教程讲稿大二上

一、矩阵的加法二、数乘矩阵三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的转置运算五、小结、思考题一、矩阵的加１、定 设有两个mnAaBb A与B的和记作AB

ABa21

2 2na a

am

mn

mn 5 5例 5

43 162 3 162 12

3 5

13

96

04 4.697 81 697 、矩阵加法的运算规律1ABB2ABCABC a1n3A

a2na mn称为矩阵A的负矩阵4AAO,ABA二、数与矩阵相、定数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为

1nAA

a2n

mn（设A、B为mn矩阵，,为数1A2AA3ABA矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.三、矩阵与矩引例 公司向两家 商发送三种电数量（单位：套数量（单位：套商） 甲乙表格中的数据对应矩阵 A a13a a23a这三种电脑的单价及单件重量也可以列成矩阵 B 22 其中，bi1表示第i种电脑的单价，bi2表示第i种电脑的单件重量(i试问：该IT公司向 商乙所发送电脑的显然，由A、B的意义即

A

13

B

23

可知a21b12a22b22a23b32即为所求于是，可得该公司向两家 商所发送电脑总价

bab

a a

a C

a23b32我们可以认为矩阵C是矩阵A、B的“乘积.于是，有１、矩阵乘积的定设A

是一个msB

是一mn 个mn 个 阵C c

ai

b1

ai

b2

k

i1,2,m;j CAB.(2)24(3)C

4

222

8?162

4 B

1

4 求

1 Aa Bb Cc 2

4CAB

0

4

7 2

1

不存在.59 59 1232132231 1 ２、矩阵乘法的运算规1AB２、矩阵乘法的运算规算 2ABCABAC, BCABA算 3ABAB前 4AIIA前

（为数 5若A是n阶矩阵，则

k

并且Amk

Amk

Amkm,k为正整数注 ABBA,ABkAkBk A

1 B

1 AB

BA

2 AB

A

B

12

BA

AB , AB

2

同理，由AB

1

1 0 1 1 可知，ABO一般推不出AO或B AXAY一般推不出XY2

2 3 3

21 22

2 2

22 4.3 33 已知

3

1

例4

3 3 3

3

1

1 3

32

3 31 1 2

18

1 3

1四、矩阵的转１、转置矩 新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A.即:若A=(aij)则

AT

5; B

8TT 6转置矩阵的运算性2ABTATBT3ATAT4ABTBTAT

A

B 3

求ABT210 2 210 AB

3210 210

13 10 B

A

3210 2 210 ABTBT

1

3

132 2

2、对称阵 称定 设A为n阶方阵，如果满足AAT， i,j A称为对称阵 例如A 0为对称阵 6 说明如果ATA,则矩阵A称 即满足aijaji 显然 称矩阵中aii 证明任一n阶矩阵A都可表示成对称阵 设CA则CTAATT

AC,设BAAT,则BTAAT 称矩阵.于

AB,AA

A

CB

设列矩阵X

x1,x2,,

XTXI为n阶单位矩阵HI2XXT,证明H是对称矩阵,且HH I HTI2XXT IT2XXTI2XXTHH是对称矩阵HHTH I2XXTI