八年级上册数学教案4

第十一章全等三角形

11.1全等三角形

教学设计思想：本节主要学习•些概念和性质，通过大量生活中的图形的观察，让学生

体会一些概念，经历重叠图形等过程通过小组讨论总结出全等图形的特征。

教学目标

知识与技能

通过实例表述全等图形的概念和特征，并能找出全等图形；

能叙述全等三角形的定义及其相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角；

总结出全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。

过程与方法

通过全等三角形角有关概念的学习，提高对数学概念的辨析能力：

经历找全等三角形的对应元素的过程，提高识图能力。

情感态度价值观

通过感受全等三角形的对应美激发热爱科学勇于探索的精神：

把两个三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置，从中了解并体会图形变

换的思想，逐步树立动态的研究几何图形的思想。

教学重、难点

重点：全等三角形的概念、性质。

难点：对应边和对应角的确定。

教学方法：启发式教学，学生探索为主

课时安排：1课时

教学过程设计

（一）生活导入

我们身边经常看到“一模一样”的图形，比如同一版面的记念邮票，同一版面的人民币、

用两张纸叠在一起剪出的两张窗花等，请大家举出这类图形的例子。

说明：通过一些生活中常见的图片，使学生感受到我们的生活中存在着大量相等的事物,

引起学生的思考，激发学生的学习兴趣。让学生在举出实际例子以及对所举例子的辨析中获

得对全等图形尽可能多的精确的感知。

（二）新课

问题1:儿何中，我们把上述所例举的“•模一样”的图形叫做“全等形”，以下是描

述全等形的三种不同的说法，你认为哪种说法是恰当的？

(1)形状相同的两个图形叫全等形。

(2)大小相等的两个图形叫全等形。

(3)能够完全重合的两个图形叫全等形。

总结概念：全等形(congruentfigures)：能够完全重合的两个图形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

做一做：

请你用两张半透明的薄纸分别描出下中的两个三角形.然后把它们叠放在一起，观察这

两个图形是否完全重合.(提高学生的动手能力和观察能力)

结论：△ABC和△DEF完全重合，因此它们是全等的.

全等的符号：丝，读作：全等于

△ABC与aDEF全等，记作AABC丝DEF,读作：“三角形ABC全等于三角形DEF”

思考

在图11.1—1中，把△ABC沿直线BC平移，得到ADEF。

在图11.1—2中，把aABC沿直线BC翻折180°,得到△DBC。

在图中，把△ABC旋转180°,得到aAED。

各图中的两个三角形全等吗？

可以做两个三角形，根据题目中的要求，进行实际操作，通过讨论，总结出结论：一个

图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋

转前后的图形全等。

把两个全等的三角形重合到一起。重合的顶点叫做对应顶点。重合的边叫做对应边。重

合的角叫做对应角。例如,图11.1—1中的aABC和4DEF全等,记作△ABC丝ZXDEF,其中

点A和点D点B和点E点C和点F是对应顶点,AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边,

/A和ND,NB和/E,NC和/F是对应角。

思考

图11.1—1中，aABC&ADEF,对应边有什么关系？对应角呢？

小组讨论，得出全等三角形有这样的性质：

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等。

(三)练习

课本4页的练习1、2。

(四)补充练习：

要求学生动手操作，将备用的二个三角形合在一起，完成下列变化，且说明：

(1)是怎么得出的？(语言不要求很准确)

(2)图中有哪些相等的边或相等的角？

教师制作10块投影片,一边按(1)(2),(3),(1)(4),(1)(5),(5)(6),(6)(7),

(7)(8),(8)(9),(9)(10)顺序投影,一边用实物作示范.学生可用兰三色将重叠在一

起的三角形的对应边涂成色，辅助寻找对应边.

[由学生动手操作、回答问题，逐步养成独的学习习惯，提高学生动脑、动手、动口的

能力，识的相互联系、相互转化的观点.]

八/WAAc/

(6)(7)

(五)小结

引导学生总结出本节的主要知识点。

(六)板书设计

全等三角形

一些概念

全等三角形的性质

练习

补充练习

11.2.1三角形全等的判定

教学设计思想

经历三角形全等的条件的分析和画图验证等过程，体会两个三角形全等应有三个条件。

通过大量的实践活动探索三角形全等的条件。通过不同的条件画出三角形来探索两个三角形

全等的条件，这对总结出三角形全等的条件及其应用进行判定是十分必要的，也是非常重要

的。最后通过例题来应用这些知识点。

教学目标

知识与技能

能叙述三角形全等的条件，体会三角形的稳定性；

能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的

全等解决实际问题；

提高动手能力。

过程与方法

经历探索三角形全等判定的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

情感态度价值观

体会数学与实际生活的联系。

教学重、难点

重点：三角形全等的判定条件。

难点：利用三角形全等的条件解题。

教学方法：小组讨论，学生探索为主

课时安排：4课时

教学过程设计（2）

第一课时

（-）复习提问

1.怎样的两个三角形是全等三角形？

2.全等三角形的性质？

（-）SSS定理的得出

给出任意两个三角形，有些是全等的，有些不是全等的，我们知道如果4ABC与AA，B'

C满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A'B',BC=B,C,CA=C'A',ZA=

NA',NB=NB',ZC=ZC,这六个条件，就能保证△ABC丝Z\A'BzC»问同学们能不

能找到一种方法，用较少的条件来判定两个三角形全等呢？下面就一起来找找这些条件。

（板书课题：三角形全等的条件）。

探究1

先任意画出一个aABC。再画一个aA'B'C'使4ABC与△△'B'C满足上述六个条

件中的一个或两个。你画出的4A'B（C与△ABC-•定全等吗？

小组讨论下面问题

1.在两个三角形中，有一个角对应相等，或一条边对应相等，这两个三角形是否一定全

等？有两个角对应相等，或两条边对应相等，或一个角和一条边分别对应相等，情况怎样？

有三个角对应相等的情况呢？

2.用来判断两个三角形全等的条件，只有以下三种情况才有可能：三条边对应相等，或

两条边和一个角分别对应相等，或两个角和一条边分别对应相等.你认为这种说法对吗？

通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，AABC与AA'B'C'不一定

全等。满足上述六个条件中的三个，能保证AABC与B'C'全等吗？我们分情况进行

讨论。

探究2

分小组活动：

1.用一根长13cm的细铁丝，折成一个边长分别是3cm,4cm,6cm的三角形.把

你做的三角形和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？

2.用同一根细铁丝，余下1cm,用其余部分折成一个边长分别是3cm,4cm,5cm

的三角形，再和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？

3.不同小组用同一根细铁丝，任取一组能构成三角形的三边长的数据，和同桌同学分别

按这些数据折三角形，折成的两个三角形能重合吗？

4.先任意画出一个AABC.再画一个AA'B'C,使A'B'=AB,B'C=BC,CA'

=CA.把画好的aA'B'L剪下，放到AABC上，它们全等吗？

画一个4A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC：

1.画线段B'Cz=BC；

2.分别以B'、C为圆心，线段AB,AC为半径画弧，两弧交于点A'；

3.连接线段A，B',A'C'.

图13.2-2

师：通过咱们的试验，可以得出什么结论呢？

生:只要三角形三边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了.

师总结定理：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等.

师：咱们试着把这句话压缩一下，用几个字概括，同学们认为什么最合适呢?

生：边边边

师:字母记做“SSS”

三角形全等的表示：

文字符号图形

三边时应相如果BC=B/C,,AA'

等的两个三AC=A,C,.那么

角形全等△ABCMZsA'B'C'

我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成■•个三角形木架，这个三角形木架的形状、

大小就不变了.就是说，三角形的三边确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了.这里

就用到上面的结论.

用上面的结论可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三

角形全等.

（三）例题

例1如图11.2—3,AABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求

证AABD义Z\ACD。

图13.2-3

分析：要证aABD丝AACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.

证明：：D是BC的中点，

；.BD=CD.

在4ABD和4ACD中，

AB=AC,

<BD=CD,

AD=AD

.,.△ABD^AACD(SSS).

从例1可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求

证）正确的过程.

（四）思考

已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB（图11.2—4）.要用''边

边边”证明△ABC^^FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才

能得到这个条件？

A-------C

8

------"

图13.2-4

（五）练习

工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，NAOB是一个任意角，在边0A,

0B上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C

的射线0C便是/AOB的平分线.为什么？

（六）小结：引导学生总结出本节的主要知识点。

（七）板书设计

三角形全等的判定（一）

定理

例题

练习

第二课时（3）

（-）探究3

1.学生分组活动：画个三角形，使它的两条边长分别是1.5cm,2.5cm,

其中一个角是30°

画好后同桌两人讨论：两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角

形全等么？

有的组说全等，有的组说不全等

让各组派代表说说做法，比较有什么不同，老师总结，有三种做法

(1)两条边长分别是1.5cm,2.5cm,并且长为1.5cm的这条边所对应的角

是30。，这种做法得出的结论是：不全等

(2)两条边长分别是1.5cm,2.5cm,并且长为2.5cm的这条边所对应的角

是30。，这种做法得出的结论也是：不全等

(3)两条边长分别是1.5cm,2.5cm,这两条边的夹角为30。，这样做出的

两个三角形全等。

提问：由刚才活动得出的结论，满足什么条件的两个三角形全等？

2.将两边和它们的夹角的数据改换成另一组，再与同学一起按新数据画三角形.通过对

所画三角形的比较，你能得出什么结论？

3.先任意画出一个aABC再画出一个AA'B'C,使A'B'=AB,A'C=AC,NA'

=ZA(即使有两边和它们的夹角对应相等).把画好的B'C'剪下，放到AABC上，

它们全等吗？

画一个AA'B'C',使A'B'=AB,A'C=AC,NA'=NA：

1.画/DA'E=ZA；

2.在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；

3.连接B'C.

总结定理：如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.这

个事实可以简写为“边角边”或“SAS”.

注：有上述活动，我们可以得出“边边角”无法判定两个三角形全等。

(-)例题

例2：如图11.2—6,有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可

以直接到达A和B的点C,遨AC并延长到D,使CD=CA.i锻BC并延长到E,使CE=CB.连

接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离.为什么？

分析：如果能证明aABC丝△口£（：,就可以得出AB=DE.

在AABC和中，CA=CD,CB=CE.如果能得出Nl=/2,Z\ABC和ADEC就全等了.

证明：在aABC和aDEC中，

CA=CD

<Zl=Z2

CB=CE

AAABC^ADEC(SAS)。

；.AB=DE。

从例2可以看出：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以，证明分别属于两

个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决.

（三）探究4

我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。由“两边及其中•边的对角

对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么？

有探究3我们知道不一定全等。现在进一步来说明。我们可以通过画图回答，还可以通

过实验回答。

把一长一短两根细木棍的一端用螺钉较合在•起，使长木棍的另一端与射线BC的端点

B重合。适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍找起来（图11.2

—7）.

图11.2—7中的△ABC与ZXABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但4ABC与AABD

不全等。这说明，有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

（四）练习：课本10页的练习

（五）小结:引导学生总结出本节的主要知识点。

（六）板书设计

三角形全等的判定（二）

定理

例题

练习

第三课时（4）

（一）问题的提出：

类比着《边边边公理》和《边角边公理》即“三元素定三角形”，提出：如果两个三角

形两边一个角分别对应相等，这两个三角形能不能全等？

（二）探究5

学生活动

1.按照下面的步骤画三角形，使它的两个内角分别为35°和65°,并且这两个角的夹

边的长为2.5cm。

画好后小组交流，比较画出的三角形是否全等

2.活动2:将两角和它们的夹边的数据改换成另一组，再与同学一起按新数据画三角

形.通过对所画三角形的比较，你能得出什么结论？

3.先任意画出一个△ABC。再画一个B'C',使A'B'=AB,NA'=/A,ZB;=

ZB（即使两角和它们的夹边对应相等）。把画好的△△'B'C'剪下，放到aABC上，它们

全等吗？

画一个AA'B'C,使A'B'=AB,NA'=ZA,NB'=ZB

1.画A'B'=AB；

2.在A'B'的同旁画NDA'B'=/A,ZEBZA'=NB,A'D,B'E交于点C'.

4.角边角定理：如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形

全等.这个事实可以简写为“角边角”或“ASA”

（三）探究6

在AABC和ADEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF（图11.2—9）,△ABC与△DEF全

等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗？

提示：如果两个三角形的两个角对应相等，那么它们的第三个角是什么关系？

总结出结论：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或

“AAS”）.

（四）例题

例3如图11.2—10,D在AB上，E在AC上，AB=AC,NB=NC.求证AD=AE.

H

图13.2-10

分析：如果能证明4ACD且AABE,就可以得出AD=AE.

证明：在4ACD与AABE中，

'NA=NA（公共角）

<AC=AB

ZC=ZB

AAACD^AABE（ASA）»

.*.AD=AE»

（五）讨论:三角对应相等的两个三角形全等吗？

（六）练习

1.如图，要测量河两岸相对的两点A,B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C,D,

使BC=CD,再轴BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为

什么？

2.如图，AB±BC,AD±DC,Z1=Z2.求证AB=AD.

（七）小结:三角形全等的判定方法做一个小结.

（八）板书设计

三角形全等的判定（三）

定理

例题

练习

小结

第四课时（5）

（-）引入新课

前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SSS,SAS,ASA,AAS；我们也知

道，“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等"。这些结论适用于所有的

各类三角形。

我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形（如直角三角形）。特殊三角形全等的

判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？

我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；

--对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等;

两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等。

如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否可能全等

呢？

（二）探究8

任意画出一个Rtz\ABC,使NC=90°.再画一个Rt/XA'B'C',使B'C'=BC,Az

B'=AB.把画好的Rt^A'B'C'剪下，放到RtaABC上，它们全等吗？

画一个RtZ\A'B'C,使B'C'=BC,A'B'=AB：

1.画NMC'N=90°.

2.在射线C'M上取B'C=BC。

3.以B'为圆心，AB为半径画弧，交射线C'N于点A'.

4.连接A'B'.

图13.2-11

图11.2—11给出了画RtZkA'B'C'的方法.探究8的结果反映了什么规律？

我们容易看出探究8反映的规律是：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或

“HL”）.

（三）例题

例4如图11.2—12,AC±BC,BD±AD,AC=BD.求证BC=AD.

图13.2-12

证明：VAC1BC,BD1AD,

/C与ND都是直角.

在RtZ\ABC和RtZXBAD中,

AB=BA

AC=BD

ARtAABC^RtABAD（HL）。

/.BC=ADo

（四）练习：课本14页的练习

（五）小结:引导学生总结出本节的主要知识点。

（六）板书设计

三角形全等的判定（四）

讨论

定理

例题

练习

11.3角的平分线的性质

教学设计思想

通过三角形的全等得出角的相等，从而得出作已知角的平分线的方法。通过折叠图形等

的具体操作，来得出角的平分线的性质。再次利用三角形的全等来得出到角的两边的距离相

等的点在角的平分线上。通过例题和练习巩固这些知识点。

教学目标

知识与技能

会作已知角的平分线，能熟练地说出角平分线的性质及判定；

能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。

过程与方法

经历画角的平分线的过程，提高画图能力；

经历折叠图形的过程，分析折叠过程，总结出角的平分线的性质。

情感态度价值观

体会知识点之间的紧密联系。

教学重、难点

重点：①角平分线的性质及判定：②运用它们来证明两个角相等或两条线段相等。

难点：运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。

教学方法:小组讨论，学生探索为主

课时安排2课时

教学过程设计

复习提问

角平分线的定义？角平分线与三角形的角平分线有何区别？

提问关于三角形全等的判定定理.

新授

（一）角的平分线的画法

图13.3—1是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点，AB

和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗？

E

图13.3-1

小组讨论

1./DAC与/BAC相等的依据是什么？

2.如何做一个角的平分线？能否由以上的探究得出呢？

通过小组讨论由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法.

已知：ZAOB.

求作：NAOB的平分线.

作法：（1）以0为圆心，适当长为半径作弧，交0A于M,交0B于N。

（2）分别以M、N为圆心，大于」MN的长为半径作弧，两弧在/AOB的内部交于点C.

2

（3）作射线0C.射线0C即为所求（图13.3—2）.

A

B13.3-2

练习

平分平角/AOB.通过上面的步骤得到射线0C以后，把它反向延长得到直线CD.直线

CD与直线AB是什么关系？

应用以上学到的画角的平分线的方法，来画出平角的角平分线（平角只是种特殊的

角），回顾线段的垂直平分线的定义。进而回答直线CD与直线AB的关系。

（-）角的平分线的性质

1.小组讨论

（1）有一张剪好的角的纸片，怎样找这个角的平分线？

（2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是

这个角的平分线（如图1）.如果我们把对折的纸片继续折一次，然后把纸片展开，就会出

现两条折痕（图2）中的PM和PN）.不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长的折痕

我们可以找出无数对，由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他的性质，现在

2.角的平分线

（1）上述折纸的实验，象图2中的等长折痕PM和PN,我们可以找到无数对，它们既

有一般位置的，也有特殊位置的.比圳，角平分线上的点到角两边的垂线就是特殊位置的等

线段.你能用推理论证的方法说明“在角平分线上的点到这个角的两边距离相等”这一角平

分线的重要性质吗？

通过讨论我们得到角的平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

小组讨论

1.在个角的内部，除角平分线上的点以外，还能找到“到角的两边距离相离”的点吗？

为什么？

2.角平分线上，是否有“到角的两边距离不相等的点”呢？为什么？

思考

如图11.3-4,要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁

路交叉处500米.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?

我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

小组讨论：到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？

利用三角形全等，可以得到

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

根据上述结论，就知道这个集贸市场应建于何处了.

（三）例题

例如图11.3—5,ZSABC的角平分线BM,CN相交于点P.求证：点P到三边AB,BC,

CA的距离相等.

图13.3-5

证明：过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足为D,E,F.

IBM是△ABC的角平分线,点P在BM上,

；.PD=PE。.

同理PE=PF.

，PD=PE=PF.

即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.

小组讨论：点P在/A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系？

（四）练习

如图，△ABC的NB的外角的平分线BD与/C的外角的平分线CE相交于点P.求证：点

P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等.

（五）小结:引导学生总结本节的主要知识点。

（六）板书设计

角的平分线的性质

角的平分线的画法

角的平分线的性质

例题

练习

小结与复习

教学设计思想

以小组讨论的形式通过学生的合作交流总结出本章的知识结构，然后回答出回顾与反思

中的几个问题。最后通过一些配套练习巩固所学的知识点。

教学目标

知识与技能

总结出三角形全等的条件及性质；

能灵活地运用三角形全等的条件及性质，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三

角形的全等解决实际问题；

会作已知角的平分线，总结出角平分线的性质及判定，能运用角平分线的性质及判定证

明两个角相等或两条线段相等。

过程与方法

以小组讨论的形式对本章的知识进行系统梳理，总结出本章的知识点。

情感态度价值观

体会数学与实际生活的联系。

教学重点和难点

重点是①三角形全等的条件、角的平分线的性质；②能利用①中的知识点解题。

难点是能灵活运用三角形全等的条件及角的平分线的性质解题。

教学方法:小组讨论法，以小组为单位，在总结讨论的基础上，使学生掌握本章的内容。

课时安排:1课时

教学过程设计

一、知识结构

二、回顾与思考

1.举一些全等形的实际例子。全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？

2.一个三角形有三条边，三个角。从中任选三个来判定两个三角形全等，哪些是能够判

定的？哪些是不能够判定的？

3.学习本章内容，可以解决一些实际问题，例如长度与角度的度量问题，就是从全等三

角形对应边相等，对应角相等出发，设法形成满足全等条件的两个三角形，从而得到结果。

4.学了本章，你对角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证明角的平分线的

性质吗？

5.你能结合本章的有关问题，说-说证明一个结论的过程吗？

三、例题

1.如图如一1,AF=CE,DF=BE,DF〃BE,E、F在AC上。

求证：ZDCF=ZBAE»

B

图13-1

解析因为NBAE和NDCF分别在aBAE和4DCF中，所以只需证明ADCF乌△BAE。

答案因为DF〃BE,所以/DFA=NBEC。所以/DFC=NBEA(等角的补角相等)。

因为CE=AF,所以CE-FE=AF-FE,即CF=AE。

在4DCF和ABAE中，

DF=BE

<ZDFC=ZBEA

CF=AE

所以4DCF丝Z\BAE(SAS)。

所以NDCF=NBAE(全等三角形的对应角相等)。

方法规律：全等三角形是证明角相等的重要方法。

2.如图11—3,RtABC中AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE_LBD,且交BD的延长线于E,

则BD与2CE有何关系？说明理由。

图13-3

解析解决此题的关键在于如何表示2CE,观察到N1=N2,BE±CEo

若将CE和BA分别延长相交，可得全等三角形。2CE即可用其他线段表示出来，然后设

法建立与BD的联系。

答案

BD=2CEo理由如下：

延长CE交BA的延长线与F。在ABEF和ABEC中，

Z=N2

<BE=BE

ZBEC=ZBEF

所以△BEC丝4BEF(ASA)。

所以CE=EF。所以CF=2CE。

因为NBAC=90°,所以N1+NF=NF+NFCA。所以/1=/FCA。

在△BAD和4CAF中，

Zl=ZACF

<AB=AC

ZBAC=ZCAF

所以aBAD丝z\CAF(ASA)。

所以BD=CF(全等三角形的对应边相等)。

因为CF=2CE,所以BD=2CE。

方法规律：全等三角形是研究线段间关系的重要工具。

3.已知：如图11—6,AB/7CD,DE=BF,AB=CD.

图13-6

解析要证AE〃CF,只需证出NE=NF,因此只要证得△ABE^^CFD即可.

答案因为DE=BF,所以DE-BD=BF-BD,即BE=DF.

因为AB〃DC,所以NABD=/CDB.所以NABE=NCDF.

在AABE和4CFD中

AB=CD

<ZABE=ZCDF

BE=DF

所以△ABEgZ^CFD(SAS).

所以NE=NF,所以AE〃CF.

方法规律：由平行线的判定条件知，全等三角形也是论证两条直线平行的重要方法.

4.如图11一7,在aABC中，AB=AC,NBAC=90°,D是BC上一点，EC1BC,EC=BD,

DF=FE,则AF与DE垂直吗？请说明理由.

图13-7

解析若AD=AF,则可证△ADFgZXAEF,所以可得/AFD=/AFE=90°.因此应设法证明

AD=AE。

答案AFLDE成立，理由如下：因为AB=AC,NBAC=90°,所以/B=NACB=45°.因

为EC±BC,

所以/ECD=90°.所以/ECA=45°.所以NECA=NB。

在4ABD和4AEC中，

AB=AC

<ZB=ZECA

BD=EC

所以4ABD丝Z\AEC(SAS).

所以AD=AE.在AADF和AAEF中，

AD=AE

«AF=AF

DF=EF

所以△ADFgZXAEF(SSS).

所以NAFD=NAFE=90°.

所以AF_LDE.

方法规律：全等三角形也是证明两条直线垂直的重要方法.

5补充：在一次战役中，如图11—8所示，我军阵地与敌军阵地隔河相望，为了炸掉这

个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量乂没有任何测量工具的情况下，

一个战士想出来这样一种方法：

他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，

他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步

测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.

(1)你能解释其中的道理吗？

(2)按这个战士的方法，找出教室或操场与你的距离相等的两个点，并通过测量加以

验证.

图13-8

解析这个战士其实是应用了全等三角形的条件——“ASA”，女图13-9,AABC^AA,

B'C'，则BC=B'C'.

答案（1）根据题意画出示意图1119.由题意知，ZA=ZAZ,ZB=ZB/=90°,

AB=A'B'.

所以AABC丝Z\A'B'C（ASA）

所以BC=B'C’.因此测出B'C的长即为BC的长.

（2）在具体操作时.，可用一张纸或一本书代替帽檐，按照战士的方法，测一下教室或

操场与观察者的距离，从而进一步检验战士做法的合理性.

经验技巧：将实际问题转化为数学问题，建立数学模型——全等三角形。实际应用题是

近儿年中考命题的重点，平时应多训练，提高建模能力。

四、小结：引导学生总结出本节的主要知识点。

五、板书设计

小结与复习

知识结构

回顾与反思

例题

图形的对称轴;

说出轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别与联系；

探索轴对称的性质表述出对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。

过程与方法：

在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称现象,探索轴对称现象共同特征等活动,

进•步发展空间观念，在自己的动手操作中体验轴对称的性质，在操作中注意观察、想像和

提炼，要学会科学地表达思想。

情感态度价值观：

欣赏现实生活中的轴对称图形,体会轴对称在现实生活中的应泛运用和它的丰富文化价

值。

教学重点：

认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形、轴对称及其对称轴，并能作出轴对称图形和

成轴对称的图形的对称轴。

教学难点：

探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。

课时安排：3课时

教学过程：

第一课时（9）

（-）情景创设

在生活中，许多事物与图形紧密联系在一起。现在老师给大家准备了一些生活中的常见

的事物图案和标志，请大家观赏。（投影显示，播放ppt：利用轴对称设计图案素材）

［教学说明：创设情景将生活中的对称图案和标志展示出来，引导学生将生活中的对称

美牵引到数学中来］

（二）探索研讨

1.看一看，想一想

细心观察一些日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等，能发现它们

有什么共同特征？

请同学们细心观察动画后，总结出轴对称图形的概念(投影显示)

定义：

如果一个图形沿着某条直线对折，对折后的两面部分能够完全重合，就称这样的图形为

轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。

在我们的现实生活中有很多物体的平面图形是轴对称图形，你能举例说说吗？

2.做一做(活动)

将同学们准备好的一张纸对折后，用笔沿着折线画一条直线，然后从折叠处剪出一个你

喜欢的图形，想一想，展开后会是一个什么样的图形？

试着画出它的对称轴

［教学说明：让同学们从动手实践中总结出结论：剪出来的图形关于折线对称］

练习

下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能指出它的对称轴吗？

(1)(2)(3)(4)(5)

3.谈一谈

观察课本30思考的三组图片：

你发现这些图片由什么共同特征？

总结：每组图片中都有两个图形，并且沿着一条直线对称后，这两个图形完全重合，我

们就说这两个图形成轴对称，这两条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点(即对折后两图

形中互相重合的点)叫做对称点。你能再举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？

练习课本31页

下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并

找出一对对称点。

4.小组讨论

(1)结合教科书图形12.1—2和12.1—3进行比较，轴对称图形和两个图形成轴对称

有什么区别吗？

(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称吗？成

轴对称的两个图形全等吗？如果把两个轴对称图形看成•个整体，它是•个轴对称图形吗？

学生根据两组图形比较观察，讨论交流，教师引导学生得出其区别。

在本次活动中，教师应重点关注：

学生在比较两个图形的区别时，是否明确轴对称图形表述的是一个具有特殊形状的图

形，两个图形成轴对称表述的是两个图形的位置关系；

5.成轴对称的两个图形全等吗？全等的两个图形一定成轴对称吗？为什么？

学生独立思考后，再展开讨论，教师参与学生讨论，及时指导。

6.练一练

(1)游戏：三位同学起立，中间的同学作为对称轴，左边的同学做一个姿势，右边的

同学也做一个姿势，使得左右两边成对称关系。

(2)抢答：生活中不仅有些物体的形状是轴对称图形，我们所学的数字、字母和汉字

中也有一些可以看成轴对称图形。例如：0,1,A,口，工等，请举例。看谁举的例子最多。

(让学生到黑板上写)

(三)小结：引导学生总结出本节的主要知识点。

(四)板书设计

轴对称(一)

概念：轴对称图形、对称轴、两个图形成轴对称、垂直平分线

练习

第二课时(10)

(-)轴对称的性质

如图12.1—4,AABC^AA*B'C'关于直线MN对称，点A'B'C'分别是点A、B、C

的对称点，线段AA，、BB'、CC'与直线MN有什么关系？

图14.17

小组讨论

1.图12.1—4种，点A、A'是什么关系？

2.设AA，交对称轴MN于点P,除ABC和4A'B'C'沿MN折叠后，点A与卜重合吗？

于是有

AP=PA,

NMPA=NMPA'=90°»

对于其他的对应点，如点B、B，,C、C'也有类似的情况。

3.那么MN与A、A',B、B，,C、C的连线有什么关系呢？

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。这样，我们就

得到图形轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分

线。

类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。例如图12.1

—5中，

图14.1-5

1垂直平分,

1垂直平分,

1垂直平分.

(-)探究

如图12.1—6,木条1与AB钉在一起,1垂直平分AB,Pi,P2,P3,…是1上的点,分

别量一量点P,Pz,Ps…到A与B的距离,你有什么发现?

ffi14.1-6

可以发现，点AB,P„P2,P3,…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.如果把

线段AB沿直线1对折，线段PB与PB、线段P2A与PzB、线段P扒与PB……都是重合的，

因此它们也分别相等.

由此我们可以得出:

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

播放课件：轴对称图形（二）

利用判定两个三角形全等的方法，怎样证明这个结论呢?请同学们自己完成（参照图

12.1—7）.

图14.1-7

小组讨论

1.如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？

2.如图12.1—8,用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做个简易的“弓”，“箭”

通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持.射出箭的方向与木棒垂直呢?为什么？

图14.1-8

通过探究可以得到：

与一条线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上.

从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线1上的点与A、B的距离都相等；反

过来，与两点A、B的距离相等的点都在1上，所以直线1可以看成与两点A、B的距离相等

的所有点的集合.

（三）练习

1.如图，ADLBC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关

系?AB+BD与DE有什么关系？

B

（第1M）

（第2题）

2.如图,AB=AC,MB=MC,直线AM是线段BC的垂直平分线吗?

(四)小结：引导学生总结出本节的主要知识点。

(五)板书设计

轴对称(二)

轴对称的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

与条线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上.

小结

第三课时(11)

(―)回顾轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分

线。

(二)思考

有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢?不折叠图形，你能比较准确地作

出轴对称图形的对称轴吗？

如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何•对对应点所连线段的垂直平分线.因此,

我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对

称轴.

(三)例题

图12.1—9(1),点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

・8

(1>(2)

图14.1-9

分析：我们只要连接点A和点B,画出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B

的对称轴.而由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到点A、B距离相等

的两点即可.

作法：如图12.1—9(2).

（1）分别以点A、B为圆心，以大于'AB的长为半径作弧（想一•想为什么），两弧相交

2

于C、D两点；

（2）作直线CD.

CD即为所求的直线.

这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图.我们也可以用这种方法确定线段的中

点.

同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线,

就得到此图形的对称轴.

例如，对于图12.1—10的五角星，我们可以找出它的一对应点A和A',连接AA',

作出线段AA'的垂直平分线1,则1就是这个五角星的一条对称轴.

图14.1-10

类似地，你能作出这个五角星的其他对称轴吗？

（四）练习：课本35页练习1、2、3

（五）小结：总结出怎样作出轴对称图形的对称轴。

（六）板书设计

轴对称（三）

回顾

思考

例题

练习

12.2轴对称变换教学设计

教学设计思想

第一课时①通过4个小活动归纳出轴对称变换的性质及定义;②通过例1得到作一个图

形的轴对称图形的方法；③利用轴对称变换设计图案；④利用点的对称解决探究中的问题。

第二课时①通过具体作出点的关于坐标轴的对称点的坐标来发现点与其关于坐标轴的对称

点的坐标之间的关系。②通过例3得到作一个图形关于坐标轴对称的图形的方法；③通过探

究来进一步学习了图形关于直线x=l和直线y=-l对称的图形。

教学目标

知识与技能：

通过具体实例认识轴对称变换，探索它的基本性质和定义；

能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；

能利用轴对称变换进行图案设计；

探索平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称点的坐标的规律，并能运用这一规律写

出平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称的点的坐标；

能利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出•个图形的轴对称图形。

过程与方法：

经历轴对称变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质的定义；

结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律。

情感态度价值观：

用轴对称变换的方式去认识和构建几个图形，发展形象思维，并尝试用轴对称变换去从

事推理活动。

教学重难点

重点：①轴对称变换及轴对称变换作图；②点与其对称点坐标之间的关系。

难点：①利用轴对称变换设计图案；②利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一

个图形的轴对称图形

课时安排：2课时

教学过程(12)

第一课时

12.2.1轴对称变换

(一)轴对称变换的性质和定义

问题

1.如图12.2-1,在一张半透明的纸的左边部分，画一只左脚印，如何由此得到相应

的右手掌印？

ffi14.2-1

学生动手画左脚印，要强调将纸对折后描图。

在学生画图中，要关注（1）学生如何画左脚印；（2）左脚印画出后，折痕如何选取。

2.图12.2—2,12.2—3是怎样得到的?

S14.2-3

3.图12.2-4的图形是怎样得到的?

图14.2-4

4.自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什

么？改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么？与同学交流一下.

教师应重点关注：

（1）学生在思考中，是否找准了对称轴；

（2）两个图案中，学生各找出了几条对称轴。

教师应重点关注学生对对称轴的方向和位置的理解。

5.归纳轴对称变换的性质及定义

学生通过实践、观察，归纳以上四个小活动中所得到的图形之间的共同点，教师引导、

纠正，并给出完整的归纳。

在学生归纳中教师应重点关注：

(1)是否找出了上述图形的共同点；

(2)叙述的完整性、准确性、规范性。

(二)利用轴对称变换的性质作图，归纳作图方法并练习

问题

如果有一个图形和一条直线，如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？

例1如图12.2—5(1),已知4ABC和直线1,作出与aABC关于直线1对称的图形.

(I)⑵

图U.2-5

(1)AABC关于直线1的对称图形是什么形状？

(2)ZXABC的轴对称图形可以由哪几个点确定？

(3)在AABC上，取哪几个点作出其关于1的对称点？

(4)如何作一个已知点关于直线的对称点？

教师逐步提出问题，师生共同思考分析，学生尝试作图。师生共同总结作图方法及步骤,

通过折叠的方法加以验证。

归纳

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接

这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，

只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图

形的轴对称图形.