浙教版九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系

第2章直线与圆的位置关系2.1直线与圆的位置关系第1课时

直线与圆的位置关系点和圆的位置关系有几种？点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则：

ABC点在圆外

d>r;点在圆上

d=r；点在圆内

d<r.位置关系数形结合：数量关系同学们，在我们的生活中到处都蕴含着数学知识，下面老师请同学们欣赏美丽的图片。从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？请同学们利用手中的工具再现海上日出的整个情景。在再现过程中，你认为直线与圆的位置关系可以分为哪几类？你分类的依据是什么？(地平线)a(地平线)●O●O●O(2)直线和圆有唯一一个公共点,叫做直线和圆相切,这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点。(1)直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点。(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）相交相切相离上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？2.连结直线外一点与直线所有点的线段中,最短的是

。

1.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。垂线段相关知识点回忆直线和圆相切d=r直线和圆相离d>rrd∟rd∟rd直线和圆相交d<r二、直线和圆的位置关系（用圆心到直线l的距离d与圆的半径r

的关系来区分）观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化？a(地平线)

1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d

：3)若d=8cm,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.

2)若d=6.5cm,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.

1)若d=4.5cm,则直线与圆

,直线与圆有____个公共点.3)若AB和⊙O相交,则

.2、已知⊙O的半径为5cm,圆心O与直线AB的距离为d,根据条件填写d的范围:1)若AB和⊙O相离,则

;2)若AB和⊙O相切,则

;相交相切相离d>5cmd=5cm0cm≤d<5cm210例：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm．分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d。BCA43Dd解：过C作CD⊥AB，垂足为D在△ABC中，AB=5根据三角形的面积公式有∴即圆心C到AB的距离d=2.4cm所以(1)当r=2cm时,有d>r,因此⊙C和AB相离。BCA43Dd（2）当r=2.4cm时,有d=r,因此⊙C和AB相切。（3）当r=3cm时，有d<r，因此，⊙C和AB相交。BCA43DBCA43Ddd

已知⊙O的半径r=7cm,直线l1//l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离m.O。l1l2ABCl2判定直线与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由__________________的个数来判断；（2）根据性质，由_____________________

______________的关系来判断。在实际应用中，常采用第二种方法判定。两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r第2课时

切线的判定和性质回顾旧知直线与圆的位置关系量化

直线和圆相交d

rdr

直线和圆相切

直线和圆相离d

r<=>相离相切相交情境引入动手操作：在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A

作直线l⊥OA.思考：（可与同伴交流）（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径由什么关系？（2）直线l与⊙O的位置有什么关系？根据什么？（3）由此你发现了什么？直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。如图所示，半径OA⊥直线l，直线l为⊙O的切线．特征①：直线l经过半径OA的外端点A特征②：直线l垂直于半径OAd=r相切感悟新知

圆的切线的判定方法：

(1)概念：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；

(2)数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

(3)判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．总结归纳例1已知:如图，

A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB=BC,∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线.

连结OB.∵OB=OC,AB=BC,∠A=30°，∴∠OBC=∠C=∠A=30°，∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°.∵∠ABO=180°-(∠AOB+∠A)=180°-(60°+30°)=90°，∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线).证明：∵OA=OB=5，AB=8∴AC=BC=4∴在Rt△AOC中，OC=3，又∵⊙O的直径长为6，∴OC=半径r∴直线AB是⊙O的切线.证明：过点O作OC⊥ABC无交点，作垂直，证d=r如图，已知OA=OB=5，AB=8，⊙O的直径为6.求证：AB与⊙O相切.BＯA有交点，连半径，证垂直练习实际应用

例2如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°方向移动，受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些受到这次台风影响，哪些不受到这次台风影响？合作学习①OA与AT垂直吗？问：

已知直线AT切⊙O于点A（切点）,连结OA，则OA是半径.经过切点的半径垂直于圆的切线AOT②过点A作AT的垂线，垂线过点O吗？经过切点垂直于切线的直线必经过圆心圆的切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线．拓展：(1)切线和圆只有一个公共点．(2)圆心到切线的距离等于半径．(3)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点．(4)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．总结归纳（判定垂直）（判定半径或直径）例3

木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,用角尺的较短边紧靠⊙O于点A,并使较长边与⊙O相切于点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm.求⊙O的半径.连结过切点的半径是常用的辅助线OABCD解：连结OA,OC,过点A作AD⊥OC于D.∵AB⊥BC,AD⊥OC∴四边形ABCD是矩形∴AD=BC,OD=OC-CD=OC-AB在Rt△ADO中,解得:r=20答:⊙O的半径为20cm∵⊙O与BC相切于点C.∴OC⊥BC

例4已知:如图,直线AB与⊙O相切于点C，AO交⊙O于点D，连结CD,OC.求证：∠ACD=

∠COD.

如图,作OE丄CD于点E，则∠COE+∠OCE=90°.∵⊙O与AB相切于点C，∴OC丄AB(经过切点的半径垂直于圆的切线），即∠ACD+∠OCE=90°.∴∠ACD=∠COE.∵△ODC是等腰三角形，OE⊥CD,∴∠COE=∠COD∴∠ACD=∠COD证明：1.切线的判定定理。2.判定一条直线是圆的切线的方法。（1）定义：直线和圆有唯一公共点。（2）数量关系：直线到圆心的距离等于半径。（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。3.辅助线作法：（1）有公共点：作半径证垂直。（2）无公共点：作垂直证半径。课堂小结4.切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线经过切点垂直于切线的直线必经过圆心5.切线性质的应用：常用的辅助线是连接半径．综合性较强，要联系许多其它图形的性质．1.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝

AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心作半圆O交

BC于点M，N，半圆O与AB，AC相切，切点分别为

D，E，则半圆O的半径和∠MND的度数分别为(

)A．2；22.5°B．3；30°C．3；22.5°D．2；30°课堂测试2.如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、CD及BC的延长线于E、F、G，⊙O是△CGF的外接圆；求证：CE是⊙O的切线。3.如图,直线AB与⊙O相切于点C,射线AO交⊙O于点D，E,连结CD，CE.找出图中的一对相似三角形，并说明理由。CBAODE

若已知AC=4cm，⊙O的半径为3cm，能否求出图中其它线段的长度？F第2章直线与圆的位置关系2.2切线长定理

1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？2、这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线。3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数画一画50°130°PO课外补充

OABP思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，则∠OAP=90°,连接OP，可知A、B

除了在⊙O上，还在怎样的圆上?如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？尺规作图：过⊙O外一点作⊙O的切线

·OPAB在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线长的概念·OPAB··

切线和切线长是两个不同的概念：

1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；

2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。切线和切线长OP

AB思考:已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?

OABP12请证明你所发现的结论。PA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB

，

即∠OAP=∠OBP=90°

∵OA=OB，OP=OP

∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论BPOAPA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法OPAB若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.结论：OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线，∴OP垂直平分ABBPOAM若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.结论：CA=CB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴PC=PC∴△PCA≌△PCB∴AC=BCBPOAC（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点PBAO反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，BC是直径。求证：AC∥OPPACBDO例题讲解练习1.（口答）如图PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周长．(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数C

·OPBDAE例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证：AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，

DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP

即AB+CD=AD+BC补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．例3.如图，△ABC中,∠C=90º,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12,AD=8，求⊙O的半径r.OEBDCAF练习2.如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，(1)求证：OD⊥OC

(2)若BC=9，AD=4，求OB的长.

OABCDE4、OP交⊙O于M,则

，AB

OP牛刀小试PABCOM3、若∠P=70°，则∠AOB=

°2、已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=

。

60°AM＝BM⌒⌒1101、若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA。

OA=3⊥5、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。EAQPFBO易证EQ=EA,FQ=FB，PA=PB∴PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周长为24cm1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。BPO。AECD∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB

切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。课堂小结2.我们学过的切线，常有性质：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。(6)从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个第2章直线与圆的位置关系2.3三角形的内切圆学习目标：1、了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念。2、会利用基本作图作三角形的内切圆。3、了解三角形内心的性质，并会进行有关的计算。1．任意作一个∠ABC，如果在∠ABC内作圆，使其与两边OA、OB相切，满足上述条件的圆是否可以作出？如果可以作，能作多少个？所作出的圆的圆心O的位置有什么特征？为什么？圆心O在∠ABC的平分线上。能作无数个2．任意作一个△ABC，在△ABC内作圆，使其与各边都相切，满足上述条件的圆是否可以作出？如果可以作，能作多少个？所作出的圆的圆心O的位置有什么特征？为什么？圆心O在∠ABC与∠ACB的两个角的角平分