道路工程制图第四章

1第四章直线与平面、平面与平面的相对位置本章教学要求直线与平面各种位置关系的掌握教学重点直线与平面相交、平面与平面相交的作图方法教学难点能够根据直线与平面的位置关系做出一般直线平面图形能力目标直线与平面、平面与平面平行1直线与平面、平面与平面相交2直线与平面、平面与平面垂直3本章主要内容§4-1直线与平面、平面与平面平行直线与平面平行几何条件：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。解决问题：判别已知线面是否平行；作直线与

已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。直线与平面平行

若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行PCDBA例题1过平面外一点D，作一水平直线DE与ΔABC平行eddffeabcbca例题2已知ABCD平面与平面外一直线MN，试检查MN是否与该平面平行。eddmneabcbcanm结论：MN与平面ABCD平行附加例题试判断直线AB是否平行于定平面

fgfgbaabcededc结论：直线AB不平行于定平面两平面平行若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行PSEFDACB例题3试判断ΔABC和ΔABC两平面是否相互平行结论：ΔABC和ΔABC两平面平行defbgakcdefbgkac附加例题试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行例题4过点K作一平面与平行两直线AB和CD所决定的平面平行。badcabcdkefekf两相交直线KE和KF所组成的平面即为所求的平面附加例题已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkk两相交直线KE和KF所组成的平面即为所求的平面附加例题试判断两平面是否平行。结论：两平面平行efefsrsddcaacbbrPHSH直线与平面或平面与平面之间，若不平行则必相交。直线与平面相交产生交点，平面与平面相交产生交线。交点或交线是两个几何元素的共有元素，也是在投影中几何元素重影部分可见与不可见的分界点或分界线。

§4-2直线与平面、平面与平面相交投影面垂直线与一般位置平面相交fecbaabce(f)fecbaabce(f)K`k一般位置直线与投影面垂直面相交bbaaccmmnnVHPHPABCacbkNKMkkVHPHPABCacbkNKMbbaaccmmnkkn直线的可见性判断例题5求直线EF与ΔABC平面的交点K。eabacbe(f)ddcfk(k)nlmmlnbaccabfkfkVHMmnlPBCacbPHkfFKNL一般位置平面与投影面垂直面相交VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkbbacnlmcmalnfkfk平面的可见性判断feefbaacbc12QV21kk1、过EF作正垂平面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。一般位置直线与一般位置平面相交以正垂面为辅助平面求交点步骤：

ABCQ过MN作平面Q垂直于V投影面MN以正垂面为辅助平面求线面交点示意图直线EF与平面ABC相交，判别可见性。利用重影点。判别可见性(

)feefbaacbc12432134（

）kkHVabcceaABbCFEffkKke直线EF与平面ΔABC相交，判别可见性示意图ⅠⅡⅢⅣ1

(2)(4)3例题6求一般位置直线DF与一般位置平面ΔABC的交点K，并判断可见性。fdambcnkdaabmnfkRH两一般位置平面相交，求交线步骤：1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、E。baccballnmmnPVQV1221kke'e2、连接两个共有点，画出交线KE。一般位置平面与一般位置平面相交两一般位置平面相交求交线的方法MBCAFKNL两平面相交，判别可见性baccballnmmnkeek3

4

()3421()12例题7已知一般位置的平行四边和一般位置的三角形相交，求它们的交线。mnmn直线MN即为所求的交线acbacbfeefkk附加例题试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。分析FPCABEKH过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。作图步骤mnhhnmffacbacbeekkPV11221、过点K作平面KMN//

ABC平面。2、过直线EF作正垂平面P。3、求平面P与平面KMN的交线ⅠⅡ。4、求交线ⅠⅡ与EF的交点H。5、连接KH，KH即为所求。直线与平面垂直直线与平面垂直的几何条件：

若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。§4-3直线与平面、平面与平面垂直VHPAKNDCBE定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKNDCBEHaadcbdcbeeknkn定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。acacnnkfdbdbfkVPAKNDCBEH附加例题平面由BDF给定，试过定点K作平面的法线。acacnnkfdbdbfk直线KN即为所求的法线例题8已知BCD平面及平面外一点A，求点A到平面BCD的距离。abcdabcdkkA0A0k即为A到BCD的距离hh附加例题试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhkkSVkkPVkkQH例题9试过定点K作一直线与一般位置直线AB垂直相交。abkkefmaebmfKM即为所求的直线附加例题平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。efemnmncaadbcdbf结论：MN不垂直于定平面两平面互相垂直两平面垂直的几何条件：

若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。ⅡADADⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠAD例题10过直线AB作一平面垂直于DEF。abkd