【新教材】两角和与差的余弦公式教学设计人教A版高中数学必修

三角恒等变换两角和与差的余弦公式（日周三）教材分析：本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的两角和与差的正弦、余弦和正切公式。本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。教学目标与核心素养：课程目标学科素养1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程．2．掌握两角和与差的余弦公式3．熟悉两角和与差的余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．a.数学抽象：公式的推导；b.逻辑推理：公式之间的联系；c.数学运算：运用两角和与差的余弦公式求值；d.直观想象：两角差的余弦公式的推导；e.数学建模：让学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。教学重点：两角和与差的余弦公式的探究及公式之间的内在联系；教学难点：求值过程中角的范围的分析及角的变换。课前准备：多媒体、几何画板教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图引入前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．（板书课题三角恒等变换）创设问题情境问题1：如何求，引导学生将非特殊角转化为特殊角，我们要先解决什么问题呢？能否用的正弦、余弦表示，怎么表示？问题2：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？（特殊到一般）１.两角和与差的余弦公式（引入课题）学生思考问题尝试转化学生活动：能否从特殊提出更一般性的问题通过开门见山，提出问题，引起认知冲突，使学生感到学习的必要性公式的发现及推导下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系：问题3：你能类比诱导公式和同角三角函数关系式的推导发现两角差的余弦公式吗？（类比思想，见几何画板,引导学生探究）不失一般性，先研究角a与β的终边不重合时的情况，即的情况。（分类讨论思想）当角a与β的终边重合时，即,可得(或),即两角差的余弦表达式仍然成立，从而得到任意两角差的余弦表达式一两角差的余弦公式.问题4：你能归纳两角差的余弦公式推导的一般步骤吗？第一步，标注出“探究”中涉及到的量，即角的终边与单位圆的交点,并设单位圆与x轴正半轴交于点A.第二步，利用三角函数的定义，写出各点的坐标.第三步，利用圆的旋转对称性，得到等量关系第四步，代人化简，得到两角差的余弦表达式。问题5：这种证明具有一般性吗？追问：改变角终边的位置，证明第2步中各点的坐标会改变吗？等量关系还会成立吗？问题6：由公式cosα-β出发，你能推导出两角和的余弦比较cosα-β与cosα+β，并注意到α＋α-β之间的联系：α+β＝α-（-β）则由公式有cosα+β=cos[α--β]

＝cos法二：也可以用换元的观点，于是得到了两角和的余弦公式，简记作C（α＋β）．cosα+β=cos学生先自主尝试推导，引导学生进行自主的思维活动从运算或换元的角度都有内在联系，因此基于差异可以建立联系，进行转化利用坐标法，推导两角差的余弦公式，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。通过和角公式的推导，引导学生进行观察、比较，确定差异，寻找联系及联系的途径，培养数学思维和数学运算素养。公式的结构特征及识记简记符号及名称：C（α-β），C（α＋β）（和（差）角的余弦公式）适用条件：公式中的角都是任意角公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反（可用口诀记忆：余余正正号相反）问题7：你对角是怎么认识的？可以是复角吗？你能举例写出吗？学生活动：观察、归纳，识记。培养学生的归纳概括能力公式的初步应用（正用、逆用）例1：求（思考）例2利用公式cosα-β证明：

（１）cosπ2-α=问题8：诱导公式与两角和与差公式之间是什么关系？例3（1）已知sinα=45，α∈(π2）已知cosβ=-513，β是第三象限角，已知sinα=45，α∈(π2,π),cosβ=-解：由sinα=45，α∈(π2,又由cosβ=-513所以cosα-β=cosα=(-35)×(-513)+(45)例4利用和（差）角公式计算下列各式的值：cos20°cos70°-sin20°sin70°;分析：差角公式把α-β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．解：（2）由公式C（α-β），得cos20°cos70°-sin20°sin70°=cos(20°+70°)=cos90°=0思考：可以怎么变式？诱导公式可以看成是公式中当a或β取特殊值时的情况，即诱导公式反映的是圆的特殊对称性，两角差的余弦公式是其一般化的表达。例3：学生根据已有的认知体系或数学活动经验，自己提出求什么。通过对两角和与差的余弦公式的运用，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；尝试：例3把题目进行适当的分段呈现，只呈现条件，而不呈现任务。（依据现象教学的理念）例4要求学生能够从反(从右到左使用公式)，与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的逆向思维意识和较高的思维的灵活性，而且对公式要有更全面、深刻的理解.公式的灵活应用（角的变换）备用．已知锐角α，β满足cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，求cosβ【解析】因为α，β为锐角，cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，所以sinα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(12,13).所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(33,65).小结问题9：回顾本节课的学习过程，主要的收获有哪些？知识上：两角和与差的公式思想方