2016年理科数学考纲专题解读考点题组训练：专题二函数概念及其基本性质含答案

第2部分专题二函数概念及其基本性质

考纲专题解读

Ji考点分布1|考点分频!考纲内容命题趋势！

1.了解构成函数的要茶.会求一登内容獐究：1.高％中常以基本初等函数为载体，与不等

4M

徜单函数的定义域和值域；了解案a合才n遢敷的定义域、值域、解析式的求法以及分

1.函数及其表示

映射的假念.段函数的求值等问题.

■r5年25考

2.在实际情境中.会根据不同的需2.以基本初等的数为籁体，与导致结合，才查函数单

要选挣恰当的方法（如图象法.调性的到断、函数单调区间及函数最值的求法.

列表法、解析法）表示函数

3◎散的奇偶性、冏期性、单调性的综合应用是高考的

2.函数的单调性3了H简单的分段函数.并能端单

热点.

■r5年18考应用.

形式舞究：本专题在高考中多以选择XL填空题的形式

4.理解函数的单调性、最大值、最

考查函数的定义域、分段函数求值及函数的奇偶性与周

小值及其几何意义；结合具体函

期性.分值为盼,舄中低档发；与不等式、方程等靖合，

3.函数的奇偶性与数.了谓的数奇偶性的含义.

周期性5会运用函数图象理第和研究函数以解答总的形式考查函数的单调性与最值，分值为12分

,5年27考

的性质.左右.属于中档题.

__X

考点题组训练

函数及其表示

第n步试真题

A组新题速递

I1+log2(2—X)，x<1»

1.(2015•课标H,5,易)设函数/(x)=J]则/(—2)

+/(log212)=()

A.3B.6C.9D.12

【答案】CVlog212>L

•\/(log212)=21og212—1=21+log23=2X3=6.

二原式=1+log24+6=9.

jl,x>0,

2.(2015•湖北，6,中)已知符号函数sgnx=10,x=0,/(x)是R上的增函数,

〔一1,x<0.

g(x)=/(x)-/(ax)(a>l),贝U()

A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[/(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[/(x)]

【答案】B①当x<0时，Va>1,.\x>ax,

一儿2>o，

•'•sgn[g(x)]=l.

②当x=0时，x=ax,

/.sgn[g(x)]=0.

③当x>0时，Va>l,•*.ax>x,

")<0.

•'•Sgn[g(x)]=-1.

—1,x>0,

.,.sgn[g(x)]=<0,x=0,

、1,x<0.

sgn[g(x)]=—sgnx.

3x—],1,

3.(2015•山东，10,中)设函数/(x)=''则满足/(他))=/)的

、2，x/1.

。的取值范围是()

「21

A.y1B.[0,1]

C.|,+8)D.[1,+00)

【答案】C令/(a)=力则由/(/(4)=2/⑹得

3x—1,x<l,

/(。=2’.由/(x)=可知

/,xr1

a<\,?2

或J或刀.故选C.

13a-1^1〔2"2133

4.(2015•浙江，7,难)存在函数/(x)满足：对任意x£R都有()

A./(sin2x)=sinxB.y(sin2x)=x2+x

C./(x2+1)—|x+1|D./(x2+2x)—|x+1|

【答案】D方法一：•・・/(X2+2X)=|X+1|,

.\y(x2+2x)=y](x+1)2=^X2+2X+1.

，存在函数/(x)=^+T,对任意XCR都有/"+2x)=|x+11.

方法二:ABC均举出反例不符合函数的概念，而D项,加2一1)一(/50)0.)

=W+i,符合题意.

5.(2015•湖北，10,难)设xGR,田表示不超过x的最大整数.若存在实数

t,使得m=1,[百=2,…，[门="同时成立，则正整数〃的最大值是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B由题可知：

当〃=1时，lWf<2.

当〃=2时，2W*<3,即也小满足条件.

当〃=3时，3<尸<4,即汨满足条件.

当“=4时，4W/<5,即甑满足条件.

当〃=5时，5W&6,即米W/〈赤，而相〉能.所以正整数n的最大值为

4.

x+?—3

6.(2015•浙江，10,易)已知函数''—'贝心顺—3))

,1g(x2+1),x<1,

=,的最小值是.

【解析】V/-3)=lg[(-3)2+l]=l,

.•./(/(-3))=/(1)=1+2-3=0.

2

当1时，/(x)=x+F-322啦-3,

当x<l时，x2+1^1,

lg(x2+1)20.

综上，­=2啦-3.

【答案】02啦一3

7.(2015•山东，14,中)已知函数5%)=斯+6(“>0,aWl)的定义域和值域都

是[-1,0],则。+6=.

6=_2,

‘小+b=0,

【解析】当0<。<1时，由已知得<。解得<1

U+b=-1,a=r

,3

・・・a+b=一].

a1+b=-1,

当时，Vo,八解得b=T,

a+6=0,

13

••・,=0,无解.综上。+6=-1

3

【答案】

B组经典回顾

1.(2014•江西，2,易)函数/(x)=ln(x2—x)的定义域为()

A.(0,1)B.[0,1]

C.(一8,0)U(l,+°°)D.(-8,0]U[l,+°°)

【答案】C要使函数有意义，需满足f—x>0,解得x<0或X>1,故选

2.(2013・陕西，1,易)设全集为R,函数./(x)=Nl一刀2的定义域为M,则[RM

为()

A.[-1,1]B.(-1,1)

C.(一8,-1]U[1,+o°)D.(-8,-1)U(1,4-00)

【答案】D由l—f2。得一iWxWl,故[RM=(-8,-1)U(1,+O°).

¥+1,xW1,

3.(2012•江西，3,易)若函数段)=,''则欢10))=()

[gx,x>l,

A.lg101B.2

C.1D.0

【答案】B•</(10)=lg10=1,...加10))=火1)=仔+1=2,故选B.

4.(2014•江西,3,易)已知函数/(x)=5叫g(x)=a^-x(aER).若/(g(i))=

b则。=()

A.1B.2C.3D.-1

【答案】A由已知条件可知/^(1))=火。-1)=54"=1,二|4一1|=0,得

a=l.故选A.

5.(2012•安徽，2,易)下列函数中，不遒足/(2x)=2/(x)的是()

A.7(x)=|x|B.J[x}=x-\x\

C./(x)=x+lD,/(x)=-x

【答案】C选项A,/(2x)=|2x|=2|x|,2/(x)=2|x|,故人2x)=%x)；

选项B,/(2x)=2x—|2x|=2x—2网，2/(x)=2x—2|x|,故/(2x)=〃(x)；

选项C,/(2x)=2x+l,2/(x)=2x+2,故/(2x)#2/(x)；

选项D,/(2x)=-2x,2f(x)=-2x,故人2x)=〃(x).

—|—],X>0,

6.(2014•福建，7,中)已知函数''-I则下列结论正确的是

cosx,xWO,

()

A.«v)是偶函数B./)是增函数

C.危)是周期函数D.加)的值域为[-1,+8)

【答案】D方法一•：由x>0得，%2+1>1,当xWO时，cosx£[—1,1],

故外)七[一1,+8),选D.

方法二(数形结合法)：作出/(x)的图象如图所示，可排除A,B,C,故D正

确.

(x-a)\xWO,

7.(2014・上海，18,中)设/(x)=,1,若/(0)是/(x)的最小值,

x+~+a,x>0.

Ix

则。的取值范围为()

A.[-1,2]B.[-1,0]

C.[1,2]D.[0,2]

【答案】D•.•当x〈0时，/(x)=(x—。了，又/(0)是/(x)的最小值，，口》。；

当x>0时，_/(x)=x+：+心2+a,当且仅当x=l时取.要满足<0)是加)

的最小值，需2+。2/(0)=/,即/一。—2<0,解得一lWa<2,的取值范

围是0WaW2.故选D.

8.(2014・湖北，14,难)设义x)是定义在(0,+8)上的函数，且/(x)>0,对任

意a>0,b>0,若经过点(a,/⑷)，3，一型))的直线与x轴的交点为(c,0),则

称c为a,6关于函数大幻的平均数，记为％(a,b).例如，当段)=l(x>0)时，

可得必(a,b)=c=皇，即皈。，b)为a,b的算术平均数.

⑴当段)=(x>0)时，Mj(a,b)为a,b的几何平均数；

r\1

(2)当/(x)=(x>0)时，M3b)为a,b的调和平均数毫.

(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

【解析】设P(a,./(a)),Q(h,-/S)),

则直线PQ的方程为y-火。)J(°(％》-a).

erf(b)+bf(a)

令y=0得c

/(a)+f(b),

⑴令几何平均数的=n坂火a)+y[abj[b}=bj[a}+矶b),

可取/(x)=Rx>0);

af(b)+bf(a)ab+ba_af(b)+"(a)

(2)令调和平均数有/(a)+/(6)=Q+6/(a)+/(6)可

取/a)=M介o).

【答案】(1人氏(2)x(或填(1询3(2*2丫，其中心，后为正常数均可)

J1HJL堪能D、

考向1求函数的定义域

常见基本初等函数定义域的基本要求

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y=x°的定义域是{x|x70}.

(5)y=aX(a>0且aWl),y=sinx,y=cosx定义域均为R.

(6»=lo&Ma>0且a#1)的定义域为(0，+°°).

(7)y=tanx的定义域为卜#左口+5-,左ez].

口因EIGM(1)(2014・山东，3)/(x)=/八、？，的定义域为()

7(log2X)-1

A(0,B.(2,+8)

C.(0,加(2，+8)D(0,1U[2,+8)

(2)(2015•河南郑州一模，13)若函数_y=/U)的定义域为[0,2],则函数g(x)=

/'(2x)……口

-----1的定义域是

X-1--------

【解析】(1)要使函数有意义，必须

(log2X)2-1>0,①

<

,x>0.②

由①得(10g2X)2>l,即10g2X>l或10g2X<-1,解得X>2或0<X<；.故选C.

(2)：0<2x<2,又x-IWO,即xWl,

:.OWx<l,即函数g(x)的定义域是[0,1).

【答案】(1)C⑵[0,1)

【点拨】解题(1)的关键是正确利用对数函数的单调性求解不等式10g2X>l

和log2X<-1;解题(2)时易误认为0WxW2,从而0W2xW4,出现OWx<l或1<XW4

的错误.

用感目囹求函数定义域的三种常考类型及求解策略

(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解.

(2)抽象函数:

①若已知函数人幻的定义域为口,6],则复合函数式g(x))的定义域由aWg(x)W6

求出.

②若已知函数/收⑴)的定义域为⑷4则/(x)的定义域为蛉)在xC[a,b]

时的值域.

(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求.

注意

(1)求定义域时对于解析式先不要化简；

(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式.

回图加自(1)(2012•江西，2)下列函数中，与函数夕=」一定义域相同的函数为

()

(2)若典型例题1(2)改为函数人？一1)的定义域为［0,2］,则函数g(x)=/(2x)

的定义域为.

1cinV

(1)【答案】D函数3；='的定义域为{x|xW0,xGR},与函数>«=旦1A的

相

定义域相同，故选D.

(2)【解析】•.•0WxW2,-iWf-1W3,

从而函数/(x)的定义域为［-1,3］.

13

由-1W2XW3,得-/WxW/,

'13'

所以函数y(2x)的定义域为一》y.

【答案】「［一］1,-31

考向2求函数的解析式

函数的解析式

(1)函数的表示方法：解析法、列表法、图象法.

(2)函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是y=/(x)的形式，可根据

题目的条件转化为该形式.

(3)求函数的解析式时，一定要注意函数的定义域的变化，特别是利用换元

法求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.

口国因囱2(1)(2014•浙江，6)已知函数次幻=t3+62+云+。，且04-1)=

/(—2)=/(-3)<3,则()

A.cW3B.3<cW6

C.6<c〈9D.c>9

(2)(2013•安徽，14)定义在R上的函数人x)满足於+1)=次江若当OWxWl

时，J(x)=x(1—x)，则当一1WxW0时，段)=.

【解析】⑴由./(-1)=./(-2)=./(-3)得，

-1+。-b+c=-8+4。-26+6a=6,,,

•••/(x)=/+6/+Hx+c.由

.-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,A=11,

0</(-1)^3,得0<-1+6-11+c<3,即6<cW9,故选C.

(2)Y-IWXWO,••.OWx+lWl,

-'-fix)=^{x+l)=1(x+1)[1~(x+1)]

=-5(x+1).

【答案】(1)C(2)—^x(x+1)

【点拨】解题⑴的关键是利用人-l)=A-2)=/(-3)求出a,b的值，再

结合不等关系0</(-1)^3求解；解题(2)的关键是将所求函数解析式的定义域向

已知函数解析式的定义域转化.

国感图爵求函数解析式的常见方法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型

设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可.

(2)换元法：已知/(7/(x))=g(x)求/(X)时，往往可设从中解出x,代入

g(x)进行换元，求出/⑺的解析式，再将，替换为x即可.

(3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量

转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式.

(4)解方程组法：已知关于/(X)与./(})(或/(一刈)的表达式，可根据已知条件再

构造出另一个方程构成方程组求出火x).

目E30J©(2015•四川成都检测，12)如果不；)==、，则当x#0,且x#l时，

於)=•

【解析】方法一：令(=/,...x=1,

1

7ii

八ZW/=71=;t-r1,八f(x)="

1一二

用X替换占:./(x)=Ty.

【答案】一、

X—1

考向3分段函数及其应用

1.分段函数的概念

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用儿个不同的

式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数虽由儿个部分组成，但它表示的

是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数

的值域的并集.

2.解决分段函数问题的注意事项

分段函数是一个函数而不是儿个函数，处理分段函数问题时，首先确定自变

量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论分段函数是毫

无意义的.

«注意

分段函数是为了研究问题的需要而进行的分类讨论，相当于求“并集”，不

可与方程组或不等式组的求“交集”相混淆.

□E9E1Q3(1)(2014•四川，12)设/(x)是定义在R上的周期为2的函数，当

—4X2+2,-1WX<0,(3、

x£[T，1)时，段)=八v〃则女=.

x2+x,x<0,

(2)(2014・浙江，15)设函数於)=彳2、八若欢a))W2,则实数Q的取

、一x，了30.

值范围是.

【解析】(1)；危)是周期为2的函数，

•，•4J+2=L

-2+2=-4X

|/（。）<0,/（。）20,

(2)由题意得，2

V（〃）+/（〃）W21.~72（a）W2,

解得人a)2-2.

a<0,

由'?或，

〃2-2--/2-2,

解得aWj.

【答案】(1)1(2)(—8,啦]

【点拨】转化为求的值；解

题(2)的关键是分清自变量的取值范围与所对应的函数关系.

Q感国图分段函数两种题型的求解策略

(1)根据分段函数的解析式求函数值

首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.

(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)

应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是

否符合相应段的自变量的取值范围.

«注意

当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.

2X+1,x<l,

目目皿自(2015•山东临沂调研，5)已知函数人x)=J2।若加0))

十dX,XY19

=4外则实数。等于()

14

A.2B.gC.2D.9

【答案】cVO<1,/,/(0)=20+l=2.

•./0)=2力，.*._/(A0))=22+2a=4a,

，a=2.故选C.

第El步II过模拟4

1.(2015•安徽宣城三模，3)函数/(x)=工,[3)1的定义域是()

A.[3,+8)B.(V，1)

C.(一；,3)D.(—8,—3)

px-2|-1^0,

【答案】A由1>0，得

lx—1^1

卜一221或x—2W—1,

{x>l,

〔x#2,

所以x23,即定义域为[3,+8).

2X,x>Q,

2.(2015•河南南阳质检，3)已知函数/(x)=J,,若/(a)+/(l)=0,

xI1,x0,

则实数。的值等于()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A因为./(1)=21=2,且./(0+/(2)=0,所以/(.)=-2.因为x>0

时，2V>1,所以_/(a)=a+l=-2,解得a=-3.

3.(2015・河北唐山统考，5)/(x)是R上的奇函数，当xNO时，./(x)=x3+ln(l

+x),则当x<0时，/(x)=()

A.—x3—ln(l—x)B.x3+ln(1-x)

C.x3—ln(1—x)D.—x3+ln(l—x)

【答案】C当x<0时，—x>0,/(—x)=(—x)3+ln(l—x).

•./x)是R上的奇函数，...当x<0时，/x)=一火-%)=-[(-x)3+ln(l-x)],

•*./(x)=——ln(l—x).

4.(2014•山东莱芜一模，8)已知函数人x)的定义域为[3,6],则函数_y=

f(2x)

的定义域为(

yiog](2-x))

Ag+8

B.5，2

eg,+8)D-[?2)

【答案】B要使函数y=/声)有意义,需满足

A/log^(2-x)

'3W2xW6,

彳«3,3

.故选

log^(2-x)>02=/WxV2B.

[3—f,[―1,2],

5.(2014•福建厦门一模，7)已知函数/)=彳、「则方程/(x)

I%—3,(2,5],

=1的解是()

A.啦或2B.啦或3C.啦或4D.土啦或4

【答案】C当x£[—l,2]时，由3—7=1今或一册(舍去)；

当xG(2,5]时,由x—3=l=>x=4.

综上所述，/(x)=l的解为啦或4.

x3,0Wx<5,

6.(2015•山东青岛质检，9)设函数/(x)=q,二、j那么./(2015尸

j\x5)，X5，

()

A.27B.0C.3D.1

【答案】B由题意知x25,y(x)=/(x—5).

令》-5=/,.'.x=5+t,.*./(5+/)=/(/),

•,.,/(x+5)=/(x),.,./(x)的周期7=5,

.\/(2015)=/(403X5+0)=/(0),

而当0WxV5时，f(x)=x3,

.,.y(0)=03=0,故人2015)=0,故选B.

fx2+2x,x<0,

7.(2015•湖北武汉质检，6)已知函数/(x)=1,°—若/(—a)+/(a)W0,

、x2x,x70.

则。的取值范围是()

A.[—1，1]B.[-2,0]

C.[0,2]D.[-2,2]

【答案】D依题意可得

<QNO,

々2—2〃+(―。)2+2(―a)W0

fa〈0,

nJ/*

(—a)2—2(—。)+〃2+2GW0,

解得Q£[—2,2],故选D.

8.(2015•安徽合肥二模，7)设集合〃=0,；),5=1,函数/(x)=

f,1

JV"I

2,■'若沏£/,且/(/(xo))e/，则xo的取值范围是()

2(1—x)，xGB.

1-1

--B-

A.42

_

弟,I)D,［o,|

【答案】c因为必64即OWxo<g,所以/(xo)=xo+T，；<xo+；Vl,

即T《/(xo)<l,即/(xo)W3,所以/(/(劭))=2口一/(刈)］二1-2沏.因为/(/。))64

所以O^l-2xo<1,

解得:V&W,又因为O4o<g，

所以［<刈<3,故答案为C.

思路点拨：解答本题关键是要分清配£/时，/(xo)的取值范围，以决定如何

求加配))的值•

9.(2015•四川德阳模拟，12)已知函数於)的定义域为(0,+8),且/(x)=

2/Q•衽-1，则加)=-

【解析】在")=，电.孤-1中，用%弋替X,

得心)=2加)古7,①

将①式代入/(X)=2(；)根-1中，

得/(X)=4/)-2.-1,

故/(x)=粘+

【答案】1^+1

10.(2015•陕西榆林二模，12)已知/(x)=，''使/(x)2-l

(x—1)2,x>0,

成立的X的取值范围是.

【解析】由题意知，

x〈0,(、八

.Jx>0，

$+12-1或、-(x-1)-1,

解得-4WxW0或0<xW2,故x的取值范围是[-4,2].

【答案】[-4,2]

函数的单调性第第廿

第。步J试典题1

A组)新题速递

1.(2015•天津，7,中)已知定义在R上的函数加)=2卜一制一1(加为实数)为偶

函数，记a=/(10go.53),Z?=/(log25),c—fi2m),则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<hD.c<h<a

【答案】c；/(x)为偶函数，.•./(—x)=/(x),

：.m=0,.\Xx)=2w-l.

由函数的图象可知，函数/(X)在(一8,0)上是减函数，在(0,+8)上是增函

数.

a=Hlogo,53)=7Uog23)，b=Xlog25),

c—/(O),又Iog25>log23>0,.,.b>a>c,故选C.

2.(2015・湖南，5,中)设函数")=ln(l+x)Tn(l—x),则用)是()

A.奇函数，且在(0,1)上是增函数

B.奇函数，且在(0,1)上是减函数

C.偶函数，且在(0,1)上是增函数

D.偶函数，且在(0,1)上是减函数

【答案】A•./—x)=ln(l—x)—ln(l+x)=—/(x),是奇函数.

又•••/(x)=W1___1-x+(1+x)_____2

~X1—X1—X1)，

(x)在定义域内恒大于0,.\/U)在(0,1)上是增函数.

B组经典回顾

1.(2014•陕西，7,易)下列函数中，满足“/(x+y)=/(x)/e)”的单调递增函

数是()

A./(x)=x2B./(x)=x3

C./(x)=(；yD./(x尸3、

【答案】D•.7(》+月=/3代)，.,.贝x)为指数函数模型，排除A,B.又••7U)

为单调递增函数，

排除C,故选D.

2.(2012・广东，4,易)下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是()

A.y=ln(x+2)B.y=—yjx+1

d-y=x+x

【答案】A(逐项验证法)函数y=ln(x+2)在(-2,+8)上是增函数；函

数歹=一出+1在L1,+8)上是减函数；函数歹=(，在(0,十8)上是减函数;

函数y=x+；在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数.综上可得，在(0,

十8)上是增函数的是y=ln(x+2),故选A.

3.(2012•陕西，2,易)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A.y—x+1B.y=—x3

C.y=^D.y=x|x|

【答案】D(逐项验证法)对于A,注意到函数夕=x+l不是奇函数；对

于B,注意到函数卜=一/是在R上的减函数；对于C,注意到函数在其定

义域上不是增函数；对于D,注意到一x-|-x|+x|x|=O,即函数y二x|x|是奇函数，

且当x20时，y=x|x|=x2是增函数，因此函数y=x|x|既是奇函数又是R上的增

函数，故选D.

4.(2013•安徽,4,易)“aWO”是“函数〃)=|3—1同在区间(0,+8)内

单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C充分性：当。<0时，x>0,则./(x)=|(ax—1词=-G?+X为开

口向上的二次函数，且对称轴为x=*<0,故在区间(0,+8)上为增函数；当。

=0时，>U)=x在区间(0,+8)上为增函数.

必要性：当aWO时，K)=°，火°)=°，由火x)在(0,+8)上为增函数知，：

<0,即a<0；当a=0时，/(x)=x在区间(0,+8)上为增函数，故a<0.

综上，“aWO”为“/(X)在(0,+8)上为增函数”的充分必要条件.

5.(2011•江苏，2,易)函数外)=log5(2x+l)的单调增区间是.

【解析】要使了=log5(2x+1)有意义，则2x+l>0,即.而y=logs”

为(0,+8)上的增函数，当时，”=2x+l也为增函数，故原函数的单调

增区间是(-g,+8).

［答案］+8)

6.(2011•上海，20,14分,中)已知函数/)=a0+63*,其中常数a,b满

足abWO.

(1)若。6>0,判断函数於)的单调性；

(2)若ab<0,求,/(x+1)次x)时x的取值范围.

解:(1)(定义法)。>0，b>0时,任取工］,切£R，令修〈X2，则/(即)-/(工2)=。(2为

-2%2)+6(3xi-3x2).

,.,2%1<2^2，Q>0=〃(2XI-212)<0,

3%I<3%2，6>0=6(3修-3x2)<0,

•・・/(xD-,/(x2)<0,函数/(x)在R上是增函数.

同理，当a<0,*0时，函数.危)在R上是减函数.

(2)/(x+l)-,/(x)=a-2x+2b-3x>Q,

即a>~26售j

当a<0,b>0时，停)>~2b,

贝ilx>k)g[-4；

第❷步,现能力4

考向1确定函数的单调性（单调区间）

1.单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数./（X）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间

。上的任意两个自变量X”X2

定义当修现时，都有/S）＞/（X2），

当时，都有/（X|）＜/（X2），那么

那么就说函数大幻在区间0

就说函数/（X）在区间D上是增函数

上是减函数

图象

OpixXj必~5

描述2

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

4注意

从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个

区间而言的.有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区间上不

是增函数.例如，函数歹=幺，当XC[0,+8）时是增函数，当X6（-8,0]时

是减函数.

2.函数单调性的常用结论

(1)若7(x)，g(x)均是区间Z上的增(减)函数，则“X)+g(x)也是区间Z上的增(减)

函数；

(2)若检0,则研x)与/㈤单调性相同；若k<0,则研x)与/(x)单调性相反；

(3)函数夕=/(x)(/(x)>0)在公共定义域内与歹=—/(x),y=Y丁的单调性相反;

(4)函数y=/(x)(/(x)20)在公共定义域内与y=7f(x)的单调性相同；

(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对

称的区间上单调性相反.

□E9E1D1(1)(2014•北京，2)下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是

()

A.y=yjx+\B.y=(x—I)2

C.y=2'D.y=log0,5(x+l)

(2)(2014•天津，4)函数段)=10/(7一4)的单调递增区间为()

A.(0,+8)B.(一8,0)

C.(2,+8)D.(-8,-2)

【解析】(1)A项，函数广W+1在［-1,+8)上为增函数，所以函数在

(0,+8)上为增函数，故符合；B项，函数歹=(x-Ip在(-8,1)上为减函数，

在［1,+8)上为增函数，故不符合；C项，函数y=2-x=g■『在R上为减函数，

故不符合；D项，函数y=logos。+1)在(-1,+8)上为减函数，故不符合.

(2)因为歹=log|f在定义域上是减函数，所以求原函数的单调增区间，即求

函数y=x2-4的单调减区间，结合函数的定义域刀2-4>0,可知所求区间为(-

8,-2).

【答案】(1)A(2)D

历四国图判断函数单调性(单调区间)的常用方法

(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论.

(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图

象的升、降写出它的单调性(区间).

(3)复合函数法：适用于形如y=/(9(x))的复合函数，具体规则如下表:

函数增减情况

内函数t=(p(x)增增减减

外函数歹=/(。增减增减

尸刎功增减减增

>=火旗幻)的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数

的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数.

(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区

间).

(5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性.

目国孤窈(1)(2011•课标全国，2)下列函数中，既是偶函数又在(0,十8)上

单调递增的函数是()

A.y=x3B.y=|x|+l

C.y=~^+lD.y=2-同

(2)(2015•河南洛阳二模，6)函数夕=/(x)(xCR)的图象如图所示，则函数g(x)

=川0&㈤(0<a<l)的单调减区间是()

A.0,1B.g,1]

C.(-8,0)U+8)D.而y[a+1]

(1)【答案】B夕=/是奇函数，夕=—f+i和歹=2*在(0,+8)上都是

减函数，故选B.

(2)【答案】B由图象可知，函数y=/(x)的单调递减区间为(一8,0)和

(T，+8),单调递增区间为0,1.

V0<a<L,函数尸lo&x在定义域内单调递减.由题意可知，OWlog/W；,

解得gWxWl,即所求递减区间为[g,1],故选B.

考向2函数单调性的应用

1.函数最值的概念

前提设函数_y=/a)的定义域为/,如果存在实数M满足

①对于任意xW/,都有/(x)WM①对于任意xW/,都有/(x)2M

条件

②存在xoG/，使得加o)=M②存在劭金/，使得m0)=〃

结论〃为最大值〃为最小值

4注意

函数的最值是函数在其定义域上的整体性质，即函数的值域中最大的一个值

和最小的一个值.

2.函数单调性的应用

(1)比较函数值的大小；

(2)解抽象函数不等式；

(3)求待定参数的值或取值范围；

(4)求函数的最值或值域.

□0E1Q2(1)(2015•云南昆明模拟，6)已知函数/(x)的图象向左平移1个单

位后关于N轴对称，当》2两>1时，［/酚一加1)卜。2—Xi)<0恒成立，设。=(一J),

b=A2),c=A3),贝Ija,b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

(2)(2015•福建福州一模，6)如果函数/(x)对任意的实数x,都有41+幻=火一

x),月.当x/时，«v)=log2(3x—1),那么函数於)在［—2,0］上的最大值与最小

值之和为()

A.2B.3C.4D.-1

(3)(2012•上海，7)已知函数4)=心一气为常数).若/(x)在区间［1,+8)上

是增函数，则。的取值范围是.

【思路导引】(1)利用图象的对称性，把问题转化为同一单调区间内比较

大小；(2)由./U+x)=A-x)得函数关于x=g对称，进而求得外)在各区间的

单调性，可得函数/(x)的最大值与最小值；(3)思路一：先求出/(X)的单调增区间,

再根据已知条件找出已知区间与单调区间的关系，求字母的范围；思路二：求出

/U)的导数，利用