《数学分析3》教案new

PAGEPAGE60《数学分析3》教案授课时间2006.10.17第10次课授课章节第十七章第二节第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3华东师范大学主编《数学分析（上、下册）》（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)理解一阶全微分形式不变性(2)掌握方向导数与梯度的定义(3)掌握方向导数与梯度的计算教学重点，难点：重点：方向导数与梯度的定义难点：一阶全微分形式不变性,方向导数的定义教学内容：一阶微分形式不变性一阶微分有个很重要性质——形式不变性。在多元函数中也有类似的性质。设是二元可微函数，如果是自变量，则：（各自独立数值）如果不是自变量而是中间变量，又设都可微，并且可以构成复合函数，那么：《数学分析3》教案由（1），（2）的可知一阶微分形式的不变性。注:（1）两阶微分没有这一性质，如下例例1设则如果二阶微分有形式不变性，则有：但（2）利用一阶微分形式不变性求偏导数例2设利用微分形式不变性求并求出§3方向导数与梯度一方向导数：（一）、方向导数的定义：定义设三元函数在点的某邻域内有定义.为从点出发的射线.为上且含于内的任一点,以表示与两点间的距离.若极限存在,则称此极限为函数在点沿方向的方向导数,记为或、.《数学分析3》教案对二元函数在点,可仿此定义方向导数.易见、和是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数.例1=.求在点处沿方向的方向导数,其中（1）为方向;（2）为从点到点的方向.解（1）为方向的射线为.即.,.因此,（2）从点到点的方向的方向数为方向的射线为.,;.因此,（二）、方向导数的计算:定理:若函数在点可微,则在点处沿任一方向的方向导数都存在,且++,其中、和为的方向余弦.对二元函数,+,其中和是的方向角.注:由++《数学分析3》教案=(,,(,,),可见,为向量,,在方向上的投影.例2(上述例1)解（1）的方向余弦为=,=,=.=1,=,=.因此,=++=.（2）的方向余弦为=,=,=.因此,=.可微是方向导数存在的充分条件,但不必要.二梯度(陡度):（一）、梯度的定义:,,.|=.易见,对可微函数,方向导数是梯度在该方向上的投影.（二）、梯度的几何意义:对可微函数,梯度方向是函数变化最快的方向.这是因为|.其中是与夹角.可见时取最大值,在的反方向取最小值.（三）、梯度的运算:1.2(+)=+.3()=+.《数学分析3》教案4.5()=.证:4,..总结：的方向表示数量场在分三元沿此方向的方向导数达到最大；的根长就是这个最大的方向导数。《数学分析3》教案复习思考题、作业题：17.31,3,7下次课预习要点泰勒公式与极值问题实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字年月日

《数学分析3》教案授课时间2006.10.19第11次课授课章节第十七章第四节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3华东师范大学主编《数学分析（上、下册）》（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义(2)掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明教学重点，难点：重点：二元函数的高阶偏导数与泰勒公式难点：二元函数的泰勒公式教学内容：一、高阶偏导数:类似于一元函数的高阶导数，可以定义高阶偏导数。就二元函数而论，如果的两个偏导数,都存在，它们就是关于的二元函数。还可以讨论它们关于的偏导数，如果它们关于的偏导数存在，或者关于的偏导数存在，就称这些偏导数是二阶偏导数。如此以来,二元函数的二阶偏导数就有四种情形:.类似的可定义更高阶的偏导数.例1求二阶偏导数和.例2.求二阶偏导数.注混合偏导数由于求导次序的不同,可能会不同.《数学分析3》教案例3求函数在原点的二阶偏导数.但在满足一定条件下,混合偏导数与求导次序无关.定理17.7设二元函数的两个混合偏导数，在(，)连续，则有(,)=(,).复合函数的高阶偏导数一定注意中间变量仍然是自变量的函数,因变量仍然是中间变量的函数.例4.求和.利用变量变换和高阶偏导数可以验证或化简偏微分方程:例5.证明+.(Laplace方程)例6

试确定和,利用线性变换将方程化为.解,.

=+++=+2+.=+++=++.=++.因此,+(+.令,或《数学分析3》教案或……,此时方程化简为.二、中值定理：定理设二元函数在凸区域D上连续,在D的所有内点处可微.则对D内任意两点D,存在,使.证:令然后利用一元函数的中值定理.推论若函数在区域D上存在偏导数,且,则是D上的常值函数.三、Taylor公式:定理(Taylor公式)若函数在点的某邻域内有直到阶连续偏导数,则对内任一点,存在相应的,使证略例1求函数在点的Taylor公式(到二阶为止).并用它计算《数学分析3》教案复习思考题、作业题：1(2)(3)(6)(7),3,7(1)(4)下次课预习要点多元函数的极值实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字年月日《数学分析3》教案授课时间2006.10.24第12次课授课章节第十七章第四节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3华东师范大学主编《数学分析（上、下册）》（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．(2)掌握二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．教学重点，难点：重点：二元函数的极值的必要条件与充分条件难点：判别二元函数的极值问题教学内容：一极值（一）、极值的定义:注意(1)只在内点定义极值,(2)极值是局部概念.（二）、极值的必要条件：与一元函数比较.定理设为函数的极值点.则当和存在时,有=.极值的候选点：函数的稳定点、不可导点。（三）、极值的充分条件:代数准备:给出二元(实)二次型.其矩阵为.1是正定的,顺序主子式全,《数学分析3》教案是半正定的,顺序主子式全;2是负定的,,其中为阶顺序主子式.是半负定的,.3<0时,是不定的.充分条件的讨论设函数在点某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor公式,有++.令,,,则当为驻点时,有.其中.可见式的符号由二次型完全决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse矩阵.于是由上述代数准备,有1,为(严格)极小值点;2,为(严格)极大值点;3时,不是极值点;4时,可能是极值点,也可能不是极值点.综上,有以下定理:定理设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数,是驻点.则1时,为极小值点;2时,为极大值点;3时,不是极值点;4时,可能是极值点,也可能不是极值点.《数学分析3》教案例1求的极值.例2讨论是否存在极值.例3讨论是否存在极值.二最值最值是一个整体概念.最值的候选点是稳定点,无偏导数点,区域的界点.例4求函数在域D=上的最值.解令解得驻点为..在边界上,,驻点为,;在边界上,,没有驻点;在边界上,,驻点为,.又.于是,..最值还经常用于解决实际问题.例5证明:圆的所有外切三角形中,以正三角形的面积为最小.例6(最小二乘法问题)设通过观测或实验得到一列点.它们大体上在一条直线上,即大体上可用直线方程来反映变量与之间的对应关系(参见图17-9).现要确定一直线使得与这个点的偏差平方和最小(最小二乘方).《数学分析3》教案复习思考题、作业题：8(3),9(2),11下次课预习要点隐函数的存在性定理实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字年月日《数学分析3》教案授课时间2006.10.26第13次课授课章节第十八章第一节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3华东师范大学主编《数学分析（上、下册）》（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；(2)掌握隐函数定理的证明教学重点，难点：重点：隐函数定理难点：隐函数定理的严格证明教学内容：一、隐函数概念隐函数是表达函数的又一种方法.显函数：表达式大多是自变量的某个算式，例如，等等.但还有另外一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定,我们把这种函数称为隐函数.定义：设，，函数.对于方程，（1）若存在集合，，使得对于任何，恒有唯一确定的，它与一起满足方程（1）.则称由方程（1）确定一个定义在上，值域含于的隐函数.若把它记为，，则成立恒等式，.《数学分析3》教案注1显函数与隐函数没有明显的界限.如是显函数，但是隐函数.例1方程能确定一个定义在上的隐函数.如果从方程中把解出，这个函数也可表示为显函数形式：.例2圆方程能确定一个定义在上，函数值不小于的函数；又能确定另一个定义在上，函数值不大于的函数.注2确定隐函数必须三个基本条件：确定它的方程，变量的取值范围，变量的取值范围.问：是否所有的方程都可以确定隐函数？是否隐函数都可以有显函数形式？例3方程，当时，不能确定任何函数，使得，只有当时，才能确定隐函数.例4方程能确定定义在上的函数，使得.但这个函数却无法用的算式来表达.注3一个方程可能确定隐函数，如例1、2、4，也可能不确定隐函数，如例3；一个方程可能确定一个隐函数，如例1、4，也可能确定二个（或多个）隐函数，如例2；一个方程确定的隐函数可能是初等函数，如例1、2，也可能不是初等函数，例4说明隐函数包含非初等函数，从而给出了表示函数的新方法，扩大了研究函数的范围.问：在什么条件下，方程能确定出隐函数？唯一？隐函数有什么解析性质？换言之，对于隐函数，主要研究两个问题:(1)隐函数的存在性；(2)隐函数的解析性质.二、隐函数存在性条件的分析（i）由于满足方程的点集可看作曲面与坐标平面的交集,所以方程(1)能确定一个函数,至少要求该交集非空,即存在点,使.(ii)方程（1）能在点附近确定一个连续函数，表现为上述交集是一条通过点的连续曲线段，但有交点，未必有交线.例如,曲面与平面有一个交点,但没有一条相交的直线.对此看出,之所以曲面在点与平面相交但没有相交的直线,其主要原因是曲面在点的切平面恰好是平面.由此,容易猜想到,如果曲面在平面上的点相《数学分析3》教案交且曲面在这点的切平面与平面有一定的角度(即切平面不与平面平行),从而曲面在点的某邻域内穿过平面,于是有交线或.根据全微分的集合意义,要是曲面的切平面不与平面平行,只需.(2)(iii)要求隐函数（或）在点可微,则在为可微的假设下,通过对(1)在点处对求导,依链式法则,有,当时,,当时,,由此,条件(2)不仅对于隐函数的存在性,对于隐函数的求导同样重要.三、隐函数定理定理18.1(隐函数存在唯一性定理)若满足下列条件:(i)函数在以为内点的某一区域上连续;(ii)(通常称这一条件为初始条件);(iii)在内存在连续的偏导数;(iv).则在点的某邻域()内,方程唯一地确定一个定义在某区间内的隐函数,使得,时()且. 函数在区间内连续.证明:先证隐函数的存在性与唯一性.由条件(iv)，不妨设（若，则可讨论）.由条件（ii）在内连续，由连续函数的局部保号性，存在点的某一闭的方邻域，使得在其上每一点处都有.因而，对每个固定的《数学分析3》教案,作为的一元函数,必定在上严格增且连续.由初始条件(ii)可知,.再由的连续性条件(i),又可知道与在上也是连续的.由此由保号性存在,当时恒有,,在矩形的边上取负值,在边上取正值.因此对内每个固定值,同样有,.根据前已指出的在上严格增且连续,由介值性保证存在唯一的,使得.由在中的任意性,这就确定了一个隐函数,它的定义域为,值域含于.若记,则满足结论的各项要求.若还存在另一个隐函数,使得,又,由对固定的关于严格递增知，.再证明的连续性.对于内的任意点,则由上述结论可知.任给,且设,使得,从而,.由保号性存在的某邻域,使得当属于该邻域时同样有,因此存在惟一的,使得,.由于的惟一性,推知.这就证得:当时,即在连续.由的任意性,证得在内处处连续.《数学分析3》教案注4定理中,条件(i)和（iii）表明曲面是光滑的;条件（ii）表明曲面和坐标平面有一个交点;条件(iv)表明在点的附近对固定的,沿的正向,曲面是严格单调的.定理的结论表明在点的附近曲面和坐标平面有惟一一条连续曲线.注5定理的条件是充分的.例如方程在不满足(iv),但仍能确定惟一的连续函数.但不满足(iv),往往使结论不成立.例如:,由于,与连续故满足(i)（ii）（iii）,但因,致使在的无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一隐函数.注6定理证明过程中主要利用了连续函数的局部保号性,单调性及介值性定理等.由证明过程可知,条件（iii）(iv)只是用来保证存在的某一邻域,在此邻域内关于变量是严格单调的,因此如果只要定理的结论成立,条件可减弱为在的某一邻域内关于变量是严格单调的.注7若把条件（iii）(iv)改为:连续,且,则结论是存在惟一的连续函数.注8定理的结论是局部性的,即在点的某邻域内由方程可以唯一确定一个连续函数.定理的局部性还反映在下面一点:如果上述邻域不足够小的话,隐函数定理可能不成立.《数学分析3》教案复习思考题、作业题：思考题:由方程确定的隐函数在什么条件下是可微的呢?1，2下次课预习要点隐函数可微的条件隐函数组存在的条件实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字年月日《数学分析3》教案授课时间2006.10.31第14次课授课章节第十八章第一节第二节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3华东师范大学主编《数学分析（上、下册）》（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)学会隐函数求导法(2)掌握隐函数组存在的条件，学会隐函数组求导法．教学重点，难点：重点：学会隐函数求导法，隐函数组存在定理难点：隐函数及隐函数组求导法教学内容：问:由方程确定的隐函数在什么条件下是可微的呢?定理18.2设函数满足隐函数存在唯一性定理的条件,又设在内存在且连续,则隐函数在区间内可导,且.证设与都属于,它们所对应的函数值与都含于内.由于,因此由、的连续性以及二元函数中值定理,有《数学分析3》教案其中.因而注意到上式右端是连续函数、与的复合函数,而且在内不等于零,故有且在内连续.注9定理18.2告诉我们隐函数的导数可以用公式来求.通过隐函数存在条件的分析我们还可以知道隐函数的导数的另一种求法:若已知方程确实存在连续可微的隐函数,则可用复合函数求导法则对方程求导:(*)得到.还可以用一阶微分形式不变性来求:对微分:.问:隐函数的高阶导数该如何求?对于隐函数的高阶导数可以用上面同样的方法来求,只是必须注意即及各阶导数是复合函数.对(*)求导可解出隐函数的二阶导数.更高阶的类似.例1验证方程在点满足隐函数存在唯一性定理的条件,并求隐《数学分析3》教案函数的导数.解因为(i)在全平面上连续;(ii);(iii),在全平面上连续;(iv),所以在附近可以确定隐函数,且其导数:.例2.其中为由方程所确定的隐函数.求.分析:要求,根据复合函数的求导法则可得,而对于是由方程所确定的隐函数的一阶导数,因此对方程直接关于求导:即将上式代入即可.例3(反函数存在性及其导数)设函数在点的某邻域内有连续的导函数,且,.用隐函数定理验证存在反函数,并求反函数的导数.解考察方程,由于(i)连续;(ii);(iii),连续;(iv),所以在附近可以确定隐函数,且其导数:.四元隐函数的存在性定理定理18.3若(i)函数在以为内点的某一区域上连续;(ii);(iii)偏导数,在内存在且连续;(iv).《数学分析3》教案则在点的某邻域()内,方程惟一地确定一个定义在的某邻域()内的元连续函数(隐函数),使得 当()时且，. 在()内有连续偏导数,而且，，…，.例4设.验证在点存在是的隐函数,并求偏导数.解由于，，处处连续，根据隐函数定理18.3,在原点附近能确定惟一连续可微的隐函数,且可求的它的偏导数如下:,.§2隐函数组一、隐函数组概念设和为定义在区域上的两个四元函数.若存在平面区域,对于中每一点,分别有区间和上惟一的一对值,,它们与一起满足方程组(1)则说方程组(1)确定了两个定义在上,值域分别落在和内的函数.我们称这两个函数为由方程组(1)所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为,则在上成立恒等式.《数学分析3》教案为了探索由方程组确定隐函数组所需要的条件,不妨假设方程组中的函数是与可微的,且由方程组所确定的两个隐函数也是可微的,则通过对方程组关于分别求导数,得到,.要想从上两式中分别解出与,与,其充分条件是它们的系数行列式不为零,即(*).上式左边的行列式称为,函数关于变量的函数行列式(或雅可比行列式),亦可记作.(*)式在隐函数组定理中所起的作用,与定理18.1中的条件(iv)相当。二、隐函数组定理定理18.4(隐函数组定理)若(i)与在以点为内点的区域内连续;(ii)(初始条件);(iii)在内,具有对各个变量的一阶连续偏导数;(iv)在点不等于零.则在点的某一(四维空间)邻域()内,方程组(1)惟一确定了定义在的某一(二维空间)邻域()内的两个二元隐函数,使得且当 ,且当时,.; ,在内连续;,在内有一阶连续偏导数,且《数学分析3》教案,,,.注1隐函数组定理的条件也是存在隐函数组的充分条件;隐函数组定理也是一个局部性定理.注2在定理18.4中,若将条件(iv)改为,则方程组所确定的隐函数组相应是,;其他情形均可类似推出.总之,由方程组定义隐函数组及隐函数组求导时,应先明确哪些变量是自变量,哪些是因变量,然后再进行有关运算和讨论.注3由方程组确定的隐函数组的导数除了用公式之外,还可以直接对方程组关于变量求导,然后求解.例1设，，及，证明:.证方程组确定了函数组，先求这个函数组对各变元的偏导数，为此，对方程组求微分得，即故将函数组代入方程，得关于变元的方程，在这方程两边分别对求偏导，得《数学分析3》教案将上面三式分别乘以后再相加，得将，，代入即得.例2讨论方程组在点近旁能确定怎样的隐函数组,并求其导数.例3在方程，作变换：,求代换后的方程.解把看作中间变量的函数,而又是自变量的函数,则,,,,代入原式:,所以新自变量下的方程换为.《数学分析3》教案复习思考题、作业题：18.13(2)(4)(6),418.22(2),4下次课预习要点隐函数（组）的几何应用实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字年月日《数学分析3》教案授课时间2006.11.2第15次课授课章节第十八章第二节第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3华东师范大学主编《数学分析（上、下册）》（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)掌握反函数组存在的条件，学会反函数组求导法．(2)能够写出平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程以及曲面的切平面与法线方程教学重点，难点：重点：隐函数（组）的几何应用难点：反函数组求导教学内容：反函数组和坐标变换:设函数组(9)是定义在平面点集上的两个函数,对每一点,由方程组(9)有平面上惟一的一点与之对应.我们称方程组(9)确定了到的一个映射(变换),记作.这时映射(9)可写成如下函数形式:或写成点函数形式,,并称为映射下的象,而则是的原象.记在映射下的象集为.《数学分析3》教案反过来,若为一一映射(即不仅每一原象只对应一个象,而且不同的原象对应不同的象).这时每一点,由方程组(9)都有惟一的一点与之相对应.由此所产生的新映射称为映射的逆映射(逆变换),记作,即或亦即存在定义在上的一个函数组(10)把它代入(9)而成为恒等式:(11)这时我们又称函数组(10)是函数组(9)的反函数组.关于反函数组的存在性问题,其实是隐函数组存在性问题的一种特殊情形,这只需把方程组改写成(9),(12)并将定理18.4应用于(12),便可得到函数组(9)在某个局部范围内存在反函数组的下述定理:定理18.5(反函数组定理)设函数组(9)及其一阶偏导数在某区域上连续,点是的内点,且,,则在点的某一区域内存在惟一的一组反函数组(10),使得,且当时,有以及恒等式(11).此外,反函数组(10)在内存在连续的一阶偏导数,且,,注4互为反函数组的Jacobi行列式互为倒数.《数学分析3》教案对于函数组,,在相应定理18.5的条件下所能确定出的反函数组为,,它们是三维空间中直角坐标与曲面坐标之间的坐标变换.下面的两个例子就是我们经常用的两个重要的坐标变换.例4平面上的点的直角坐标与极坐标之间的坐标变换公式为,求其反函数组.解：由于，所以除原点外，在一切点上由函数组所确定的反函数组是，.例5直角坐标与球坐标之间的变换公式为,求其反函数组.解由于所以在及除去轴上的一切点,由上方程组可确定出为的函数,即，.《数学分析3》教案§3几何应用一、平面曲线的切线与法线:由《数学分析》上册知,平面曲线在点的切线和法线分别为,.设平面曲线由方程(1)给出,它在点的某邻域内满足隐函数定理条件,于是在附近所确定的连续可微隐函数(或)和方程(1)在附近表示同一曲线.由隐函数定理可知.所以在处存在切线和法线,其方程分别为,.例1求Descartes叶形线在点处的切线和法线.二、空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示）本段主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。（一）、参数方程的情形设空间曲线的参数方程为其中的参数.又设都在连续，并且对每一不全为，这样的曲线称为光滑曲线.几何意义：表示通过曲线上两点的割线的方向向量，令，即点得《数学分析3》教案通过点时，的极限位置就是曲线在点的切向量，即.有了切向量，就可写出曲线在任一点的切线方程：法平面：过点可以作无穷多条切线与切线垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线L在点处的法平面，其方程为：.例2求螺旋线：，（其中为常数）在点的切线方程和法平面方程.（二）、空间曲线是用两个曲面的交线表示的，如何求切向量？设有一个方程组（两个曲面方程的联立），又设关于有连续的偏导数，点满足方程组：，，并且的Jacobi矩阵.在点的秩为2，不妨设.由方程组的隐函数组存在定理知道，在点的某一邻域内，由方程组可以确定唯一的一组连续可微函数，.从几何上看，即曲面和在点的近处确定了一条光滑的曲线（两曲面的交线），其方程为： ，，，此处是参数，该切线的切向量是,其中的求法可以用上节求法（方程组确定的隐函数求导法求出）；.《数学分析3》教案由(一)参数形式曲线的切线方程与法线方程的推导过程可知,曲线在的切线方程与法平面方程分别为,.同样可推出:当或在处不等于零,曲线在的切线方程与法平面方程仍分别为上式的形式.由此可见,当,,不全为零,它们是空间曲线在在的切线的方向数.例3求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线方程和法平面方程.三、曲面的切平面和法线（一）、的情形若光滑曲面S的方程是，为曲面上一点，过点任做一条在曲面上的曲线，设其方程为：，，.则切平面方程：；过点并与切线平面垂直的直线，称为曲线在点的法线，方程为：。（二）、：，切平面方程：,《数学分析3》教案法线方程：.（三）、曲面方程由方程组给出：，，是参数，并假定Jacobi矩阵的秩为2.法线方程：.例4求椭球面在点处得切平面方程和法线方程.解设.由于,,在全空间上处处连续,在点处,,.因此切平面方程,即和法线方程.《数学分析3》教案复习思考题、作业题：18.23(2),5(1)18.31,2(2),3(1),4下次课预习要点条件极值实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字年月日《数学分析3》教案授课时间2006.11.7第16次课授课章节第十八章第四节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3华东师范大学主编《数学分析（上、下册）》（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)了解拉格朗日乘数法的证明(2)掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．(3)用条件极值的方法证明或构造不等式．教学重点，难点：重点：用拉格朗日乘数法求条件极值难点：多个条件的的条件极值问题教学内容：一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点到一曲面的最短距离问题，就是这种情形。我们知道点到点的距离为.现在的问题是要求出曲面上的点使为最小.即问题归化为求函数在条件下的最小值问题.又如，在总和为C的几个正数的数组中，求一数组，使函数值为最小，这是在条件的限制下，求函数的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.《数学分析3》教案例1要设计一个容积为的长方体形开口水箱.确定长、宽和高,使水箱的表面积最小.分别以、和表示水箱的长、宽和高,该例可表述为:在约束条件之下求函数的最小值.条件极值问题的一般形式是在条件组限制下，求目标函数的极值.对这种问题的解法有:化为无条件极值.例1由解出,并代入函数中,得到,然后按,求出稳定点,并有,最后判定在此稳定点上取的最小面积.然而,在一般情形下条件组中解出个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.二、条件极值的必要条件设在约束条件之下求函数的极值.当满足约束条件的点是函数的条件极值点,且在该点函数满足隐函数存在条件时,由方程决定隐函数,于是点就是一元函数的极限点,有.代入,就有,即,亦即(,),).可见向量(,)与向量,)正交.注意到向量,)也与向量,)正交,即得向量(,)与向量,)线性相关,即存在实数,使(,)+,).《数学分析3》教案亦即三、Lagrange乘数法:由上述讨论可见,函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组的解.引进所谓Lagrange函数,(称其中的实数为Lagrange乘数)则上述方程组即为方程组下面以三元函数,两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况.例2求函数在条件下的极值。解令,,,得,（1）又,（2）,（3）由（1）得，,当时得，故得，代入（2）（3）式得,.解得稳定点，.由对称性得，也是稳定点.《数学分析3》教案四、用Lagrange乘数法解应用问题举例:例3用拉格朗日乘数法重新解决:求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积.解这时所求的问题的拉格朗日函数是对求偏导数,并令它们都等于0:求上述方程组的解,得.依题意,所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值.由上可知,当高为,长与宽为高的2倍时,表面积最小.最小值.例4抛物面被平面截成一个椭圆.求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离.例5求函数在条件.下的极小值;并证明不等式,其中为任意正常数.解设拉格朗日函数为.对求偏导数,并令它们都等于0,则有由上述方程组的前三式,易得.从而函数的稳定点为,.《数学分析3》教案为了判断是否为所求条件极(小)值,我们可把条件看作隐函数(满足隐函数定理条件),并把目标函数看作与的复合函数.这样,就可应用极值充分条件来做出判断.为此计算如下:,,,.当时,,.由此可见,所求得的稳定点为极小值点,而且可以验证是最小值点.这样就有不等式.令,则,代入上不等式有或.注用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的一般步骤如下:(1)根据问题意义确定目标函数与条件组.(2)作拉格朗日函数,其中的个数即为条件组的个数.(3)求拉格朗日函数的稳定点,即通过令,求出所有的稳定点,这些稳定点就是可能的极值点.(4)对每一个可能的条件极值点,据理说明它是否确实为条件极值点.如果已知某实际问题或根据条件确有极值,而该问题的拉格朗日函数又只有一个稳定点,且在定义域的边界上(或逼近边界时)不取得极值,则这个稳定点就是所求的条件极值点.否则,还需要采用无条件极值的充分条件来判定.《数学分析3》教案复习思考题、作业题：1(2),2(2)下次课预习要点含参量正常积分实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字年月日《数学分析3》教案授课时间2006.11.9第17次课授课章节第十九章第一节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3华东师范大学主编《数学分析（上、下册）》（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明(2)熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．教学重点，难点：重点：含参量正常积分定义级其性质难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性教学内容：一、含参量正常积分的概念定义设二元函数在矩形区域上有定义，且对内每一点，函数关于在闭区间上可积，则定义了的函数，（1）设二元函数在区域上有定义，函数，为上的连续函数，且对内每一点，函数关于在闭区间上可积，则定义了的函数，（2）称（1）和（2）为含参量的正常积分．类似可定义含参量的正常积分．问1含参量积分是积分还是函数？它与已学过的积分有什么联系？答含参量积分在形式上是积分，但积分值随参量的取值不同而变化，因此实质上是一个函数。《数学分析3》教案即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，而不定积分是满足一定条件的一族函数，定积分表达的则是一个数。如果将常数看作常值函数，则定积分成为含参量正常积分的特殊情形。含参量积分实质上是函数，它提供了构造新函数的一种方法。以前学过的函数出了表示成因变量是自变量的表达式外，还有变限积分表示、函数项级数表示、函数列表示、用函数方程或隐函数等等.二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性（一）、连续性定理19.1(连续性)若二元函数在矩形区域上连续，则函数在上连续．分析设，对充分小的，有（若为区间端点则考虑或），要证在上连续,只须证在任意上连续,只须证,当时,,即,当时,.要使上式成立，只须.由在上连续，从而一致连续可得结果.（同理，若二元函数在矩形区域上连续，则函数在上连续．）定理19.1的结论可写成：若二元函数在矩形区域上连续,,(极限运算与积分运算交换顺序).定理19.2(连续性)设二元函数在区域上连续，其中函数，为上的连续函数,则函数，（6）在上的连续．分析已知定理19.1成立,要证定理19.2,要先进行变量变换,将化为的形式.对用换元积分法,令,当在与之间取值时,在上取值,且,代入得由于被积函数在上连续,由定理19.1即得结论.（二）、可微性《数学分析3》教案定理19.3(可微性)若函数与其偏导数都在矩形区域上连续，则函数在上可微，且.分析要证结论成立,只需证利用函数与其导数之间的桥梁－拉格朗日中值定理,利用连续即可.定理19.4(可微性)若函数与其偏导数都在矩形区域上连续，，为定义在上其值含于的可微函数，则在上可微，且.（7）证明把看作复合函数：,其中，,由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有.（三）、可积性定理19.5(可积性)若二元函数在矩形区域上连续，则函数和分别在和上可积．证明由和的连续性即知.定理19.6(可积性)若二元函数在矩形区域上连续，则.《数学分析3》教案复习思考题、作业题：1．根据本节的各定理，在一般的区间上含参量的正常积分的分析性质有些什么样的结论？2．能否找出更弱的条件使本节的某些定理仍成立，可否给予证明？下次课预习要点含参量正常积分分析性质应用含参量反常积分的一致收敛实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字年月日《数学分析3》教案授课时间2006.11.14第18次课授课章节第十九章第一节第二节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3华东师范大学主编《数学分析（上、下册）》（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用(2)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法教学重点，难点：重点：（1）掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用（2）含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法难点：含参量反常积分的一致收敛的狄里克雷判别法和阿贝尔判别法教学内容：应用举例例1求.解记，由于，，连续，由定理19.2知在连续,所以.例2计算积分.解考虑含参量积分.显然,且函数在上满足定理19.3的条件,于是《数学分析3》教案,所以另一方面，所以.例3设在的某个邻域内连续，验证当充分小时，函数的各阶导数存在，且.解及其偏导数在原点的某方邻域内连续，与是由定理19.4可得.同理.如此继续下去,求得阶导数为.特别当时有,故.例4求.解因为，,所以.由于函数在上满足定理19.6的条件,所以交换积分顺序得到.注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求出提供了方便.《数学分析3》教案§2含参量反常积分定义设函数定义在无界区域上，若对内每一个固定的，反常积分都收敛，则它的值定义了上一个的函数，记，.（1）称（1）式为定义在上的含参量的无穷限反常积分.对内每一个固定的，反常积分都收敛，即换句话说,对,总存在,当时,有。一般来说,对区间上所有的无限多个,就对应无限多个,这无限多个不一定存在上界,即不一定存在通用的,当时,对区间上所有的,都有.如果无限多个存在上界,就有含参量无穷积分的一致收敛.一、一致收敛概念及其判别法（一）、一致收敛的定义定义1若含参量的反常积分（1）与函数对任给的正数，总存在某个实数，使得当时，对一切，都有，即，则称含参量的反常积分（1）在上一致收敛于.定义含参量的反常积分（1）在上不一致收敛于:,有.（二）、一致收敛的柯西准则定理19.7含参量的反常积分（1）在上一致收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在某个实数，使得当时，对一切，都有.《数学分析3》教案例1证明参量的反常积分在上一致收敛（其中），但在上不一致收敛.证令，，其中，由于收敛，故对任给的，总存在正数，使当时就有.取，则当时，对一切，有，所以在上一致收敛．再证在上不一致收敛．按定义只要证明：存在某一正数，使对任何实数，总相应地存在某个及某个，使得.因收敛，故对任何正数与，总相应地存在某个，使得，即有，令,则可得.所以在上不一致收敛．（三）、一致收敛的充要条件定理19.8含参量的反常积分（1）在上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列（其中），函数项级数在上一致收敛．《数学分析3》教案证[必要性]由（1）在上一致收敛，故对任给的正数，必存在，使当时，对一切总有，（8）又由，所以对正数，存在正整数，只要时，就有．由（8）对一切，就有，这就证明了级数(7)在上一致收敛.[充分性]略（四）、一致收敛的判别法设有函数，使得，，，若收敛，则在上一致收敛．（五）、一致收敛的狄利克雷判别法(i)对一切实数，含参量的反常积分对参量在上一致有界，即存在正数，对一切及一切，都有；(ii)对每一个，函数关于是单调递减且当时，对参量，一致地收敛于0，则含参量的反常积分在上一致收敛．（六）、一致收敛的阿贝尔判别法（ⅰ）设在上一致收敛；（ⅱ）对每一个，函数关于是单调函数，且对参量，在上一致有界，则含参量的反常积分在上一致收敛．例2证明含参量的反常积分在上一致收敛．证由