广东省茂名市良光中学高三数学文联考试题含解析

广东省茂名市良光中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数，其中i是虚数单位，则(

)A. B.1C.3 D.5参考答案：A【分析】根据复数模的定义求解.【详解】，选A.【点睛】本题考查复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.2.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（

）A．

B． C．

D．参考答案：B略3.若非零向量满足，则(

)A.

B.C.

D.命题意图:考查平面向量线性运算，三角形法则，稍难题.参考答案：C4.已知数列{}为等差数列，且，则tan()等于（

）A.

B.－

C.±

D.－参考答案：B5.集合M=N=M,N均为的子集，MN的“长度”（的长度为）的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C6.设函数为奇函数，则g（3）=（）A．8 B． C．﹣8 D．﹣参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】要求g（3）的值，只要先求g（x），即是求当x＞0时的f（x），根据已知x＜0时的函数解析式及f（x）为奇函数可求【解答】解：设x＞0则﹣x＜0∵f（﹣x）=﹣f（x）∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x∴f（x）=﹣2﹣x即g（x）=﹣2﹣x，x＞0∴g（3）=﹣2﹣3=故选D【点评】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式，解题的关键是灵活利用已知条件7.若函数满足，当时，，若在区间上，有两个零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.已知当，时，，则以下判断正确的是（）A. B.C. D.m与n的大小关系不确定参考答案：C【分析】设，利用导数求得函数在单调递增，再根据，即可求解，得到答案．【详解】由题意，设，则，当时，，单调递增，又由，所以，即，故选C．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中设出新函数，利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．9.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得

为整数的正整数的个数是（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：答案：选D解析：由等差数列的前项和及等差中项，可得

，故时，为整数。故选D点评：本题主要考察等差数列的性质，等差中项的综合应用，以及部分分式法，数的整除性

是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用。易错点：不能将等差数列的项与前项和进行合理转化，胡乱选择。10.设z1、z2∈C,则“z+z=0”是“z1=z2=0”的

(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有个元素．参考答案：6略12.已知程序框图如右，则输出的=

．K参考答案：9因为,所以当S=105时退出循环体，因而此时i=9,所以输出的i值为913.曲线与所围成的图形的面积是

.参考答案：略14.下列说法：①“，使>3”的否定是“，使3”；②

函数的最小正周期是；③“在中，若，则”的逆命题是真命题；④“”是“直线和直线垂直”的充要条件；其中正确的说法是 （只填序号）.参考答案：①②略15.设函数，集合，在直角坐标系中，集合A所表示的区域的面积为___________________.参考答案：4π略16.已知函数，关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为______

_____．参考答案：17.（文）若实常数，则不等式的解集为

．参考答案：因为，得，解得，即不等式的解集为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）

已知函数．

（1）若a=l，求在上的最大值；

（2）利用（1）的结论证明：对任意的正整数n，不等式都成立：

（3）是否存在实数a（a>0），使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：略19.已知数列{an}中，a1=1，且点（an，an+1）在函数y=x+1的图象上（n∈N*），数列{bn}是各项都为正数的等比数列，且b2=2，b4=8．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}满足cn=（﹣1）nan+bn，记数列{cn}的前n项和为Tn，求T100的值．参考答案：考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由于点（an，an+1）在函数y=x+1的图象上（n∈N*），可得an+1=an+1，利用等差数列的通项公式即可得出．数列{bn}为等比数列，设公比为q，由于b2=2，b4=8，可得b4=b1q3=8，b1q=2．解出即可．（II）数列{cn}满足cn=（﹣1）nan+bn=（﹣1）nn+2n﹣1，可得T100=（﹣1+2﹣3+4+…+100）+（1+2+22+…+299），利用分组求和与等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）∵点（an，an+1）在函数y=x+1的图象上（n∈N*），∴an+1=an+1，即an+1﹣an=1，∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．故数列{an}的通项公式为an=n．数列{bn}为等比数列，设公比为q，∵b2=2，b4=8，∴b4=b1q3=8，b1q=2．bn＞0，∴b1=1，q=2．∴bn=2n﹣1（n∈N*）．（Ⅱ）∵数列{cn}满足cn=（﹣1）nan+bn=（﹣1）nn+2n﹣1，∴T100=（﹣1+2﹣3+4+…+100）+（1+2+22+…+299）=50+=50+2100﹣1=22100+49．点评：本题考查了“分组求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知函数．（Ⅰ）求的单调递区间；（Ⅱ）若的图象与轴有三个交点，求实数的取值范围。参考答案：解：（I）f′(x)＝－3x2＋6x＋9．………………2分令f′(x)>0，解得－1<x<3．所以函数f(x)的单调递增间为(－1，3)．………………4分令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3．所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．…………6分（II）由（I）知

…………8分若的图象与轴有三个交点，则解得

……………11分所以实数的取值范围是（-27,5）……………12分21.已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）求函数（为实常数）的单调区间；

（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．参考答案：【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值

B11,B12【答案解析】(1)g（x）有极大值为g（1）＝0，无极小值．(2)当a≤1时，h（x）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a＞1时，h（x）增区间为（0，1），（a，＋∞）；减区间为（1，a）．(3)（－∞，2]解析：解：（1）g（x）＝lnx－x＋1，g′（x）＝－1＝，当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，可得g（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故g（x）有极大值为g（1）＝0，无极小值．

（2）h（x）＝lnx＋|x－a|．当a≤0时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此时h（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，①当x≥a时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此时h（x）在（a，＋∞）上单调递增；②当0＜x＜a时，h（x）＝lnx－x＋a，h′（x）＝－1＝．当0＜a≤1时，h′（x）＞0恒成立，此时h（x）在（0，a）上单调递增；当a＞1时，当0＜x＜1时h′（x）＞0，当1≤x＜a时h′（x）≤0，所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减．综上，当a≤1时，h（x）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a＞1时，h（x）增区间为（0，1），（a，＋∞）；减区间为（1，a）．（3）不等式（x2－1）f（x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立，即（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．当0＜x＜1时，x2－1＜0；lnx＜0，则（x2－1）lnx＞0；当x≥1时，x2－1≥0；lnx≥0，则（x2－1）lnx≥0．因此当x＞0时，（x2－1）lnx≥0恒成立．又当k≤0时，k（x－1）2≤0，故当k≤0时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2恒成立．下面讨论k＞0的情形．当x＞0且x≠1时，（x2－1）lnx－k（x－1）2＝（x2－1）[lnx－]．设h（x）＝lnx－（x＞0且x≠1），．记△＝4（1－k）2－4＝4（k2－2k）．①当△≤0，即0＜k≤2时，h′（x）≥0恒成立，故h（x）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．于是当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．又当x＝1时，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．因此当0＜k≤2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2（1－k）x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）．函数φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈（1，k－1）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，从而h（x）在（1，k－1）在单调递减；而当x∈（1，k－1）时，h（x）＜h（1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1）h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，因此当k＞2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x不恒成立．综上，当（x2－1）f（x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是（－∞，2]．【思路点拨】（1）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=f（x）﹣x+1的极值；（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数h（x）=f（x）+|x﹣a|（a为实常数）的单调区间；（3）注意：①适当变形后研究函数h（x）；②当k＞2时，区间（1，k﹣1）是如何找到的22.今年，楼市火爆，特别是一线城市，某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有n套房源，则设置n个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家