高考数学压轴题函数

高考压轴题精选

1二次函数

2复合函数

3创新性函数

4抽象函数

5导函数（极值，单调区间）一不等式

6函数在实际中的应用

7函数与数列综合

8数列的概念和性质

9Sn与an的关系

10创新型数列

11数列与不等式

12数列与解析几何

13椭圆

14双曲线

15抛物线

16解析儿何中的参数范围问题

17解析儿何中的最值问题

18解析儿何中的定值问题

19解析儿何与向量

20探究性问题

1.二次函数

1.对于函数/(x)=a/+S+l)x+b_2("0),若存在实数使成立，则称/为/(X)的

不动点.

(1)当。=2/=-2时，求/*)的不动点；

(2)若对于任何实数"函数/&)恒有两个相异的不动点，求实数。的取值范围；

(3)在⑵的条件下，若卜=/5)的图象上A，B两点的横坐标是函数/(X)的不动点，且直线

,1

y=kx+—z——

2/+1是线段A8的垂直平分线，求实数力的取值范围.

分析：本题考查二次函数的性质、直线等基础知识，及综合分析问题的能力.

函数与方程思想

解：f(x)=ax2+(b+l)x+b-2伍工0),

(1)当a=2,b=*~2时,f(x)=2x2-x-4

设x为其不动点，即2X2-X-4=X,则2X2_2X-4=0.所以』二一1，/=2,即的不动点是-1,2.

(2)由/(x)=冗得ax2+bx+b-2=0

由已知，此方程有相异二实根，所以4，=/-4a3-2)>0,即/一4"+8a>0对任意恒成立.

12

\<0,..16«-32a<0>_­_o<a<2.

,1

V=j/V+________

⑶设4和>)8(》2，>2),直线.2/+1是线段的垂直平分线，

_b2b

/(x)=x<=>ax+bx+/?—2=0,・•.玉+々=——

记AB的中点M(%,Xo),由⑵知“。2aa

y—,+___1__,__b_—b__+__1___

:M在2/+1上，2a2a2a2+1

,a1、1V2

b=---------z-------=-----------------2---1-------------

2a2+110=4_V2

2。+一212a.一a——

a、

化简得:Va,当2时，等号成立.

2f（一+-]</（X|）+〃X2）

例2已知函数/（"）="/+4X_2,若对任意玉，々GR且x尸》2,都有I2J2.

（I）求实数。的取值范围；

（II）对于给定的实数。，有一个最小的负数”⑷，使得“'[加（。）,0]时，~4K〃龙）44都成立,

则当。为何值时，"（4最小，并求出〃（"）的最小值.

/一+-]/（一）+/（々）玉+工2[%+12]+caX\+匕玉+<^+^2+人工2+。

解：（I）•；12J22）+[2）+C2

..3*“2,，4>0.，实数。的取值范围为(°，+8).

f(x)-ax2+4x-2-a\x+—|—2—r/n、-ox-~~~<0

(ID：Ia)a,显然/⑼=-2,对称轴a。

⑴当一2一二"，即0<。<2时，7°),且/["(a)]=-4.

一2±-4-2〃

)x-

令。x~+4x—2=-4,解得a

加⑷=—2+V^=-2

此时也（”）取较大的根即aj4-2a+2,・.・Q<a<2,

M(^)=/---->-1

'J4—2a+2

42

⑵当一2一尸4,即c2时，"）<一丁旦/加（叫=<

_-2±—4+6〃

令分+4x-2=4,解得X-«,此时“⑷取较小的根，

即

一/、-2-J4+6--6

M(a)=---------------=/——

'7aJ4+6a+2

M(a)=/二>—3

•・・。22,・・.。4+6〃-2.当且仅当〃=2时，取等号.

V-3<-l,.•.当a=2时，”（”）取得最小值一3.

2复合函数

1,已知函数/（"）满足"呜㈤-a』""L其中。>。，旦"1。

⑴对于函数〃"）,当“«T1）时,）<0,求实数m的取值范围;

（2）当%2）时，/（%）—4的取值范围恰为（-8,0）,求a的取值范围。

解：“幅画号（…*>。且31）

设』呜"则』,…"马…

当ae（0,l）时，滔口（°小】a-xt》=/*）在其定义域上个

当ae（l，y°）时，滔二T>°,a'T,/”>=/⑶在其定义域上T

二Va>°且都有y="x）为其定义域上的增函数

f(-x)=—^—(a~x-ax)=-f(x)

又•:a--1...〃x）为奇函数

(1)•；当xe(—l,l)时，/(I-加)+/(1-机2)<0.../(l-/n)<-/(l-/n2)=/(n?2-1)

<-1<〃?2-1<1=1<机<V2

I—m<m2—1

（2）当工£（一8,2）时，・.・b（x）=/（x）—4在（-oo,2）上T,且值域为（一8,。）工/⑵=〃2）-4=0

一.“一/）=4^—=4。2+1=%...a=2±V3

2/\4-3x

例2.函数“X）是）-1。'+1xe的反函数，g（“）的图象与函数,一尤-1的图象关于直线

>=%一1成轴对称图形,记F（x）=/（x）+g（x）。

（1）求/（X）的解析式及其定义域；（2）试问"（力的图象上是否存在两个不同的点A、B,使直线AB

恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由。

y=_ZJ10V+l=-^-10'=^-11—y1—r

-lgT77/(x)=lgT7-(-l<x<l)

解：⑴iony+ii+y

4—3x

y--------

vg*）的图象与.％-1的图象关于直线卜=》一1成轴对称图形

y=4二3无+1=3-2%

，ga）+i的图象与x-ix-i的图象关于直线y=x对称

3-

y=-----2--x

即：g(x)+i是X-1的反函数xy-y=3-2x

v_y+3x+31

X------r)+1=-----g(x)

(y+2)x=y+3y+2...x+2x+2

1—Y]

F(x)=/W+g(x)=lgTZ-+-Zi(-l<x<l)

.1—X1

1g-----1----------

（2）假设在尸（X）的图象上存在不同的两点A、B使得轴，即义eR使得方程1+xx+2

有两不等实根

12

t=_1_-_x=_]_I______

设1+xX+1,则，在（一1,1）上J且"0

\-t1f+1lg，+Jc

x-------------=------

1+1,x+2/+3义—使得方程/+3有两不等正根

，+1

Igf=C-=(i)+77I

t+3

z、2

7/、1/X0(/)=(0-1)"I-----

设力⑺=lg(r),t+3

2

Igr=(<?-1)+

由函数图象可知：PcwR,方程7+3仅有唯一正根二不存在点A、B符合题意。

=e'_x_1g(x)=—xe%

3.设aeR且“7°，e为自然对数的底数，函数f(x)'''2'

(1)求证：当。21时，/*)"8(无)对一切非负实数乂恒成立；

(2)对于(0,1)内的任意常数a,是否存在与a有关的正常数x。，使得了*。)>g(/)成立？如

果存在，求出一个符合条件的与；否则说明理由.

分析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题

的能力.分类讨论、化归(转化)思想方法

x>0时,/(x)<g(x)<=>1<^-x2+*Jh{x)=—x2+"I=h\x)=x[a--)

解：⑴当2e，令2//

,/a>1,x>0h'(x)>0,=>力(x)在[0,+°°)上单调递增，

h(x)>〃(0)=1n/(x)<g(x)

/(x。)〉g(xo)n?焉+^+1_1<()

2,。

(2)(1),

,、a2x+1,

r(x)——xH------1

需求一个X。，使(1)成立，只要求出2"的最小值，满足'(X)min<。，

vt\x)=x(a--y)4^(0,-Ina)

a7

在(—Ina,+8)上3•」(期的=6>。)=5必”+a(—lna+l)—1

—\n2a+a(\na+1)-1<0在aG(0,1)

只需证明2内成立即可,

(IJ12

(p(d)-—Ina+a(-\na+1)-1=>(p\a)=—(Ina)>0=>(p(a)

令22

a)

=>69(tz)<69(1)—0=>■—In~a+a(—Inci+1)—1<0,

为增函数2

故存在与a有关的正常数Xo=Tna(°<“<l)使⑴成立。

3.创新型函数

1.在R上定义运算区加叫+皿(b、c为实常数)。记力⑴

/2(%)=，—2b,/eR令/(%)=/；(%)③工(力)

_4

(I)如果函数“力在%=1处有极值5,试确定b、c的值；

(II)求曲线y=/(力)上斜率为c的切线与该曲线的公共点；

(III)记屋力=1/(切(-1=41)的最大值为“.若对任意的b、c恒成立，试示女的最大值。

232

&_f^=f^x^f2(x)=~(x-3c)(x-3b)+4bc=-^x+bx+cx+bc+2bx+c

_4

(I)由/(X)在犬=1处有极值3,可得

.f'^=-1+2b+c=0

4b=\b=-1

<或1=3

3,解得L=T

若力=1,c=-1,则/(x)=*+2x—1=—(一1)2«0,此时/(X)没有极值;

若b=—l,c=3,则广(力=一%2-2彳+3=-卜一1)(》+3)。

当x变化时，"耳、/'(X)的变化情况如下表:

X(-8,-3)-3(-3,1)1(L+8)

f'(x)—0+0—

极小值单调递增极大值

/(x)单调递减单调递减

-12_4

-3

_4

.•.当x=l是，“X)有极大值-3,故b=-1，，=3即为所求。

(II)设曲线)=/⑺在x=f处的切线的斜率为C,

/'(x)=—x?+2/zx+c,...一/+20/+c=c,即产一24=0。解得f=。或，=2匕。

若y0,则〃°)=历，得切点为(°，"，)，切线方程为旷=以+反；

f+3bc|2i»,-A>3+3bc|y=cx+bc+^-b^

若"2匕，则3,得切点为I3九切线方程为3。

--X3+bx2+ex+be=ex+Z?c<=>x3-3bx2=0

若3解得玉=工2=。，X3=3b

则此时切线y=cx+"c与曲线y=〃x)的公共点为(°/c),(3b,4儿)；

--X3+Z?x2+ex+he=cx-^hc+—h3<=>x3-3bx2+4/？3=0

⑵若33,

__,y=cx-^-hc+-b3、，一卜+3/?c］

解得玉=々=2,七=-。，此时切线3与曲线y=/(町的公共点为13J,

o

综合可知，当力=0时，斜率为c的切线与曲线y=〃x)有且只有一个公共点(°，°)；当匕*0,斜率为

C的切线与曲线y=〃x)有两个不同的公共点，分别为(仇历)和(3女4左)或【2"'3"+3儿)，

区叱

(山)g(x)=|r(x)卜卜(x-8y+/+c

⑴当网>1时-，函数y=/'(x)的对称轴X=b位于区间外，/'(X)在［T［］上的最值在两端点处取

得，故M应是g(T)和8⑴中较大的一个。

.2M>g^+g(-l)=\-l+2b+c\+\-l-2b+c\>\4b\>4^即...〃>2

⑵当网"1时，函数y=f'(x)得对称轴x=b位于区间［T［］之内

此时M=max{g(-l),g⑴,g(b)}

由/'⑴-T(-l)=4b，前'3)-r(±l)=(^ml)2>0

若-iWbWO,则f'(1)<f,(-l)<f,(b),.-.g(-l)<max{g(-1),g©)}

于是222

若0Wb41,贝|J£")"⑴4fQ>),.•-g(l)<max{g(-l),^(b)}

M=max{,(—1)|,/(酬}N=;1)|+1/⑹)N1(『(—1)|—|/@)=43+以>:

于是2222

M>-

综上，对任意的b、c都有2

1/、211

b=0c=_g(x)=~x4—M=_

而当，’2时，2在区间[-1,1]上的最大值2

故MNK对任意的b,c恒成立的k的最大值为2。

x+l

〃X)=----：--------：---(%>0)

[x]-[-]+[x]+[-]+l,

例2.设函数xLxJ，其中r团表示不超过》的最大整数，如

[2]=2,[1]=0,[1.8]=1

(1)求,q)的值；

(II)若在区间23)上存在x,使得“X)kk成立,求实数卜的取值范围；

(HI)求函数/(X)的值域.

32

屋)==13

[-]=i,[-]=o2[3]-[-]+[3]+[-]+i12

解：(1)因为2」L3J，所以L2」L3」L2JL3J

[x]=2,[-]=0

(II)因为2«x<3,所以x,

/(x)=-(x+-)/，(X)=-(l--4)”/、n

则3X.求导得3X-,当24x<3时,显然有/(x)>0,

r210.

所以〃x)在区间[2,3)上递增，即可得"X)在区间23)上的值域为6'9,

k>-

在区间已⑶上存在x,使得“幻”成立，所以一6

(III)由于A©的表达式关于x与1对称,且x>0,不妨设x>l.

、，-/(1)=-、、

xa

当x=l时，=1,贝lj2；当X>1时，设x=n+。,ncN*,0<<1.

「]]n+a+—^—

—=0/(x)=f(n+a)=------n+a

则[x]=nJ"，所以L〃+l

•.•设g(x)=x+」g'(x)=l--y>0,

“，X

L<〃+i+-L

/、nH—W/?+a+

g(x)在口,+8)上是增函数，又〃4"+a<”+l,〃〃+an+1

1.1

nH-—n+1+

“X)€nn+1=/“(〃£N",〃之2)

n+1n+1

当xZ2时,

2

f(X)€(1,

当xe(1,2)时,故xw(l，a)时,〃x)的值域为IlUI2U-UInU-

11

〃+一“+1+

nn2+1

b"=

n+1+n+1

设则/“=&，2)

〃一2

""/+1)(〃+2),••・当也2时,a2=a3V

a4c・・•<an<・・・

又bn单调递减，,b2>b3>…〉bn>…a2,b2)=12^13^14落・•£In^

M+，M=i.H5-&，3=I，y

4

1，汕51055

V

/.11U12UUInU,,,=1!U12=-4)66

55

综上所述，"X)的值域为64

例3.我们用"^^应，…，％}和max{S1,S2,…，s”}分别表示实数》,力,，力中的最小者和最大者.

(1)设/(x)=min{sinx,cosx},g(x)=max{sinx,cosx},X£[0,2I],函数/*)的值域为A,函数

g(x)的值域为B,求AD8；

(2)提出下面的问题：设外,%,…，/为实数，xeR,求函数

/(x)=a,\x-x}\+a2\x-x2|+---+a„\x-xn|

(王的最小值或最大值.为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，先解决两个

特例:求函数/(乃=1"+2|+3|%+1|-5-1|和8(功=|X+1|-4|X-1|+2|X-2|的最值。得出的结论是:

[/U)]min=min{/(-2),/(-l),/(l)}>且/(乃无最大值；[gOOlmax=max{g(-l),g⑴,g(2)},且g(x)无最

小值.请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；

(3)试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明(如果结论是分类的，请选择

一种情况加以证明).

.-,V2IfV21.cn「后vr

A=-t—BR=--,1A^B=

解：(1)L」，L2」，••.L-1.

(2)若选择学生甲的结论，则说明如下，

—3x-6,x-2

—x—2,—2<x<-1

/(x)=

5x+4,-1<X<1

3x+6,x〉l,于是/CO在区间(一%-2］上是减函数，在［-2厂1］上是减函数，在

［T』上是增函数，在口，+°°)上是增函数，所以函数〃无)的最小值是min{/(-2),/(-l),/Q},且函数

/(X)没有最大值.

若选择学生乙的结论，则说明如下，

X—1,X4-1

3x4-1,-1<X<1

g(x)=\

-5x+9,1<%<2

-x+l,x>2，于是g(x)在区间上是增函数，在[-1,1]上是增函数，在[1,2]

上是减函数，在⑵+⑹上是减函数.所以函数g3>的最大值是max{g(-l),g⑴,g(2)},且函数g(x)没

有最

小值.

(3)结论：

若4+。2+…+*>0,贝|j"(x)]min=min{〃X1)J(X2)L,,/(x.)}；

若生+a2+…+%>0,则"(x)]max=max{f(x1),f(x2),•••,/(x„)}.

若生+。2+…+a“=0,贝|j"(x)]min=min{/(xJ/(X2),…,/(x")},

"(X)]max=max{/(的),/*2

以第一个结论为例证明如下:

.a{+a2-i—+4“>0,.当xe(-8,x/时,

/(x)=—(q+a2+---+an)x+(alxl+a2x2+…+%演)，是减函数,

当xw[xn,+8)时,/(%)=(«!+a2+---+a„)x-(a1x1+a2x2+•­•+anxn),是增函数

当时，函数/(x)的图像是以点(xj(xj),(£，/(》2)),…，(x“，/(x”))为端点的一系列互相

连接的折线所组成,

所以有"(x)]min=min{/(x1),/(x2),•••,/(%„)}

4.抽象函数

1.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=l对称，对任意xl、x2E[0,2]，都有

f(xl+x2)=f(xl)•f(x2),且f(l)=a>0.

111

————lim(Zl1na).

⑴求f(2)、~4)；(2)证明£6)是周期函数；(3)记2片£(11+2〃)，求“-8

解：(1)因为对xl,x2C[。2],都有f(xl+x2)=f(xl)・f(x2),所以f(x)=22'2^0,xG[0,1]

2

又因为f⑴=f(5+5)=f(5)-f(2)=[f(2)]2,f(2)=f(4+4)=f(4).f(4)=[f(4)]

1.1,

又f(l)=a>0/.f(2)=a2,f(4)=a4

证明:(2)依题意设y=f(x)关于直线x=l对称，故f(x)=f(l+l—x),即f(x)=f(2-x),xGR.

又由f(x)是偶函数知f(―x)=f(x),xGR.'.f(―x)=f(2—x),xGR.

将上式中一x以x代换得f(x)=f(x+2),这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.

解：⑶由⑴知f(x)20,x£[0,1]

2

Vf()=f(n,2??)=f(2n+(n—1)2n)=f(2n).f((n—1)•2n)

_L±1_Xi±L

22,1

........=f(2〃)•f(2n).............f(2")=[f(2”)]=a,/.f(2n)=a.

又•；f(x)的一个周期是2

———]im(lna,,)=lim(-lna)=0.

；.f(2n+2“)=f(2〃)，因此an=a"'，；."f82n

例2.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m,n,总有,(.+〃)=」(.)J㈤，且当xX)时，

0<f(x)<lo

(1)判断f(x)的单调性；⑵设/={(猫刈/(/)加2)>川)),

B={(x，y)\f(ax-y+42)=lae号,若AuB为空集，试确定a的取值范围。

解：(1)在/(冽+%)=/(冽)/㈤中，令羽=1，«=0,得〃1)=/(1)J(0),因为了(1)。所以,(°)=1。

在/(•+*)=/(耀)，/5)中，令加=x,n=-x

因为当x>。时，所以当x<。时一“>0，

而/a）/（-x）=/（o）=i,所以，"）_/（一幻>i>°

又当x=0时，1/（0）=l>0,所以，综上可知，对于任意XCR,均有了。）>0。

设-00<Xj<x2<-+«□,则4-X1>0,0</（x2一X1）<1

所以丁（心）=/[x1+（x2-Xi）]=/（%1）•丁（心一为）</（为）

所以丁=力>）在R上为减函数。

（2）由于函数y=f（x）在R上为减函数，所以八/）4>2）=/（/+/）>/。）

即有又〃a一丁+/）=1=〃°）,根据函数的单调性，有以一y+六=0

_^_>1

由AuB="所以直线以-V+血=°与圆面<1无公共点。因此有、匹T,解得

-1<<7<1o

5.导函数——不等式

1.已知函数〃x）=e'*xwR

（I）茗k=e,试确定函数/*）的单调区间；

（II）若上且对于任意xeR,/（W）>°恒成立，试确定实数人的取值范围；

（III）设函数/（x）=/（x）+/（r）,求证：*1）仪2）…F（〃）>（e"T+2）"〃eN*）.

分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质

的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。

解：（I）由％=e得/（x）=e'-ex,所以/'（x）=e'-e.

由广⑶>°得x>1,故/*）的单调递增区间是（L+°°）,

由/'（X）<0得x<1,故/（■的单调递减区间是（-8，1）.

（n）由八卜止，M可知郑»是偶函数.

于是/（可）〉°对任意尤eR成立等价于〃幻>°对任意XN0成立.由广（幻=e,-=0得X=In左.

①当女e(0,l］时,f'(x)=e-k>\-k^0(x>0)此时/(x)在［0，+°°)上单调递增

故/(幻2/(0)=1>0,符合题意.

②当％e(l,+co)时,lnZr>0.当x变化时/'*)，/(幻的变化情况如下表:

X(0,Ink)]nk(Ink,+oo)

f'M—0+

/(无)单调递减极小值单调递增

由此可得，在⑼+8)上，/(x)»/(ln%)=k-Ain上.

依题意，k-klnk>0,又综合①，②得，实数左的取值范围是。<%<e.

(HI)尸(》)=/(x)+/(—%)=e*+尸，

•••F(xJ/(々)=e*+*2+e《E2)+9-*2+ef+次>炉+与+S"曰2)+2>炉+电+2,

,,+1

.•.F(l)F(/i)>e+2(

F(2)F(/2-l)>eH+l+2

F(«)F(l)>en+1+2.

由此得，[尸(1)%2)…尸⑺]2=[F(l)F(«)][F(2)F(n-1)]-[F(n)F(l)]>(en+,+2)”

n

故F(1)F(2)---F(«)>(en+1+2)5,〃wN*.

x322

/(x)=——g,(x)=t3x——t

2.设3,对任意实数、记3

(I)求函数y=〃x)_g8(x)的单调区间;(n)求证：(i)当x>0时,/(x)N&(x)对任意正实数f

成立；

(ii)有且仅有一个正实数”。，使得心(/)2&(%。)对于任意正实数，成立。

分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知

识分析和解决问题的能力.分类讨论、化归(转化)思想方法

%3,16

y=-----4xH---

(I)解：33.

由了=/一4=°,得彳=±2.因为当xe(一如一2)时，y'>°,

当了€(—2,2)时，y<0,当xe(2,+8)时，了>0,

故所求函数的单调递增区间是(—8，-2),(2,+8),单调递减区间是(-2,2).

(H)证明：(i)方法一：

y322

令h（x）=/（尤）-g,（x）=w"x+>0）,则“3=尤2_上

I1

当，〉0时，由l（x）=0,得x=#,当尤6（炉,+00）时，/（x）〉0,

所以〃（“）在（°，+°°）内的最小值是皿）=°.故当X>°时，/"）2g，（X）对任意正实数，成立.

方法二：

222.11

i33

“h(t)=gl(x)=tx--t(t>0)h'(t)=-t(x-/)

对任意固定的x>°,令3则3

由力'⑺=0,得£=/当0</<无3口寸，h\t)>0.当，时,hf(t)<0

所以当f=/时，力⑺取得最大值）=3".因此当x>°时，/（x）2g（x）对任意正实数f成立.

（ii）方法一：

8

“）3&（）.由（i）得，g，⑵、&（2）对任意正实数/成立.

即存在正实数无。=2,使得&（2）2&（2）对任意正实数f成立.

下面证明毛的唯一性：

、i，xW2x〉0te।/（/）=+g,r（x（））=4xo-当

当人0千乙，人o，u,f=8时，3,3,

3

x0.16/、xJ

由⑴得，T>4X«-T,再取r=*得。5）=7,

所以g,（x°）-4%-不〈丁一g、,j（x。），即与*2时，不满足g.（x。）2g,（尤。）对任意t>0都成立.

故有且仅有一个正实数4=2,使得g,@）0》&（/）对任意正实数，成立.

/、，16

一』>08.'（/）=4%一刀

方法二：对任意%>u,3,

因为g,（X0）关于f的最大值是3*,所以要使g.r（Xo）》g，（X。）对任意正实数成立的充分必要条件是:

_16>]_3

°-T^3X°,即（无。-2）2*。+4）忘0,①

又因为不等式①成立的充分必要条件是%=2,所以有且仅有一个正实数%=2,

使得以(/)2%(/)对任意正实数/成立.

3.定义函数fn(x)=(l+x)n-l,x>-2,nGN*

(1)求证：fn(x)2nx；

⑵是否存在区间[a,0](a<0),使函数h(x)=f3(x)-f2(x)在区间[a,0]上的值域为

[ka,0]?若存在，求出最小实数k的值及相应的区间[a,0],若不存在，说明理由.

分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知

识分析和解决问题的能力.分类讨论、数形结合思想方法

解：(1)证明：fn(x)—nx=(1+x)n—1—nx,

令g(x)=(l+x)n—1—nx,则g'(x)=n[(1+x)n—1—1].

当xC(—2,0)时，g'(x)<0,当x£(0,+8)时，g，(x)>0,

•*.g(x)在x=0处取得极小值g(0)=0,同时g(x)是单峰函数，

则8(0)也是最小值.，g(x)N0,即fn(x)Nnx(当且仅当x=0时取等号).

注：亦可用数学归纳法证明.

⑵,.,h(x)=f3(x)—f2(x)=x(1+x)2h'(x)=(l+x)2+x・2(l+x)=(l+x)(l+

3x)

1

或

得X---

令h'(x)=0,-X-3

...当xe(—2,—1),h'(x)>0；当x6(-1,一1)时，h'(x)4'<0；

/

i4.--L/

当x£(一1，十8)时，h'(x)>0."JI_L—/.——►

3yox

故作出h(x)的草图如图所示，讨论如下：h—

14

①当一^Wa<0时，h(x)最小值h(a)=ka；.k=(1+a)22G

OCz

4114—414

②当一1WaW—1时h(x)最小值h(a)=h(—1)=—g=ka

33327z7a99

414

③当a=一可时h(x)最小值h(a)=a(l+a)2=kak=(l+a)22G，a=一1时取等号.

oyj

14

综上讨论可知k的最小值为6,此时[a,0]=[一a，0].

f(x)=----(xeR)

例4.已知厂+2在区间[r一口]上是增函数。

(1)求实数。的值组成的集合A；

/(x)=—

(2)设关于X的方程X的两个非零实根为玉、％。试问：是否立使得不等式

〃?2+加+lN|X|-X2l对VaeA及fe[TJ恒成立？若存在，求加的取值范围；若不存在，请说明理由。

分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知

识分析和解决问题的能力.函数方程思想、化归(转化)思想方法

2x-a,「、

//、—;---(%£R)

解：(1)：/(x)=X+2

,2(x-+2)—(2x—a)•2x2(/—cix—2)

J(x)=

..・a+2)2(X+2)2

2(一一姓一2)、八

=-------------2(J

v/(X)在[—1,1]上Tf'M(X2+2)2对Vxw[—U]恒成立

gpVxG[-1,1]恒有/一"一2«0成立

g(-l)=a-l<0/.-1<tz<1

得g(x)x-2•\g(l)=-a-l<0A=[-1,1]

f(x)=2x-JI

(2)x2+2xx2-ax-2=0

'：A=«2+8>0项、£是方程/_奴-2=0的两不等实根，且匹+X2=a,再超=-2

22

.|X]-x2|=+x2)-4xtx2=7a+8e[2-j2,3]

...m~+tm+l>\x,-x2|对VaeA及/e[-l』恒成立

:.根2+52+123对Vfw[-1J]恒成立

设〃(f)=-2),te[-1,1]

...g)N0对Vf€[-1,1]恒成立

/i(-l)=ni2-m-2>0[m<->2

.[人(1)=机2+加一220[m<-2^m>1

...3me(-=0,-2]u[2,+oo)满足题意

5.已知函数〃x)=lne+a)(a>0)。

(1)求函数y=〃x)的反函数〉=广'(刈和/a)的导函数/a)；

(2)假设对Vxe[ln(3a),ln(40],不等式|血一尸(x)|+ln(：(x))<0成立，求实数〃?的取值范围。

分析：本题主要考查反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运

用所学知识分析和解决问题的能力.化归(转化)思想方法

xyxyy

解：(1)y=ln(e'+")e+a=ee=e-a=\n(e-a)

/T(x)=ln(e*-a)y=\n(ex+a).../("