初中数学华东师大版八年级下册第十九章矩形菱形与正方形1矩形(g)

华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.同步练习一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分答案：C解答：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等．分析：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线相等且平分．2．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°答案：A解答：由翻折变换的性质可知，在矩形ABCD中，又∠BAF＝60°，所以，所以．分析：根据翻折变换的性质可知△AEF≌△AED．3．若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（）A．22cm B．26cm C．22cm或26cm D．28cm答案：C解答：如图（1）所示，此时矩形的周长为cm；如图（2）所示，此时矩形的周长为cm，所以选C．（1）（2）分析：如上图所示，在矩形ABCD中∠ADC＝90°，因为DE平分∠ADC，所以∠EDC＝∠ADC＝45°，所以在Rt△EDC中，DE＝EC．4．由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（）A．°B．45°C．30°D．60°答案：B解答：根据题意可以得到如下图所示，因为在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，又因为垂线AE分∠BAD为1：3两部分，所以∠DAE＝90°×＝°，所以∠ADB＝90°－∠DAE＝°，又OA＝OD，所以∠DAO＝∠ADO＝°，所以∠CAE＝∠DAE－∠DAO＝45°，即该垂线与另一条对角线的夹角为45°．分析：本题目的关键在于将数学语言转化为图形进行解题．5．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE＝∠CDE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．°答案：C解答：因为在矩形ABCD中∠ADC＝90°，又因为∠ADE＝∠CDE，所以∠CDE＝∠ADC＝60°，又因为DE⊥AC，所以△CDE为直角三角形，所以∠ACD＝30°，又因为OD＝OC，所以∠BDC＝∠ACD＝30°．分析：矩形的对角线相等且平分．6．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED＝90°．当AD＝10cm时，AB等于（）A．10cmB．5cmC．cmD．cm答案：B解答：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，因为E是BC的中点，AD＝10cm，所以BE＝EC＝5cm，在△ABE与△DCE中，，所以△ABE≌△DCE，所以AE＝ED，又因为∠AED＝90°，所以∠EAD＝45°，所以∠BAE＝90°－∠EAD＝45°，所以AB＝BE＝5cm．分析：矩形的四个角都是直角．7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的处，并且点B落在边上的处．则BC的长为（）A． B．2 C．3 D．答案：C解答：因为△ABE≌，所以，，又因为∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠BAE＝30°，AB＝，所以BE＝1，AE＝2，＝60°，∠EAD＝60°，所以是等边三角形，所以＝AE＝2，因为△CEF≌，所以EC＝＝2，所以BC＝BE＋EC＝3．分析：△ABE与对折，两个三角形全等，与对折，两三角形也全等，根据边角关系求出BC．8．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A．（2，2） B．（3，2）C．（3，3） D．（2，3）答案：B解答：如图可知第四个顶点为（3，2），所以选B．分析：本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2．9．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A⇒B⇒C⇒M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（） A． B． C． D．答案：A解答：点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数，当P到达B点时，面积达到最大，值是1．在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小；到达C点，即路程是3时，最小是；由C到M这一段，面积越来越小；当P到达M时，面积最小变成0．因而应选A．分析：根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单．10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）A． B．C．3 D．答案：D解答：如下图，连接EC，由矩形的性质可得AO＝CO，又因EO⊥AC，则由线段的垂直平分线的性质可得EC＝AE，设AE＝x，则ED＝AD﹣AE＝5﹣x，在Rt△EDC中，根据勾股定理可得，即，解得x＝．故选D．分析：利用线段的垂直平分线的性质，得到EC与AE的关系，再由勾股定理计算出AE的长．11．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（）A．50 B．50或40C．50或40或30 D．50或30或20答案：C解答：如图四边形ABCD是矩形，AD＝18cm，AB＝16cm；本题可分三种情况：①如图（1）：△AEF中，AE＝AF＝10cm；所以＝•AE•AF＝50；（1）（2）（3）②如图（2）：△AGH中，AG＝GH＝10cm；在Rt△BGH中，BG＝AB－AG＝16－10＝6cm；根据勾股定理有：BH＝8cm；所以＝AG•BH＝＝40；③如图（3）：△AMN中，AM＝MN＝10cm；在Rt△DMN中，MD＝AD－AM＝18－10＝8cm；根据勾股定理有DN＝6cm；所以＝AM•DN＝．故选C．分析：本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论．12．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于（）A．30° B．45°C．60° D．75°答案：C解答：根据题意得：∠DAE＝∠EAD′，∠D＝∠D′＝90°，又因为∠BAD′＝30°，所以∠EAD′＝（90°－30°）＝30°，所以∠AED′＝90°－30°＝60°．故选C．分析：根据折叠的性质求∠EAD′，再在Rt△EAD′中求∠AED′．13．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED；正确的是（）A．②③ B．③④C．①②④ D．②③④答案：D解答：∵AB＝1，AD＝，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1，∴△OAB，△OCD为正三角形，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，∴BF＝BO即②正确；∵AF平分∠DAB，∴∠FAD＝45°，∴∠CAH＝45°－30°＝15°，∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH即③正确；由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED即④正确；若AF＝FH，那么点F为等腰三角形CAH的中点，那么CB垂直于AH，显然不成立，①所以不正确．故选D．分析：这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．14．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是（）A．2 B．4C． D．答案：B解答：因为在矩形ABCD中，所以AO＝AC＝BD＝BO，又因为∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO＝AB＝2，所以AC＝2AO＝4．故选B．分析：本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度．15．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（）A． B．C． D．答案：D解答：A项的对顶角相等；B，C项不确定；D项一定不相等，因为∠1＝∠ACD，∠2＞∠ACD．分析：本题主要是利用三角形的外角大于和它不相邻的任一内角来分析．二、填空题16．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC＝10cm，边BC＝8cm，则△ABO的周长为．答案：16cm解答：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，对角线AC＝10cm，∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝AC＝5cm，∵BC＝8cm，∴AB＝cm，∴△ABO的周长为：OA＋OB＋AB＝16cm．分析：根据勾股定理求出边AB的长度是本题的解题关键．17．矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB＝60°，AB＝8，则矩形对角线的长．答案：16解答：如下图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝8，∴AC＝BD＝16．分析：本题的关键在于△AOB是等边三角形的判定与其性质的利用．18．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是 ，对角线的长是 ．答案：5|10解答：如下图所示，∠AOB＝60°，AB＋AC＝15；∵在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，∴△AOB是正三角形，∴AB＝OA，∴AC＝2AB，又∵AB＋AC＝15，∴AB＝5，AC＝10即短边的长是5，对角线的长是10．分析：矩形的性质与两条对角线的夹角为60°相结合得到所需的正三角形．19．矩形ABCD的对角线相交于O，AC＝2AB，则△COD为三角形．答案：等边三角形解答：在矩形ABCD中，AO＝OC＝OB＝OD，∵AC＝2AB，∴AO＝OB＝AB，∴△COD为等边三角形．分析：矩形的两条对角线相等且平分．20．如果一个矩形较短的边长为5cm，两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是．答案：cm2解答：如下图，AB＝5cm，∠AOB＝60°，∵在矩形ABCD中，AO＝OC＝OB＝OD，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∵AB＝5cm，∴AO＝AB＝5cm，AC＝10cm，∴cm，∴这个矩形的面积为：cm2．分析：矩形的两条对角线相等且平分．三、解答题21．已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．（1）求证：△ADE≌△BCF；答案：解答：证明：∵ABCD是矩形，∴AD＝BC，OA＝OB，∠DAB＝∠CAB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠DAB－∠OAB＝∠CBA－∠OBA，即∠DAE＝∠CBF，∵E，F分别是OA，OB的中点，∴AE＝OA，BF＝OB，∴AE＝BF，∴△ADE≌△BCF（SAS）．（2）若AD＝4cm，AB＝8cm，求OF的长．答案：cm解答：解：在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝8cm，∴BC＝4cm，DC＝8cm，∴BD＝cm，∴cm，又∵F是OB的中点，∴OF＝OB＝cm．分析：矩形的两条对角线相等且平分．22．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝8cm，BC＝10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的中点F处，折痕为AE，求CE的长．答案：3cm解答：解：根据题意可得：BC＝AD＝AF＝10cm，DE＝DF，又∵在ABF中，∠ABF＝90°，∴cm，∴FC＝BC－BF＝4cm，设CE＝x，那么EF＝DE＝8－x，又∵∠C＝90°，所以即，∴x＝3，∴CE＝3cm．分析：通过翻折的性质，将所求和已知的线段转换到同一个三角形中是解题的关键．23．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°．（1）求∠2的度数．答案：30°解答：解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°，∴∠AEB＝∠EAD＝45°，∴∠2＝∠AEB－∠1＝30°．（2）求证：BO＝BE．答案：3cm解答：证明：由（1）可知∠2＝30°，∴∠BAO＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OB＝AB，∵∠AEB＝∠EAD＝∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∴BO＝BE．分析：（1）利用矩形的性质和角平分线的性质可知∠AEB＝∠EAD＝45°，那么∠2＝∠AEB－∠1＝30°；（2）通过∠2＝30°，∠BAO＝60°，证得△OAB是等边三角形，结合AB＝BE可得BO＝BE．