复变函数第2讲

复变函数

第2讲1§3复数的乘幂与方根2乘积与商设有两个复数

z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),

z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)

=r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)

+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]

=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]

于是 |z1z2|=|z1||z2| (1.3.1)

Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, (1.3.2)

3定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.4等式

Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, (1.3.2)

的意思是等式的两边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.

例如,设z1=-1,z2=i,则z1z2=-i,则5z1z2相当于将z1的模扩大|z2|倍并旋转一个角度Argz2q2q2z2q1z1z1z21Oxy6如果用指数形式表示复数:由此逐步可证,如果7按照商的定义,当z10时,有定理二两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.8如果用指数形式表示复数:定理二可简明地表示为9例1已知正三角形的两个顶点为z1=1与z2=2+i,求它的另一个顶点.

[解]如图所示,将表示z2-z1的向量绕z1旋转p/3(或-p/3)就得到另一个向量,它的终点即为所求的顶点z3(或z3’).Oxyz1=1z2=2+iz3z3’10根据复数乘法,有112.幂与根n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,

记作zn则根据(1.3.4),对任意正整数n,我们有

zn=rn(cosnq+isinnq). (1.3.7)如|z|=1,则(棣莫弗(DeMoivre)公式).(cosq+isinq)n=cosnq+isinnq. (1.3.8)12设z为己知,方程wn=z的根w称为z的n次根,如n为正整数,则一个复数的n次根不止有一个,而是有n个,这是很麻烦的事情.例如在几何上,z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点13在z已知时求方程wn=z的根w,令

z=r(cosq+isinq),w=r(cosj+isinj),

则

rn(cosnj+isinnj)=r(cosq+isinq)

于是

rn=r,cosnj=cosq,sinnj=sinq

后两式成立的充要条件为

nj=q+2kp,(k=0,1,2,).

由此14其中,r1/n是算术根,所以当k=0,1,2,…,n-1时,得到n个相异的根,而当k以其它整数值代入时,这些根又重复出现.15例2求[解]因为所以16即17四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w2w3Oxy18§4区域191.区域的概念平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆: |z-z0|<d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式0<|z-z0|<d所确定的点集为z0的去心邻域.dz020包括无穷远点自身在内且满足|z|>M的所有点的集合,其中实数M>0,称为无穷远点的邻域.

即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|z|>M的所有点称为无穷远点的去心邻域,也记作M<|z|<.M0|z|>M21设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.

如果G内的每个点都是它的内点,则称G为

开集22平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:

1)D是一个开集;

2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.区域z2z1不连通23设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.C3C2zg1g2C124区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作D.

如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|<M,则称D为有界的,否则称为

无界的.xyDO25满足不等式r1<|z-z0|<r2的所有点构成一个区域,而且是有界的,区域的边界由两个圆周

|z-z0|=r1和|z-z0|=r2构成,称为圆环域.如果在圆环域内去掉一个(或几个)点,它仍然构成区域,只是区域的边界由两个圆周和一个(或几个)孤立的点所构成z0r2r126无界区域的例子xyxyxy上半平面:Imz>0角形域:0<argz<jjab带形域:a<Imz<b272.单连通域与多连通域

平面曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组

x=x(t),y=y(t),(atb)

代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

则此曲线可用一个方程

z=z(t) (atb)

来代表.这就是平面曲线的复数表示式.28如果在区间atb上x'(t)和y'(t)都是连续的,且对于t的每一个值,有

[x'(t)]2+[y'(t)]20

这曲线称为光滑的,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线,称为按段光滑曲线.连续不连续光滑不光滑29设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足a<t1<b,at2b的t1与t2,当t1t2而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)30任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称