广东省汕头市第四中学2021年高三数学文期末试卷含解析

广东省汕头市第四中学2021年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的s值，则的值为（

）A．4

B．3

C．2

D．―1参考答案：A易知，所以。2.将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率

A、

B、

C、

D、参考答案：C如图1，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥，其体积为，又正方体的体积1，则剩余部分（新工件）的体积为，故选C.3.若点在直线上，则的最小值是 （

）A．2 B． C．4 D．参考答案：A4.直线的倾斜角的取值范围是（

）A.

B.C.

D.

参考答案：B5.对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※．则在此定义下,集合※中的元素个数是

(

)A．10个 B．15个 C．16个 D．18个参考答案：B6.在△ABC中，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】29：充要条件．【分析】由A，B，C成等差数列即可得到B=60°，而根据余弦定理即可得到a2+c2﹣b2=ac，这样即可求得（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，这就说明A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充分条件；而由（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，便可得到a2+c2﹣b2=ac，从而根据余弦定理求出B=60°，再根据三角形内角和为180°即可说明B﹣A=C﹣B，即得到A，B，C成等差数列，这样即可找出正确选项．【解答】解：（1）如图，若A，B，C成等差数列：2B=A+C，所以3B=180°，B=60°；∴由余弦定理得，b2=a2+c2﹣ac；∴a2+c2﹣b2=ac；∴（b+a﹣c）（b﹣a+c）=b2﹣（a﹣c）2=b2﹣a2﹣c2+2ac=﹣ac+2ac=ac；即（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac；∴A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充分条件；（2）若（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，则：b2﹣（a﹣c）2=b2﹣a2﹣c2+2ac=ac；∴a2+c2﹣b2=ac；由余弦定理：a2+c2﹣b2=2ac?cosB；∴；∴B=60°；∴60°﹣A=180°﹣（A+60°）﹣60°；即B﹣A=C﹣B；∴A，B，C成等差数列；∴A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的必要条件；∴综上得，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充要条件．故选：C．7.已知圆（x－1）2＋（y－3）2＝r2（r>0）的一条切线y＝kx＋与直线x＝5的夹角为，则半径r的值为

A．

B．

C．

或

D．或参考答案：C8.若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（） A．x﹣y﹣3=0 B． 2x+y﹣3=0 C． x+y﹣1=0 D． 2x﹣y﹣5=0参考答案：A略9.函数f(x)＝x2－3x－4的零点是 ()A．(1，－4) B．(4，－1)C．1，－4

D．4，－1参考答案：D10.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线相切，则a的取值范围是（

） A． B．C．-3≤a≤一或≤a≤7

D．a≥7或a≤—3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列{}的前n项和为，已知，，则

参考答案：10。由得到。所以（舍）或。又，从而。12.设

则=

参考答案：13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且，当tan(A-B)取最大值时，角B的值为

参考答案：14.的展开式中的系数为12，则实数的值为_____参考答案：1

略15.若a，b∈R+，4a+b=1，则的最小值为．参考答案：9【考点】基本不等式．【分析】根据题意，分析可得=（4a+b）（）=5++，由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，=（4a+b）（）=5++≥5+2=9，即的最小值为9；故答案为：9．【点评】本题考查基本不等式的应用，解题时要注意等号成立的条件，属于基础题．16.已知数列满足，则数列的通项公式

．参考答案：17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC周长的最大值为

.参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图4，是平行四边形，已知，,平面平面.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）∵是平行四边形，且∴，故，即

（1分）取BC的中点F，连结EF，∵，∴

（2分）又∵平面平面，∴平面

（3分）∵平面，∴

（4分）∵平面，∴平面，

（5分）∵平面，∴

（6分）（Ⅱ）∵,由（Ⅰ）得

（7分）以B为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则

∴

（8分）设平面的法向量为，则，即

得平面的一个法向量为

（10分）由（Ⅰ）知平面，所以可设平面的法向量为

（11分）设平面与平面所成二面角的平面角为，则

即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.（12分）

19.（本小题满分12分）已知向量,设函数.(1)求函数的最小正周期;(2)已知分别为三角形ABC的内角对应的三边长,A为锐角,,，且恰是函数在上的最大值,求A,b和三角形ABC的面积.参考答案：（1）

4分因为，所以最小正周期.

6分（2）由（1）知，当时，.由正弦函数图象可知，当时，取得最大值，又为锐角所以.

8分由余弦定理得，所以或

经检验均符合题意.

10分从而当时，△的面积；

11分当时，.

12分20.为圆周率，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；参考答案：略21.已知复数，又，而u的实部和虚部相等，求u．参考答案：【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A2：复数的基本概念．【分析】由条件求出u=i（a﹣bi）=b+ai，可得，解出a、b的值，即可得到u．【解答】解：∵，∴u=i（a﹣bi）=b+ai．∴，…（6分）∴a=b=1或a=b=﹣1，∴u=1+i或u=﹣1﹣i…（12分）【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，属于基础题．22.已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）?ex，设t＞﹣2，f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）试判断m，n的大小并说明理由；（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．参考答案：解：（1）因为f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex，由f′（x）＞0?x＞1或x＜0，由f′（x）＜0?0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，要使函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0，（2）因为函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（3）证：∵，∴，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）?g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题．分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（Ⅱ）运用函数的极小值进行证明，（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．解答：解：（1）因为f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex，由f′（x）＞0?x＞1或x＜0，由f′（x）＜0?0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，要使函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0，（2）因为函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（3）证：∵，∴，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）?g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，