初中数学北师大九年级上册（2023年修订）总复习教学设计一线三等角

1、“聚焦学科核心素养的深度教学”教学设计任教学科（黑体，小四号）：数学上课教师：黄心雨（成都七中育才学校）上课班级：盐道街中学初中部 初三 年级 九 班教学课题：初三相似复习专题“一线三等角”一、教材及学情分析（一）教材分析相似形的知识有很重要的实用价值，它与人类的生产和生活有着广泛的联系，如测量、绘图、电影、照相等都涉及相似形的知识。从研究图形的全等发展到研究图形的相似，用几何变换的观点来看，就是从研究图形的保距变换发展到研究图形的保角变换，从研究线段的相等发展到研究线段的比，这是认识上的一次深化。学生在学习了三角形和四边形之后，进一步学习相似形的知识，是对于直线形研究的继续。相似形与前面学习

2、的全等形之间既有密切的联系，又有明显的区别。全等形是相似形的特殊情况，相似形比全等形更具有一般性。所以，这一章所研究的知识实际上是前面学习的全等形问题的发展和拓广。相似形与后续的“解直角三角形”和“圆”的内容有着密切的联系，在研究三角函数的定义、与圆有关的比例线段时都要依赖相似形的知识。同时，有了全等形和相似形的知识，又可大大充实和丰富圆的研究内容。所以，相似形在学习平面几何中起着承上启下的作用。而一线三等角是一类重要的相似形。学情分析由于初三还没有进入全面的复习阶段，故学生虽然对相似三角形有了认识与了解，但是相似三角形和其他知识之间的联系方面还有待提高。特别是相似三角形在其它背景中的应用还不

3、熟练。所以在课堂中，要充分调动学生的积极性，为学生营造一个良好的学习氛围，积极引导学生自主学习、探究发现、合作交流。学生虽然对相似形和四边形、三角形等知识有一定的感性认识，但是更多的是在特定的范围内研究的，对于相似形的工具性作用，学生还不能合理运用。特别是相似三角形和其他知识的紧密结合。因此在教学中，我采取从特殊到一般，再由一般到特殊的方式。从学生已有认知入手，通过提出关键性问题，师生交流讨论、质疑，释疑等活动，逐步使学生思维走向深刻，帮助学生感悟“一线三等角”在相似三角形判定中重要作用，引导学生逐步感悟整体把握几何主线的价值与意义。经过提前对贵校（盐道街中学）初三九班的了解，了解到学生对“一

4、线三等角”有一定的了解，本节课的重点放在构造模型到深入模型，再到总结模型，并且一讲一练，来运用模型、识别模型、构造模型。课标分析根据义务教育数学课程标准对核心概念的解读：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。教学目标1.会运用两组对应

5、角分别相等的两个三角形为相似三角形的判定方法证明两个三角形相似。2.经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”图形的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本图形。3.会运用“一线三等角”转化边、角关系，进而解决相关的问题。4.会构造“一线三等角”模型，从而解决几何中的边、角问题。5.在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。四、教学内容提炼模型 = 深入模型 = 归纳模型；（从特殊到一般）识别模型 & 运用模型 = 构造模型。（层层递进，步步升华）五、教学重难点重点：1.经历提炼模型、归纳模型的过程，掌握一线三等角的特征以及基本结论。2.在不同背景中识别基本图形。3.运用

6、“一线三等角”解决相关的计算与证明问题。4.构造“一线三等角”解决问题。 难点：运用“一线三等角”解决相关的计算与证明问题。构造“一线三等角”解决问题。教学设计【引入】（设计意图：显示各年、各地中考题，体现一线三等角在中考中的重要地位与价值。）【热身抢答】（设计意图：通过热身抢答，在含有特殊角的情况下，通过对题目回答，回顾一线三等角的基本证明方法与结论。初步了解一线三等角）如图，已知BCAEF=130，请证明：BEACFE.如图，在等边DBC中，点E是BC上一点，AEF=60，请证明：BEACFE.3. 如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，AEEF，请证明：BEACFE.【提炼模型】请以小

7、组为单位交流如下问题（时间3分钟）：（设计意图：从特殊到一般提炼模型，找到模型的特征与基本结论，并且用常用的方法进行证明。）这个基本模型的特征是什么？这个模型的结论是什么？证明方法有哪些？ _【深入模型】（设计意图：由于以上模型的局限，故讨论另一种情况，从而归纳出模型的一般结论）小组讨论：当三个等角不在同一侧时，还有没有类似的结论？（设计意图：运用几何画板，让学生感知深入模型的产生原理，并且通过小组讨论，让每一个学生参与其中）问题1：当DCF=CBA=FEA=90时，请证明ABEECF；问题2：若DCF=CBA=FEA为锐角时，结论是否仍然成立？如何证明？如果为钝角时呢？_【归纳模型】思考：三

8、个等角的顶点有没有共同特征？（设计意图：通过对模型的归纳，得到它的一般特征，为接下来的应用做好铺垫，模型的深入认识与归纳是为了做到以不变应万变）_【应用模型】典例探究例1（设计意图：例1是模型的一个简单应用，通过相似转化边、角）例1. 在等腰三角形ABC中，BAC=120，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=30，设BD= x，AE= y，求 y 关于 x 的函数关系式。【应用模型】例1.变式练习（设计意图：通过变式练习，让学生学会找相似三角形。并且题目探讨后，对做题的方法与思想进行归纳，从而提升课堂的深度）变式1. 如图，已知1=B=C，请

9、你画出相似的三角形。变式2. 如图，直线 l经过等边ABC的顶点B，ADBCEB120，请你画出相似的三角形。思考：（1）如何识别一线三等角？（2）如何运用它解决问题？_归纳总结：_【构造模型】典例探究例2（题目设计是知2角构1角，设计意图：从运用模型到构造模型，题目难度步步加深，对模型的应用深度也步步加深，同样题目探讨后，对做题的方法与思想进行归纳，从而提升课堂的深度。）例2. 在平面直角坐标系中，ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且ACB90，kACBC，k为常数且k0。（1）如图1，当A(0,2)，C(1,0)，点B在第四象限时，则点B的坐标为_；（用含k的式子来表示）（2）如图2，

10、BDy轴于点D，请判断 是否为定值？ 图2图1 思考：（1）在此题中，如何想到要用一线三等角？（2）一线三等角如何构造？_归纳总结：_【构造模型】例2.变式练习（设计意图：此题是一道非常具有讨论价值的题目，难度也大，但是能够充分体现一线三等角的价值，并且是构造里面的知1角构2角的情况。同样题目探讨后，对做题的方法与思想进行归纳，从而提升课堂的深度。）例2. 如图，已知反比例函数 的图象经过点A（3，4），若在该图象上有一点P，使得AOP45，则点P的坐标是？思考：（1）如何想到要用一线三等角？（2）一线三等角如何构造？_归纳总结：_【课堂小结】:_【课后思考】（设计意图：一题多解、一法多用，培养学生的发散性思维）思考1. 例2变式还有其他方法吗？思考2. 如图，ABC中，BAC90，ABAC，点D为BC边上一点，且CD3BD，直线l经过点D，作AMl于M，BNl于N，若AM3，BN2，则MN_七、作业设计：思考题1与思考题2八、小结：（让学生来说，让学生成为课堂的主