一元二次方程的解法教学案例

一元二次方程的解法教学案例1．知识结构：一元二次方程的解法2．重点、难点分析（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。（2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：1）把方程化为一般形式，并做到、、之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。2）把一元二次方程的各项系数、、代入公式时，注意它们的符号。3）当时，才能求出方程的两根。（3）抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。一、应用于因式分解例1分解因式x4＋4．解原式=x4＋4x2＋4-4x2＝（x2＋2）2-（2x）2=（x2＋2x＋2）（x2-2x＋2）．例2分解因式a2-4ab＋3b2-2bc-c2．解原式=（a2-4ab＋4b2）-（b2+2bc＋c2）＝（a-2b）2-（b＋c）2＝（a-b＋c）（a-3b-c）．二、应用于解方程例3解方程3x2＋4y2-12x-8y＋16=0．解分别对x、y配方，得3（x2-4x＋4）＋4（y2-2y＋1）=0，3（x-2）2＋4（y-1）2＝0．由非负数的性质，得

例4解方程（x2＋2）（y2＋4）（z2＋8）=64xyz（x、y、z均是正实数）．解原方程变形，得x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz=0各自配方，得（xyz-8）2＋2（4x-yz）2＋4（2y-xz）2＋8（z-xy）2=0由非负数的性质，得运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握．三、应用于求二次函数的最值例5已知x是实数，求y＝x2-4x+5的最小值解由配方，得y＝x2-4x＋4-4＋5=（x-2）2＋1∵x是实数，∴（x-2）2≥0，当x-2=0，即x=2时，y最小，y最小=1．例6已知二次函数y=x2-6x＋c的图象的顶点与坐标原点的距离等于5，求c的值．解因为y＝x2-6x＋c＝x2-6x＋9-9＋c=（x-3）2＋c-9，所以这个二次函数的顶点坐标为（3，c-9），它与坐标原点的距离是四、应用于求代数式的值本题联合应用了倒数法和配方法使问题得解．倒数法是一种解题技巧，解题时注意应用．解由已知条件，分别对a、b配方，得（a2-4a＋4）＋（b2-2b＋1）＝0，（a-2）2＋（b-1）2＝0．由非负数的性质，得a-2＝0，b-1＝0．∴a＝2，b＝1．五、判定几何图形的形状例9已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2-ab-bc-ca＝0，判定△ABC是正三角形．证明由已知等式两边乘以2，得2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0，拆项、配方，得（a2-2ab＋b2）＋（b2-2bc＋c2）＋（c2-2ca＋a2）＝0，（a-b