广东省梅州市大同中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

广东省梅州市大同中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，则

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C因为，解得可知5，选C2.设O为坐标原点，F1,F2是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，∣OP∣=a,则该双曲线的渐近线方程为A.x±y=0 B.x±y=0C.x±y=0 D.x±y=0参考答案：D不妨设，则因为，所以，所以因为在双曲线上，所以则所以，故因为，所以故，即故，解得所以双曲线的渐近线方程为，即，故选D3.已知集合A﹣{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=219，则I（a）=129，D（a）=921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A．792 B．693 C．594 D．495参考答案：D【考点】程序框图．【专题】计算题；转化思想；试验法；算法和程序框图．【分析】利用验证法判断求解即可．【解答】解：A，如果输出b的值为792，则a=792，I（a）=279，D（a）=972，b=D（a）﹣I（a）=972﹣279=693，不满足题意．B，如果输出b的值为693，则a=693，I（a）=369，D（a）=963，b=D（a）﹣I（a）=963﹣369=594，不满足题意．C，如果输出b的值为594，则a=594，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）﹣I（a）=954﹣459=495，不满足题意．D，如果输出b的值为495，则a=495，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）﹣I（a）=954﹣459=495，满足题意．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，用验证法求解是解题的关键，属于基础题．4.若不等式成立的一个充分条件是，则实数的取值范围应为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.若复数z满足，则|z|=A．

B．

C．

D．参考答案：C6.幂函数的图象过点(2,),则它的单调递增区间是(

) A．(0,＋∞)

B．[0,＋∞）

C．(－∞,0)

D．(－∞,＋∞)参考答案：C略7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．

B．

C．

D．

参考答案：C略8.若函数与在区间[1,2]上都是减函数，则的取值范围是

（

）

A．(-1,0) B．(-1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1]参考答案：D略9.已知全集U＝{0，1，2，3}且A＝{2}，则集合CUA的真子集共有（

）A．3个

B．5个

C．8个

D．7个参考答案：D10.已知命题；命题，．则下列命题中是真命题的为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】分别判断命题为真，命题为真，得到答案.【详解】取，可知，故命题为真；因为，当且仅当时等号成立，故命题为真；故为真，故选：C．【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在矩形ABCD中，

。参考答案：12考点：数量积的应用试题解析：因为所以所以所以所以所以故答案为：1212.下面有四个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π．②函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象关于直线x=π对称；③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．④把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin2x的图象．其中真命题的序号是

．（写出所有真命题的编号）参考答案：①②④【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】证明题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】根据二倍角的余弦公式，平方差公式，同角三角形函数平方关系，化简解析式，再由余弦函数的周期性，可以判断①的真假；根据正弦函数的图象和性质，可以判断②③的真假；根据函数图象的平移变换法则，可以判断④的真假；进而得到答案．【解答】解：函数y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos?x）?（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x的最小正周期是π，故①正确；函数y=sin（2x﹣）图象的对称轴方程是x=，k∈Z，当k=1时，x=，故②正确；在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点，故③错误；把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin2x的图象，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，余弦型函数的周期性，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．13.如图,已知内接于圆O，点在的延长线上，是⊙O的切线，若,,则的长为

.参考答案：614.已知数列，令，则称为的“伴随数列”，若数列的“伴随数列”的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，则实数取值范围为

．参考答案：15.个正整数排列如下：

1，2，3，4，……，n

2，3，4，5，……，n+l

3，4，5，6，……，

n+2

……

n，n+l，n+2，n+3，……，2n一1

则这个正整数的和S=

．参考答案：16.已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是．参考答案：【考点】基本不等式．【专题】不等式．【分析】由正实数x，y满足xy=3，得到y=，利用均值不等式求解．【解答】解：由正实数x，y满足xy=3，得到y=，所以2x+y=2x+．当且仅当x=时取等号．所以2x+y的最小值是．故答案为：．【点评】本题主要考查均值不等式的应用，在高考中属常考题型．17.在中，，，，则面积等于

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列的首项，为其前项和，若成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，，记数列的前项和为.若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）设的公比为.∵成等差数列，即，化简得，解得：或

由已知，

……………6分（2）由得

…………9分，当且仅当即时等号成立，

实数的取值范围是

………12分19.(本小题满分12分）已知数列的首项.（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和．参考答案：（Ⅰ）∵，，，又，，数列是以为首项，为公比的等比数列．……

6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．设…，

①则…，②由①②得

…， ．又…．数列的前项和………12分20.已知命题，命题，若为假，为真，求实数x的取值范围．参考答案：，…2分，…4分为假，为真，则一真一假…5分（1）若真假，则，…7分（2）若假真，则，…9分所以或…10分（另解请酌情给分）21.（本小题满分12分）设点P是曲线C:x2=2py（p>0）上的动点，点P到点（0,1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为。（1）求曲线C的方程；（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。参考答案：（Ⅰ）依题意知，解得.所以曲线的方程为.

……4分（Ⅱ）由题意直线的方程为：，则点联立方程组，消去得得.

……6分所以得直线的方程为.代入曲线，得.解得.

……8分所以直线的斜率.

……10分过点的切线的斜率.由题意有.解得.故存在实数使命题成立．

……12分

22.（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为棱的中点．（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结．因为四边形为正方形，所以为中点．因为为棱中点．

所以．

………………3分因为平面，平面，所以直线//平面．

………………4分

（Ⅱ）证明：因为平面，所以．

………………5分因为四边形为正方形，所以，所以平面．

………………7分

所以平面平面．

………………8分

（Ⅲ）解法一：在平面内过作直线．因为平面平面，所以平面．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．…………9分设，则．

所以，．

设平面的法向量为，则有所以

取，得．

………………11分

易知平面的法向量为．

………………12分

所以．

………………13分由图可知二面角的平面角是钝角，

所以二面角的余弦值为．

………………14分解法二：取中点，中点，连结，．因为为正方形，所以．由（Ⅱ）可得平面．因为，所以．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．

………………