第二章 插值法

《计算方法》2插值法主要知识点Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值公式)；牛顿（Newton）插值及余项、差商的定义与性质;埃尔米特(Hermite)插值公式及余项；等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条插值。插值问题描述设已知某个函数关系在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数的一种简单的近似表达式,以便于计算点的函数值，或计算函数的一阶、二阶导数值。多项式插值定义

在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数个互不相同的点处的函数值，为求的近似式，自然应当选次多项式使

满足条件：插值的几何意义插值多项式的几何意义插值唯一性定理定理：(唯一性)满足的n

阶插值多项式是唯一存在的。存在唯一性定理证明设所要构造的插值多项式为：由插值条件得到如下线性代数方程组：存在唯一性定理证明(续)此方程组的系数行列式为范得蒙行列式！当

时，

D

0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一确定。插值方法一、解方程组法：类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函数为，将(n+1)个节点的函数值代入多项式里，便得到(n+1)个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机求解的方法，下面将具体介绍。拉格朗日插值公式拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为(n+1)个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。线性插值函数x0x1(x0，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可见是过和两点的直线。抛物插值函数x0x1x2p2(x)f(x)f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。N次插值函数要求：无重合节点，即设连续函数

在[a,b]上对给定n+1个不同结点：分别取函数值其中试构造一个次数不超过n的插值多项式使之满足条件

i=0,1,2,…,n一次Lagrange插值多项式(1)

已知函数在点上的值为，要求多项式，使，。其几何意义，就是通过两点的一条直线，如图所示。一次Lagrange插值多项式(2)一次插值多项式一次Lagrange插值多项式(3)由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为

它也可变形为

显然有：一次Lagrange插值多项式(4)记可以看出的线性组合得到，其系数分别为，称为节点,的线性插值基函数一次Lagrange插值多项式(5)线性插值基函数满足下述条件1001并且他们都是一次函数。注意他们的特点对下面的推广很重要一次Lagrange插值多项式(6)称

为点

的一次插值基函数，

为点

的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数

是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日（Lagrange）插值。二次Lagrange插值多项式1

线性插值只利用两对值及求得的近似值，误差较大。

p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。二次Lagrange插值多项式2以过节点的二次函数为插值函数。用基函数的方法获得其中设被插函数在插值节点处的函数值为N次插值函数1我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式，而三个插值点可求出二次插值多项式。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式，如下所示：N次插值多项式问题2已知n+1个节点处的函数值求一个n次插值函数满足N次插值多项式3构造各个插值节点上的基函数满足如下条件100001000001N次插值多项式4求n次多项式，

k=0,1,…,n则

i=0,1,2,…,n即

满足插值条件根据

的表达式，以外所有的结点都是

的根，N次插值多项式5又由

，得：

因此令N次插值多项式6从而得n阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：N次插值多项式7在[a,b]内存在,考察截断误差设节点，且f

满足条件,

存在使得。且推广：若使得使得罗尔定理:若在［］连续，在充分光滑，N次插值多项式8注：

通常不能确定x

,而是估计x(a,b)

,

将作为误差估计上限。

当

f(x)为任一个次数n

的多项式时，,可知插值多项式对于次数n的多项式是精确的。例题分析1例：已知特殊角处的正弦函数值分别为求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用插值函数近似计算，并估计误差解：一次插值函数为例题分析2误差为在所求点的函数值为误差为知例题分析3二次插值多项式为误差为所求函数值为例题分析4误差为右图中红色曲线为图形,绿色曲线为插插值函数的图形。Newton插值

求作n次多项式使得：插值问题讨论Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x)都需重新算过。TheGiant“NatureandNature'slawslayhidinnight:Godsaid,LetNewtonbe!andallwaslight.”---AlexanderPopeNewton插值的承袭性Newton插值具有承袭性的插值公式

线性插值公式可以写成如下形式：其中，其修正项的系数再修正可以进一步得到拋物插值公式其中以上讨论说明，为建立具有承袭性的插值公式，需要引进差商概念并研究其性质。差商的概念1．差商的定义定义1：设有函数f(x)以及自变量的一系列互不相等的x0,x1,…,xn

（即在ij时，xixj）的值f(xi)

,

称为f(x)在点xi,xi处的一阶差商，并记作f[xi,xj]，差商的概念(续)又称为在点处的二阶差商

称

为f(x)在点处的n阶差商。差商表xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商x0f(x0)x1f(x1)f(x0,x1)x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。差商形式的插值公式

再考虑拉格朗日插值问题：问题求作次数多项式，使满足条件，利用差商其解亦可表达为如下形式：

这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式。Newton插值容易证明牛顿插值多项式满足插值条件。由插值多项式的唯一性，得牛顿插值多项式的误差估计Newton插值(续)牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，只要再增加一项就行了，即有递推式:

例题分析Hermite插值公式Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但插值多项式在节点处与被插函数的导数不相同.为了保证插值多项式能更好地逼近，对增加一些约束条件，例如要求在某些结点处与相切，即具有相同的导数值.一、Hermite插值问题求一个次数不大于n+r+1的代数多项式，满足：------(1)48称以上的插值问题为Hermite插值问题.注意：式(1)包含n+r+2个条件，所以能够确定次数不大于n+r+1的代数多项式.二、Hermite插值公式推导令------(2)其中，都是n+r+1次待定多项式，并且它们满足以下条件：.49------(3)------(4)显然满足条件(3),(4)的多项式(2)的次数不大于n+r+1次，且满足插值条件(1).1.求解由条件(3)知是的二重零点.50且由条件(3)知是的零点.其中，A,B是待定系数即------(5)51由上述两式解得：52将A,B代入式(5)，得------(6)53其中，54------(7)将C代入式(7)，得-(8)55其中，2.求解综合(1)(2)得到即式(6),(8)由条件(4)知是的二重零点.56且由条件(4)知是的零点.-----(9)将D代入式(9)，得-----(10)57其中，由式(2)(6)(8)(10)所表示的多项式称为Hermite插值多项式其中由式(6)(8)(10)所表示的多项式称为Hermite插值基函数证明：58存在性已由上面推导，下证唯一性.反证法，设插值问题式(1)有两个不同的解令59证明：6061-----(11)62--(12)63例1.解:64作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值65高次插值的龙格现象

对代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考察函数,设将区间分为等份，表取个等分点作节点的插值多项式，如下图所示，当增大时，在两端会发出激烈的振荡，这就是所谓龙格现象。66分段插值的概念

所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步:

先将所考察的区间作一分划并在每个子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一起，作为整个区间上的插值函数，即称为分段多项式。如果函数在分划的每个子段上都是次式，则称为具有分划的分段次式。1.分段线性插值；2.分段抛物插值；3.分段低次多项式插值；原因：高次插值会发生Runge现象,逼近效果并不算太好！67

分段线性插值

满足条件具有分划的分段一次式在每个子段上都具有如下表达式：

68分段三次埃尔米特插值问题求作具有分划的分段三次式，使得成立解由于每个子段上的都是三次式，且满足埃尔米特插值条件：