第一章随机事件及概率

第一章概率论的基本概念

1理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系和运算。2理解概率的定义，掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率计算。3理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算。4理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。5掌握伯努利概型及其计算。第一节基本概念一.必然现象与随机现象在一定条件下必然发生（或必然不发生）的现象；条件不能完全决定结果，每次观察所发生的结果可能是不同的。

二.随机试验与随机事件1.随机试验随机试验具有以下三个特点：1.可以在相同条件下重复进行；2.试验结果不止一个，且可以预知一切可能的结果的取值范围；3.试验前不能确定会出现哪一个结果。

例子：：掷一个骰子，观察所掷的点数；：抽查市场某些商品的质量，检查商品是否合格；：观察某城市某个月内交通事故发生的次数；：已知某物体的长度在a和b之间，测量其长度；：对某个灯泡作实验,观察其使用寿命

2.随机事件在随机试验中，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。其特点：事前不能够预言其结果的事情。常用大写字母A,B,C等表示事件例1.1：抛一枚质地均匀的硬币

例2.1：袋中有10个大小相同的小球，编号从0到9，每次从袋中取出一球，看编号。

基本事件：试验的每一个可能的结果是事件，因为这种事件不可能再分解为更简单的事件，所以我们称这种事件为基本事件。b.复合（一般）事件：由若干基本事件复合而成。c.在一次试验中，一个事件发生当且仅当它所含的一个基本事件发生；一个事件不发生当且仅当它所含的所有事件都不发生

三、事件的集合表示，样本空间

样本点：随机试验中每一种可能的结果为一个样本点，记为：样本空间：由全体样本点组成的集合。记为：。例：

四.事件的关系与运算

1、事件的集合论定义：a.随机事件：样本空间中满足某些条件的样本点构成的子集称为随机事件，通常用A,B,C……表示；b.基本事件：只含有一个样本点的事件；c.必然事件：样本空间本身也是事件；d.不可能事件：空集中不含样本空间的任何元素，它叫不可能事件。直观意义与集合论定义比较

符号集合论解释概率论解释

空间必然事件、样本空间空集不可能事件点（元素）基本事件、样本点

A的子集A事件A是A中的点事件A发生不是A中的点事件A不发生

2.事件的包含关系

（1）事件的包含：若事件A发生必有事件B发生，即A中每个样本点都属于B,则称A包含于B,记为

（2）事件的相等：若且，则称A与B相等，记为A=B。

3、和事件事件的和（并）：事件A发生或者B发生，称为A与B的和（并）事件，记。

推广：事件至少发生其一：事件的至少发生其一：

4、交事件（积事件）事件的交(积)：事件A与B都发生，称为A与B的积（交）事件，记为。推广：事件同时发生：

事件同时发生：

5、差事件：事件A发生但B不发生称为A与B之差，记为A-B

6、互斥（不相容）事件：若事件A与B不能同时发生，称A与B为互斥事件.7、互逆事件：若且则称A与B为互逆事件.记

符号集合论解释概率论解释A是B的子集事件A发生必导致事件B发生A=B集合A与B相等两事件A与B相等A的补集A的对立事件

A与B的交集事件A与事件B同时发生A与B的和集事件A与B中至少有一个发生

A-BA与B的差集事件A发生但B不发生A与B没有公共点事件A与B互不相容

8、事件运算的基本性质交换律结合律分配律

摩根定律（对偶律）

否定律幂等律第二节随机事件的概率

一.概率的统计定义定义1.1在n次重复试验中，若事件A发生了m次，则称m为事件A发生的频数，称为事件A发生的频率，记为频率的稳定性：对于每个事件A，随着试验次数n的逐渐增大，频率逐渐稳定于某一固定常数。

概率的统计定义：在同样的条件下进行大量试验时，根据频率的稳定性，事件Ａ的频率必然稳定在某一个确定数ｐ的附近则，定义事件Ａ的概率为P(A)=p二、古典概型1、定义如果随机试验满足下述三条：(1)试验结果的个数有限，即样本空间为(2)基本事件两两互不相容(3)基本事件发生的可能性相等。我们称具有以上两特点的随机试验所对应的概率模型为古典概型

定理2.1在古典概型中，设样本空间有n个样本点，A是的事件且A中有k个样本点，则事件A发生的概率为例2.1、袋中有10个小球，4个红的，6个白的，按下述两种取法连续从袋中取3个球，分别求下列事件的概率：A=“3个球都是白的”，B=“2个红的，一个白的”.

抽取方案(1)每次抽取一个，看放回袋中；然后再抽取下一个(有放回抽样)(2)每次抽取一个，不放回袋中；然后在剩下的小球中再抽取下一个(不放回抽样)

概率计算要点给定样本点，并计算出它的总数再计算有利场合的数目

2、基本的组合分析公式

a.两条原理

乘法原理：若进行过程有种方法，进行过程有种方法，则进行过程后接着进行过程共有种方法。

加法原理

：若进行过程有种方法，进行过程有种方法，假定过程与过程是并行的，则进行过程或过程的方法共有种。

b.排列：(1)在有放回选取中，从n个元素中取出r个元素进行排列，这种排列称为有重复的排列，其总数共有种。(2)在不放回选取中，从n个元素中取出r个元素进行排列,其总数为这种排列称为选排列.当r=n时,称为全排列.(3)n个元素的全排列数为

c.组合

（1）从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组合，其总数为（2）若，把n个不同的元素分成k个部分，第一部分个，第二部分个，…,第k部分个，则不同的分法有种。（3）从n个元素中有重复地取r个，不计顺序，则不同的取法有种，这个数称为有重复组合数。例2.2麦克斯韦尔-波尔兹曼点运动问题:有m个质点，每个质点等可能地落入N个格子里（每个格子可容纳的质点数不限），试求P(A),P(B).1)A=“m个质点落入同一个格子里”；2)B=“m个质点落入不同的m个格子里”

例2.3.口袋中有a只黑球，b只白球，它们除颜色不同外其它方面无差别，现把球随机地一只只摸出来，求第k次摸出一只球是黑球的概率例2.4将15名新生随机地平均分配到三个班级中，这15名新生中有3名是优秀生。问1）每个班级各分配到一个优秀生的概率是多少？2）3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？例2.5某接待站在某一周接待过12次来访，已知所有这些接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？

四、概率定义及性质1定义2.3：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数满足下列条件（1）非负性：对于任一事件A，有（2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1（3）可列可加性：设为两两不相容(互斥)事件，则有

2、概率的一些重要性质1）2）有限可加性：设为n个两两不相容事件，则有

3）减法公式：若，则P(B-A)=P(B)-P(A),推论1.若，则推论2.对任一事件A，4）逆事件的概率:对于任一事件A，有

5）加法公式：对于任两个事件A,B，则推广：对任意n个事件,有

例2.6：设A、B为两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.5，，求例2.9：某城市共发行A,B,C三种报纸，调查表明居民家庭中订购C报的占30%，同时订购A,B两报的占10%,同时订购A,C及B,C两报的各占8%，5%，三报都订的占3%.今在该城中任找一户，问该户(1)只订A、B两报；(2)只订C报的概率各为多少？第三节条件概率一.条件概率(conditionalprobability)的定义定义.3.1设A,B为同一随机试验中的两个事件，且P(A)>0，称为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率。

例3.1：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，设事件A为“至少有一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”。求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。

定理3.1设A为一给定的事件，且P(A)>0，则关于条件概率成立（1）非负性：对任意的事件B，；（2）规范性：（3）可列可加性：若是一列两两互不相容的事件，有

定理3.2若P(A)>0，对于事件A发生下的条件概率成立(1)(2)若两两互不相容,则(3)对任意事件B，成立(4)若，则P(B-C|A)=P(B|A)-P(C|A)

(5).对任意事件B、C，成立一般地，对任意有限个事件，成立

例3.2.一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品。从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率P(B|A).

二.乘法公式定理3.3对于任意的事件A,B,若P(A)>0，则

P(AB)=P(A)P(B|A)上式称为事件概率的乘法公式。推论：设是n个事件，，且，则有例3.4.袋中有r个红球，t个白球，每次从袋中任取一球，观其颜色后放回，并再加入同颜色、同型号的小球a个。若在袋中连续取球四次，试求第一、第二次取到红球、第三次、第四次取到白球的概率.

三.全概率公式定义3.2设S为某随机试验E的样本空间，

为E中一组事件，若满足：(1)互不相容性：(2)完全性：则称为样本空间S的一个划分，或是一个完备事件组。

定理3.4设试验E的样本空间为S,A为E的事件，为E的一个划分，且，则有(全概率公式）

例3.5：某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下的数据元件制造厂次品率提供元件的分额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率。

四.贝叶斯公式定理3.5：设构成样本空间S的一个划分，且,A是任一事件,且P(A)>0,则有(贝叶斯公式）例3.6在例3.5中，在仓库中随机地取出一元件，若已知取到的是次品，为分析该次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生厂的概率分别是多少，试求这些概率选择。

例3.7对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？

第四节事件的独立性一.两个事件的独立性定义4.1：设A,B为同一样本空间中的两事件，若P(AB)=P(A)P(B),则称A与B互相独立。例4.1：一口袋中装有a只黑球，b只白球，采用有放回摸球，求：1）在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率；2）第二次摸出黑球的概率。定理4.1：若P(A)>0,则事件A,B相互独立的充分必要条件是P(B|A)=P(B)注：1）零概率事件与任何事件都是相互独立的；2）A,B相互独立，必有B,A相互独立。定理4.2：设两事件A,B互相独立，则

A与，与B，与各对事件也分别互相独立。

例4.3：甲乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.85，求每人射击一次后，目标被击中的概率。

二.多个事件的独立性定义4.2：设是n个事件，如果对其中任意两个