2022年度浙江省宁波市第五中学高三数学文期末试卷含解析

2022年度浙江省宁波市第五中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在公比大于1的等比数列{an}中，a3a7=72，a2+a8=27，则a12=（）A．96 B．64 C．72 D．48参考答案：A【考点】等比数列的性质．【分析】由已知条件推导出a2，a8是方程x2﹣27x+72=0的两个根，且a2＜a8，由此求得a2=3，a8=24，进而得到q2=2，由此能求出a12．【解答】解：在公比大于1的等比数列{an}中，∵a3a7=72=，a2+a8=27，∴a2，a8是方程x2﹣27x+72=0的两个根，且a2＜a8，解得a2=3，a8=24，∴，解得q2=2，∴=3×25=96．故选：A．2.设集合,集合为函数的定义域，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()A.26

B.29

C.212

D.215参考答案：C4.若是正数，且，则有(

)Ａ．最大值16

Ｂ．最小值

Ｃ．最小值16Ｄ．最大值参考答案：

C略5.已知集合R,，那么

．参考答案：6.设集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：C7.在（1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2．若f（x）图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上．则c=（）A．1或B．C．1或3D．1或2

参考答案：D考点:函数与方程的综合运用．专题:函数的性质及应用．分析:由已知中定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2．我们可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则f（x）=f（2x）=[1﹣（2x﹣3）2]，此时当x=时，函数取极大值；当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2．此时当x=3时，函数取极大值1；当4＜x≤8时，2＜≤4，则f（x）=cf（）=c[1﹣（﹣3）2]，此时当x=6时，函数取极大值c．∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴=，解得c=1或2．故选：D．点评:本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．

8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润7万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是( )A.18万元

B.万元

C.33万元

D.35万元参考答案：C作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当＝3，时可获得最大利润为33万元，故选C9.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）的值域为（）A．[﹣1，] B．[，1] C．[﹣，1] D．[﹣1，1]参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用函数图象可得A=1，=16，ω=，利用函数过点（1，1），可求φ，利用正弦函数的图象和性质即可得解所求值域．【解答】解：由题意，A=1，=16，ω=，∴f（x）=sin（x+φ），（1，1）代入可得+φ=+2kπ，∵﹣＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=sin（x+），当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）的值域为[，1]，故选：B．【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合思想，属于基础题．10.已知函数的图象如图所示，则的值为（

）

A.

B.C.

D.参考答案：C，，，选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=x+（x＞1）的最小值为

参考答案：3略12.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．参考答案：3【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．13.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.参考答案：A∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.14.若复数为虚数单位），则

．参考答案：

15.设则的值为

.

参考答案：-4

【知识点】简单线性规划E5解析：由z=x+3y+m得﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线﹣由图象可知当直线﹣经过点A时，直线﹣的截距最大，此时z也最大，由，解得，即A（2，2），将A代入目标函数z=x+3y+m，得2+3×2+m=4．解得m=﹣4，故答案为：﹣4．【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=x+3y+m的最大值为4，建立解关系即可求解m的值．16.从集合中随机选取一个数记为，则使命题：“存在使关于的不等式有解”为真命题的概率是

．参考答案：17.已知，，且与夹角为120°，则=________.参考答案：．，且与夹角为，，，，故答案为．考点：1、平面向量模与夹角；2、平面向量的数量积．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（文）已知函数

，为的导数.（1）当时，证明在区间上不是单调函数；（2）设，是否存在实数，对于任意的，存在，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案：（文）解：（1）当时，x，，其对标轴为.

19.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，q=（，1），p=（，）且．求：（I）求sinA的值；（II）求三角函数式的取值范围．参考答案：解：（I）∵，∴，

根据正弦定理，得，

又，

，，，又；sinA=

………6分（II）原式，

，

∵，∴，∴，∴，∴的值域是．

……………12分略20.已知函数在处有极值．（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）令，若曲线在处的切线与两坐标轴分别交于，两点（为坐标原点），求的面积．参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以。由，可得，．经检验时，函数在处取得极值，所以．（Ⅱ），．而函数的定义域为，当变化时，，的变化情况如下表：由表可知，的单调减区间为，的单调减区间为．略21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.求椭圆的方程；过原点的直线与椭圆交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点在椭圆C上，且，直线与轴轴分别交于两点。设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；求面积的最大值.参考答案：（1）（2）详见解析【知识点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（1），

设直线与椭圆交于两点．不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点，

又∵弦长为，∴，∴，可得，

解得，∴椭圆方程为．

（2）（i）设，则，[来源:Z_xx_k．Com]

直线AB的斜率，又，故直线AD的斜率，

设直线AD的方程为，由题意知．

由可得．

所以因．

由题意知所以

所以直线BD的方程为

令y=0，得，可得，

所以．因此存在常数使得结论成立．

（ii）直线BD的方程为．

令x=0得，即，

由（i）知，可得的面积．

因为，当且仅当时等号成立，

此时S取得最大值，所以的面积为最大．22.已知点A，B，C是单位圆O上圆周的三等分点，设=，=，=（I）求证：（－）⊥（II）若|t++|=1，求实数t的值．参考答案：【分析】（I）由题意