(8.3.1)-8.3实对称矩阵的标准形

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一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题定理7对

总有正交矩阵T，使实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设(i)求出A的所有不同的特征值：其重数

必满足;(ii)对每个，解齐次线性方程组求出它的一个基础解系：它是A的属于特征值

的特征子空间的一组基。正交基把它们按正交化过程化成

的一组标准(iii)因为互不相同，所以且

就是V的一组标准正交基。将的分量依次作矩阵T的第1，2，…，n列，则T是正交矩阵，且使

为对角形。设

求一正交矩阵T使

成对角形。例1解：先求A的特征值。A的特征值为

（三重）,其次求属于的特征向量，即求解方程组得其基础解把它正交化，得再单位化，得这是特征值

(三重)的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间

的一组标准正交基。再求属于

的特征向量，即解方程组得其基础解再单位化得这样

构成

的一组标准正交基，它们都是A的特征向量，正交矩阵使得成立的正交矩阵不是唯一的。而且对于正交矩阵T,

①对于实对称矩阵A，使还可进一步要求事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T取正交矩阵则

是正交矩阵且同时有②如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的。③因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：设为实对称矩阵A的所有特征值(i)A为正定的(ii)A为半正定的(iii)A为负定（半负定）的(iv)A为不定的

且

④实对

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