那么由得到的仍然是谢谢阅读k个坐标落入第k个[0l]感谢阅读区间的m个不同分层内，从而也是一种分层抽样样本。同样精品文档放心下载地，由于不独立，故而要改变误差估计的方法。◆重要性抽样(ImportanceSampling)技术精品文档放心下载重要性抽样技术的思想是用一种概率测度下的期望值代替另一种概率测度下的期望值，这种概率测度的转换是通过谢谢阅读似然比(Likelihood-Ratio)或Radon-Nikodym导数实现的。精品文档放心下载金融工程中的风险中性定价即为此思想的一个应用。在期权感谢阅读定价中，这种方法被用来对小概率事件进