2018中考初中数学圆的最值问题含答案

数学组卷圆的最值问题

•选择题（共7小题）

1.（20XX春？兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点B为y轴正半轴上的

一点,点C为第一象限内一点，且AC=2,设tan/BOC=m,贝Um的取值范围是（）

A,m>0B•「、耳C•亦、匚D•[-----.#

2♦（20XX?武汉模拟）如图BAC=60o,半径长0与/BAC勺两边相切，P为。0上一动点,

以P为圆心，PA长为半径的OP交射线AB、AC于D、E两点，连接DE,则线段DE长度的最大值

为（）

于B、C两点.若。0的半径长为3,OP=「，则弦BC的最大值为（)

A.2、B.3c.'■D.3/

4.（2015?黄陂区校级模拟）如图，扇形AOD中，/A0D=90°QA=6,点P为弧AD上任意一点

（不与点A和D重合），PQ_LOD于Q,点IOPQ勺内心，过0,I和D三点的圆的半径为r.则

当点P

在弧AD上运动时，r的值满足（）

A.0vrv3B.r=3C.3vrv3■:D.r=3:

5.（20XX?苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2,0）、（0,2）,0C

的圆心坐标为（-1,0）,半径为1•若D是0C上的一个动点，线段DA与y轴交于点

丘，则AAB面积的最小值是（）

A.2B.1C.~D.

2

6.（20XX?市中区模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0）、（0,

-6）,0C的圆心坐标为（0,7）,半径为5.若P是0C上的一个动点，线

段PB与G轴交于点D,则aABS积的最大值是（)

A.63B.3l,C.32D.30

上的一个动点，那么/的0A大值是（）

7.（20XX?枣庄）如图，已知线段0A交。0于点B,且0B=AB,点P是。0

£:二

：!

8(20XXZtW)如，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD

，连接B&<AG于点H.若正方形的边长为2，贝谶段DH长度的最小值是

BC

9.（2015?黄陂区校级模拟）如

图，在Rt△AB（中,

A.90°B.60°.45°D.30

/ACB=90°AC=4,BC=3，

点D是平面内的一个动点，且AD=2,M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值

范围是

10.(20XX?宁波)如图，△中BCZBAC=60°,ZABC=AB=2,:,D是线段BC上的一个

动点，以AD为直径画。0分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为

11.（2015?峨眉山市一模）如图，已知直线I与。0相离，OA_L于点A,0A=10,OA与。。相交于点P,

AB与。0相切于点B,BP的延长线交直线I于点C.若。0上存在点0,使ZxQA是以AC为底边的等腰三角形,

则半径r的取值范围是：

12.（20XX?长春模拟）如图，在4中，BCC=90C=12,BC=5,经过点C

目燮怨相切的动圆与B

XV

13.（20XX?陕西）如图>AB,（oH------是。0的•条弦，点C是00

上一动点5且/ACB=30。，点£、5分别是人0、80的中点，

CA、CB分别相交于点P、Q,则PQ长的最小值

直线EF与。0交于G、II两点.若00的半径为7,则GE+FII的最大值为

14.（20XX?咸宁）如图，在Rt△A0中，0A=0B=3：00的半径为1,点P是AB

边上的动点，

过点P作。0的一条切线PQ（点Q为切点），贝U切线PQ的最小值为

15.（20XX?内江）在平面直角坐标系GOy中，以原点0为圆心的圆过点A（13,

0），直线y=kG-3k+4与00交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为

牛尹吟1交身.A，与y轴相交于点B,则线段AB的最小值是

U游芍点.若正方形ABCD的周长为28，且DE=4，则sin/ODE=

16.（20XX?苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆

心，2为半径画。0,是。。是一动点且P在第一象限内，过P作。0切线

江阴市校级期中）如图，。。与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与（）0

（20XX春？兴化市校级月考）如图所示，已知A（1,yD,B（2,y2）为反比例函数

图象N上

的两点，，动点P（G,0）在G轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标

B

…匕D

19.（2015?泰兴市二3

D与点A、B不重合），-模）如图,定长弦CD在以AB为直径的。0上滑动（点C、

M是CD的中点，过点C作CPJ_AB于点P,若CD=3,

AB=8,PM=1,则I的最大值是

三.解答题（共5小题）

20.（20XX?武汉模拟）如图,在边长为1的等边△0AB,以边AB为直径作0D,o

C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC\\

以0为圆心0A长为半径作圆0,

交00于点E,BC=a,AC=b.

（1）求证：AE=b+a；

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是关于G

的方程：G2+:aG=b

2+：ab的根，求

m西用或X连接BE交AG于H.已知正方形ABCD的边长为4cm

解决下列问题：

（1）_L

（看翁段DH\白勺长度的最小

/\的取值范围.

一

21（20XX春？泰兴市校级期中）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两/

个动点，满足AE=DF.连M|

接

P

22.已知：如图，AB是00的直径，在AB的两侧有定点C和动点..

P,AB=5,AC=3.点P在篇上运动（点P不与A,B重合），CP交

AB于点I）,过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.［重点实用参考文档资料］

(1)求/P的正切值;

(2)当CPJLAB时,求CD和CQ的长;

，使AC与BC的距离之和最小，我们可则

点C即为所求.

(3)当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长.

(1)实践运用：

如图(b),已知，。0的直径CD为4,点A在。0上，/ACD=30。，为弧AD的中点，P为直径

CD上一动点，贝UBP+AP的最小值为直线।C

(2)知识拓展：如图(c),在Rt△AB(中，AB=10,/BAC=45°，Z的平分线交BC

于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答B

过程.

24.(20XX?苏州)如图，已知半径为2的。0与直线I相切于点A,点P是直

径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线I的垂线，垂足为C,PC

与。0交于点D,连接PA、PB,设PC的长为G(2vGV4).

(1)当6=时，求弦PA、PB的长度；

⑵当G为何值时，PD?CD值最大？最大值是多少？

25、如图，在等腰RtZiKBC中，/C=90°C=BC=4,D是AB的中点，点E在AB边上运动(点

E不与点A重合)，过A、D、E三点作C,Q0交AC于另一点F,在此运动变化的过程中，线

段EF长度的最小值为(

F

26、如图，线段AB=4,C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,

Q0外接于ACDE,则Q0半径的最小值为().

2"33J2

A.4B.C.D.2

32

27、如图，已知直角AAOB中，直角顶点0在半径为1的圆心上，斜边与圆相切，延长AO,B0分别与圆交

于C,D•试求四边形ABCD面积的最小值.

图3-9T

2015年12月18日王军的初中数学组卷圆的最值问题

参考答案与试题解析

♦选择题（共7小题）

1.（20XX春？兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点B为y轴正半轴上的

一点，点C为第一象限内一点，且AC=2,设tanZB0C=m,贝Um的取值范围是（）

A.m>0B.c.旧石）.~~

传隔萼标件为圆心，以2为半径的圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，/BOC

最小，根据勾股定理求出此日寸八OC，求出/BOC=ZCA。,根据解直角三角形求出此时的值，根据

tan/BO的增减性，）-4•.嚓

的位薪（坐标与图形性质；锐

【解答】解：C以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当0C与圆A相切（即到C点）时，/B0C

最小，

AC=2,0A=3,由勾股定理得：0C=

vZBOA=ZAC0=90°,•••/BOC+ZA0C=90o,/CAO+ZA0C=90°,

•••ZBOC=ZOAC,

tanZB0C=tanZOAC==弓，随着C的移动，ZBOCS越大，

VC在第一象限，

•C不到G轴点，

即ZBOCv90

•tan

故选B.

ZBO

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定/的变化范

围是解此哪9慈，题型比较好，但是有•定的难度.

《外暇、＞A长为'管，勺。P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值

A.3B.6C,延D.373

2

【考点】切线的性

【专题】计算题.

【分析】连接A0并延长，与圆0交于P点，当AF垂直于ED时，线段DE长最大，设圆0与AB相切于点M,连接

OM,PD,由对称性得到AF为角平分线，得到/为FAD度，根据切线的性质

得到0M垂直于AD,在直角三角形AOM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出A0的长，由A0+0P求出

AP的长，即为圆P的半径，由三角形AED为等边三角形，得到DP为角平分线，在直角三角形PFD中，利用30度

所对的直角边等于斜边的一半求出PF的长，再利用勾股定理求出FD的长，由DE=2FD求出DE的长，即为DE的最

大值.

【解答】解：连接A0并延长，与ED交于F点，与圆。交于P点，此时线段ED最大，

连接0M,PD,可得F为ED的中点，

vZBAC0°,AE=AD,

•••△AE为等边三角形，

•••AF为角平分线，即ZFAD=30°,

在Rt△A0M中，0M=l，ZOAM=30°,

…0A=2,

PD=PA=A0+0P=3,

在Rt△PD中，ZFDP=30°D=3,

使据勾履咽，市

熟练掌握切线的性质是解本题的关键

3伙20XX?武汉榭即

CoScl

【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质,

如图，P为。0内的一个定点，A为。0上的一个动点，射线AP、A0分别

♦若。0的半径长为3,0P=二则弦BC的最大值为（

A.2、B.3C.D.3”■

【考点】垂径定理；三角形中位线定理

【分析】当OP_LAB时，弦BC最长，根据三角形相似可以确定答案.

【解答】解：当OPJLAC时，弦BC最长,

又•••A是直径,

•••/CBA=90o,所以公APOsAABC,

【点评】本题考查了直径所对的圆周角是90。这一性质的应用，以及如何取线段最值问题的做法，用好三角形相

似是解答本题的关键.

4.（2015?黄陂区校级模拟）如图，扇形AOD中，/A0D=90°QA=6,点P为弧AD上任意一点（不与点-A和D

重合）,19,0口于、，点1OPQ勺内心，过0,I和D三点的圆的半径为r.则

/弧,AD."单动叫r的值满足

OnD

A.0vrv3B.r=3C.3vrv3：D.r=3:

【考点】三角形的内切圆与内心

【分析】连01,PI,DL由40P的内心为I,可得到/PI0=180°-ZIPO-ZI0P=180°-

IJ

（Z1I0P+QPH）=135o,并且易证aOPI©AGDI,得到ZDI0=ZPI0=13在以QD所以点

弦，并且所对的圆周角为135。的一段劣弧上；过D、I、0三点作。0',如图，连D,0'0,在优

弧A0取点P',连D,P'0,可得ZDP>0=1800-1350=45。，得ZD0'0=90°,0'

【解答】解：如图，连01,PI,DI,

•••△0P的内心为I,

•••ZI0P=ZI0D,ZIP0=ZIPH,

•••zPI0=180°-zIPO-zI0P=18ZHGP+ZOPH)

而PH_L0D,即ZPH0=90°

•ZPI0=180°-zHOP+ZOPH)=180°,-(180°-90°)=135

在ZxOP和4OD中,

110=10

彳ZPOI=ZDPI,

iOD-OP

•••△OPIOAS))

•ZDIO=ZPIO=135°,

所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135。的一段劣弧上；

过D、I、0三点作。0',如图，连D,010,

在优弧DO取点P',连"D,P'0,

vZ1)10=135

0=18135=45

lj

0"0=90°）D=6,

,00,二DO,=3,

II••的值为3.

故选：D.

【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题

的关键.

I鞅I

5.（20XX?

苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2,0）、（0,2）,0C的圆心坐标为（7,以半径为

上的一个动点，线段DA与y轴交于点丘，则ZxAB面积的最小值是（）

A.2B.1C..—D.

2

【考点】切线的性质；坐标与图形性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质.

【专题】压轴题；动点型.

【分析】由于0A的长为定值，若AABE的面积最小，贝UBE的长最短，此时AD与。0相切；可连接CD,在Rt

△AD（中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△的面积；易证得△AEOsAACD

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出公的面积，进而0可得出△和AOBA0的面

积差，由此得解.

【解答】解：若^的面积最小，贝UAD与0C相切，连接CD,则CD_LAD；

Rt△AC中，CD=1,AC=0C+0A=3

由勾股定理，得：AD=2_；

,SAAc=ffD?CDZ，；

易讦得△AOEsAADC.

即SAAO=

•'•SAAB=SZ\AOP-SAAO=X2X2一二2-±

_T\22'

另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！

【点此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判

断出△面积最小时AD与0C的位置关系是解答此题的关键.

/p、、尹区模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0）、（0,-6）,0C的圆心坐标

6.（20般？命|

弋">半径为5•若P是0C上的一个动点，线段PB与G轴交于点D,则4AB面积的最大

为（0,A

值是（弓厂

A.63B.31C.32D.30

2

【考点】一次函数综合题

【分析】当直线BP与圆相切时，△AB面积最大，易证△0B“APBC,根据相似三角形的对应边

的比相等即可求得0D的长，则AD的长度可以求得，最后利用三角形的面积公式即可求解.

【解答】解：当直线BP与圆相切时，△ABB积最大.

连接PC,贝U/CPB=90°,

在直角△BCPBP=#BC2-PCE=J13J5"12.

v/CPB=90°.

•/D0B=/CPB=900

又v/DBP=/CBP,

•AOBDS^CPB

您=0E=L二_L

卫=丽=卫=2,

6=311.

2

【点评】本题考查了切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，理解△的面积最大的条件是关

T72oXX?枣庄）如图，已知线段0A交。0于点B,且OB=AB,点P是。0上的一个动点，那么

LOAP的最大值是）

A.90°B.60°.45°D.30°

【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形.

【分析】当AP与。。相切时，Z0AP有最大值，连结0P,根据切线的性质得OPLAP,由0B=AB

得0A=20P,然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到此时/的度数.0AP

【解答】解：当AP与。0相切时，/0有最大值，连结0P,如图，

贝UOP±AP,

…0B=AB,

•••OA=2OP，

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了含30度的直角三角形三

边的关系.

.填空题（共12小题）

r

8.(20XX?就，如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF•连接CF交BD

，连接BE交AG于点H•若正方形的边长为2,贝谶段DH长度的最小值是忑7

【考点】正方形的性质

【专题】压轴题.

【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD,/BAD=/CDA,ADG=ZCDG,然后利用“边角边”

证明△ABBDC全等，根据全等三角形对应角相等可得/利用=*7SAS”证明△ADGCDG

全等，根据全等三角形对应角相等可得/2=/3,从而得到/1=/3,然后求出2的AHB=

中点0,连接OH、0D,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得0H=,AB=1,利用勾

股定理列式求出0D,然后根据三角形的三边关系可知当0、D、H三点共线时，DH的长度最小.

【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD,2BAD=2CDA,2ADG=2CDG,

在Zx八8和△DCFF,

rABCD彳ZBAD=ZCDA,[AE=DF

CBSfiSX,

•••21=22,

心ADG3CD(中，

M二CD

彳ZADG=ZCDG,

(DG=DG

•AADG'ACDG(),

•22=23,

・21=23,

vZBAH+23=2BAD=90°

•21+2BAH=90°,

•2AHB=180°90­°=90

取AB的中点0,连接OH、0D,

贝UOH=AO=,AB=1,

［重点实用参考文档资料］

在Rt△AOD中，0D二「十，-「「=乙

根据三角形的三边关系，OH+DH>0D,

•••当0、D、H三点共线时，DH的长度最小,

最小值=0D-0H=

解为点H是在Rt△AHB,AB直径的半圆AB上运动当0、H、D三点共线时，DH

长度旃）

故饼例:

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的

「半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点.

9.（2015?黄陂区校级模拟）如图，在Rt△AB（中，ZACB=90°C=4,BC=3,点D是平面内的点，且％D=2,M

为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是号g

【考点】轨迹

【分析】作AB的中点E,连接EM、CE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求

得CE和EM的长，然后在公CEM据三边关系即可求解.

【解答】解：作AB的中点E,连接EM、CE.

在直角△ABC,AB=rrr：厂=5,

TE是直角△ABC边AB上的中点，

1£

•CE=AB=.

22

TM是BD的中点，E是AB的中点,

ME=AD=1.

rr■?7

CEM,,-1<CM<户1,即<CM<

【点评】本题考查了轨迹，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.

?宁波）如图，ZXABC中，/BAC=60。，/ABC=45B=2,F,D是线段BC上的一个

100分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为

【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形

【专题】压轴题.

【分析】由垂线段的性质可知，当ADABCS边BC上的高时，直径AD最短，此时线段

EF=2EH=20E?sin/E0H=20E?sin60。，因此当半径！短时，EF最短，连接0E,0F,过0点作OH_LEF,

垂足为H,在Rt△AD中，解直角三角形求直径AD,由圆周角定理可知

/E0ll=ZEOF=/BAC=60o,在^E0中，解直角三角形求EH,由垂径定理可知EF=2EH.

【解答】解：由垂线段的性质可知，当ADAB的边BC上的高时，直径AD最短，

如图，连接0E,0F,过0点作OH_LEF,垂足为H,

•••在Rt△AD中，ZABC=45°AJ3=2

•••AD=BD=2,即此时圆的直径为2,

由圆周角定理可知zEZHEOF=ZBAC=60

2

在Rt△EH=OE?sinZEOH圣=乌

\22

【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用.关键是根据运动变化，找出满足条

件的最小圆，再解直角三角形.

11.（2015?峨眉山市一模）如图，已知直线I与。0相离，0A±1点A,0A=10,0A与。。相交于点P,

AB与/p相切于点B,BP的延长线交直线I于点C.若。0上存在点0,使公QA是以AC为底边的等腰三角形,

则半径r的取值范围是：2万wr〈W.

【考点】直线与圆的位置关系

【分析】首先证明AB=AC,再根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线

MN,作OE_LMN,求出OEvr,求出r范围即可.

【解答】解：连接0B.如图1,

•••AB切00于B,0A±AC,

•••/OBA=Z0AC=90°,

•••/OBP+ZABP=90»,/ACP+/APC=90°,

…OP=OB,

…/OBP=ZOPB,

vZOPB=ZAPC,

…/ACP=ZABC,

•••AB=AC,

作出线段AC的垂直平分线MN,作OE±MN,如图2,

•••唯AC=wAB=*「，

又v圆0与直线MN有交点，

•0E=,.y;

_一・2r,

即：100-r2w4?,

•r>20,

・r>2.

v0A=10,直线I与00相离，

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理,

直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.本题综合性比较强,

有一定的难度.

B

长春模拟）如图，在^中ABCC=900C=12,BC=5,经过点C且与边AB相切的

{^于点P、Q，则PQ长的最小值为二

A

【考点】切线的性质；垂线段最短；勾股定理

【分析】过C作CDAB于D,在aAB中，由勾股定理求出AB=13,由三角形面积公式求出co="

CD-_1.，

当CD为过C点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是6。求出pQ为圆的直径即可.

【解答】解：过C作CD_LAB于D,在公AB中，/C=90°'C=12,BC=5,由勾股定理得：AB=13,由三角

形面积公式得：S=ACXBC=ABXCD,

CD='',

131

当CD为过C点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是‘，

vZBCA=90°，

…PC为圆的直

【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积，圆周角定理，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出

圆的直

13.（20XX?陕西）如图，AB是。0的一条弦，点C是。0上一动点，且/

°，ACB=30°E,点分别

班ACQC[•，必/

八口丁；尸、7

直线EF与。。交于G、H两点.若。0的半径为7,则GE+FII的最大值为10.5

【考点】圆周角定理；三角形中位线定理

【专题】压轴题.

【分析】由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=AB=3.5为定值，则

GE+FH=GH-EF=GH-3.5,所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值.而直径是圆中最长的弦，故当GH为。0

的直径时，GE+FH有最大值14-3.5=10.5.

【解答】解：当GH为。0的直径时，GE+FH有最大值.

当GH为直径时，E点与0点重合，

•••AC也是直径，AC=14.

•••/AB是直径上的圆周角，

…/ABC=90°,

vZC=30°,

•••AB=AC=7.

2

v点E、F分别为AC、BC的中点，

…EF=AB=3.5,

2

…GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5.

故答案为：10.5.

【点评】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度.确定GH的位置是解题

的关键.

14.(20?咸宁）如图，在Rt△A0中，0A=0B=300的半径为1，点P是AB边上的劫点,

（点Q为切点），贝U切线PQ的最小值为2一

【考点】切线的性质；等腰直角三角形

【专题】压轴题.

【分析】首先连接OP、0Q,根据勾股定理知PQ'OP2-0Q\可得当OPJ.AB时，即线段PQ最短，然后

由勾股定理即可求得答案.

【解答】解：连接OP、0Q.

・・・PC是00的切线,

…OCXPC；

根据勾股定理知PC2=0P2-0C2,

•••当POXAB时，线段PC最短，

•••在Rt△A0中，0A=0B=3一：，

•AB=-0A=6,

助线的作法;‘注意得到当POXAB时’线段PC最短是关键.

【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中,

注意掌握辅

15

8

:平面直角坐标系GOy中，以原点0为圆心的圆过点A（13,0）,直线y=kGB、C

两点，则弦BC的长的最小值为24

【考点】一次函数综合题

【专题】压轴题.

【分析】根据直线丫=1^-3k+4必过点I)(3,4)，求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再

求出0D的长，再根据以原点0为圆心的圆过点A(13,0),求出OB的长，再利用勾股定理求出BD,即可

得出答案.

【解答】解：•••直线y=kG-3k+4=k(G-3)+4,

kG-3)-y-4,

Tk有无数个值,

•'*G一3=0,y-4=0,解得G=3,y=4,

•直线必过点D(3,4),

•••最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦,

•••点D的坐标是(3,4),

•0D=5,

•••以原点0为圆心的圆过点A(13,0),

♦圆的半径为13,

【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出

BC最短时的位置.

16.（20XX?苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画。0,

P是。0是一动点且P在第一象限内，过P作。0切线与G轴相交于点A,与y轴相交于点B•则线段AB的最

小值是4.

【考点】切线的性质；坐标与图形性质

【分析】如图，设AB的中点为C,连接0P,由于AB是圆的切线，故4是直角三角形，有0P

v0C,所以当0C与0P重合时，0C最短；

【解答】解：（1）线段AB长度的最小值为4,

理由如下：

连接0P,

•••AB切00于P,

…0P_LAB,

取AB的中点C,

…AB=20C;

当0C=0P时，0C最短,

此时【点评】本题利用了切线的性质，等腰直角三角形的性质求解，属于基础性题目.

AD

17.0版除饭，江阴市校级期中）如图，00与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与00

相切于•若F方形ABCD的周长为28,且DE=4,则sin/0DE=.

5

BC

【考点】切线的性质；正方形的性质•普优网版权所有

【分析】先证得四边形ANOM是正方形，求出AM长，根据勾股定理求得0D的长，根据解直角三角形求出即可.

【解答】解：设切线AD的切点为M,切线AB的切点为N,连接OM、ON、0E,

•••四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的周长为28,

•••AD=AB=7,/A=90°,

•••圆0与正方形ABCD的两边AB、AD相切,

•••/OMA=Z0NA=90°=/A,

…OM=ON

•••四边形ANOM是正方形，

…AD和DE与圆0相切，

…0E±DE,DM=DE=4,

•••AM=7-4=3,

…0M=ON=0E=3,

在RTAODM中,0D=J在5,

【点评】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出

18（2QXX春？兴化市校级月考）如图所示，已知A（1，yi），B（2,y2）为反比例函数y=±图象上

i,0）在G轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标S

是）

AM长和得出DE=DM.

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；三角形三边关系

的耀计算题.

(3.0).

【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征确定A点坐标为（1,1）,B点坐标为（2,±）,再

利用待定系数法确定直线AB的解析式为广G+；,然后根据三角形三边的关系得到|PA-

PB|<AB,当点P为直线AB与G轴的交点时，取等号，则线段AP与线段BP之差达到最大，然后确定直线y=-G+

与G轴的交点坐标即可.

22

【解答】解：把A（1,yi）,B（2,y）代入y=2得yi=l,y2=”,则A点坐标为（1,1）,B点坐

x2

标为（2,；）,

设直线AB的解析式为y=kG+b,6

7

把A（1，1），B（2,£）代人得」1,解得3

所以直线AB的解析式为y=-吉G+号，Ig

因为|PA-PB|<AB,

所以当点P为直线AB与G轴的交点时，线段AP与线段BP之差达到最大，

把y=0代入y=——G+=得-」G+匚=0,解得G=3,

2222

所以P点坐标为（3,0）

故答案为（3,0）

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=,（k为常数，k工0,的图象是

双曲线，图象上的点（G,y）的横纵坐标的积是定值k,即Gy=k.

19.（2015?泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的。0上滑动（点C、I）与点A、B不重

合），M是CD的中点，过点C作CP_LAB于点P,若CD=3,AB=8,PM=1,则I的最大值是4.

【考点】垂径定理；三角形中位线定理.

【分析】当CD〃AB时，PM长最大，连接0M,0C,得出矩形CP0M,推出PM=OC,求出0C

长即可.

【解答】解：法①：如图：当CD/AB时，PM长最大，连接0M,0C,•••CD/AB,CP±CD,

•••CP±AB,•••M为CD中点，OM过0,

•••OM!CD,

…/OMC=ZPCD=ZCP0=90°,

•••四边形CPOM是矩形，

…PM=OC,

vOO直径AB=8,

,••半径0C=4,

即PM=4,

故答案为：4.

法②：连接CO,M0,根据/CPO=ZCM0=90。，所以M,0,P,四点共圆，且CO为直径•连接PM・，贝UPM为

0E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=C0=4时PM最大.即PM面=4

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的

CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度.

三.解答题（共5小题）

HAB上不与A、B重合的一动点,射线AC交OO于点E,BC=a.AC=b.

程：G2+:aG=b2+;ab的一个根，求m的取值范围.

20.（20XX?武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB,以边AB为直径作0D以0为圆心0A

【考点】圆的综合题.

【分析】(1)首先连接BE,由公0A为等边三角形，可得/A0B=60。，又由圆周角定理，可求得/E

的度数，又由AB为0D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+~a；

(2)首先过点C作CH_LAB于H,在Rt△AB(中，BC=a,AC=b,AB=1,可得(a+b)

2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH<1+2AD=1+AB=2,即可求得答案；

(3)由G?+¥ZaG=b2+¥lab,可得(G-b)(G+b+—la)=0,则可求得G的值，继而可求得m的取值范围.

【解答】解：(1)连接BE,

•••△0A为等边三角形，

•••/A0B=60°,

••・/AEB=30°,

•••AB为直径，

•••/ACB=/BCE=90°,

BC=a,

•••BE=2a,CE=Fa,

•••AC=b,

•••AE二b+〃：..：、a;

(2)过点C作CH_LAB于H,在Rt△AB(中，BC=a,AC=b,AB=1,

•a2+b2=1,

AB=2AC?BC=2AB?CH,

22

•AC?BC=AB?CH,

•(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH<1+2AD=1+AB=2,

•a+b<:,

故a+b的最大值为■:,

(3)vG2+aG=b2+ab,

•*,G2-b2+aG-；ab=O,

・°・（G+b）（G—b）+\；:>a（G_b）=0,

•°.（G-b）（G+b+]a）=0,

•'・G=b或G=—（b+a）,

当m=b时，m=b二ACvAB=1,

•••0vnv1,

当m=—（b+讨3a）时，由（1）知AE=-m,

【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法•此题难度

较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.

21.(20XX春？泰兴市校级期中)如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE二DF.连\A

外虢支丞连接BE交AG于H.已知正方形ABCD的边长为4cm、解决下列问题:

勺长度的最小

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】(1)根据正方形的性质可得AB=AD=CD,/BAD=/CDA,ZADG=ZCDG,然后利用“边角边”证明△

ABEDC全等，根据全等三角形对应角相等可得/禾I」用“边角边”证明△ADG

和么CD全等，根据全等三角形对应角相等可得/2=/3,从而得到/1=/3,然后求出/

再根据垂直的定义证明即可;

(2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点0,连接OH、0D,然后求出

0H=AB=1,利用勾股定理列式求出0D,然后根据三角形的三边关系可知当0、D、H三点共线2

时，DH的长度最小.

【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=AD=CD,/BAD=/CDA,/ADG=ZCDG,

在公AB和ADC中，i'AB=CD

*ZBAD=ZCDA=90*

IAE=D?

cs&sx,

•••/1=/2,

心ADG3CD中，

ADCD

彳ZADG=ZCDG=45*,

IDG=DG

•AADG"ACDG(),

•/2=/3,

,/1=/3,

vZBAH+/3=/BAD=90°

•/1+ZBAH=90°,

•ZAHB=180°-90°=90

•BE±AG;

贝UOH=AO=AB=2,

2

在Rt△AODK0D=J,|l=1=2

A

根据三三边关系，OH+DH〉OD,

H点共线时，DH的长度最小,

(2)解：如图，取AB的中点0,连接OH、0D,

H的最小值=OD-0H=2

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H