广东省梅州市兴宁宁中中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析

广东省梅州市兴宁宁中中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图象沿x轴向右平移个单位，所得图像关于y轴对称，则a的最小值为A．

B．

C．

D．参考答案：B2.设点M（x1，f（x1））和点N（x2，f（x2））分别是函数f（x）=sinx+x3和g（x）=x﹣1图象上的点，且x1≥0，x2≥0，若直线MN∥x轴，则M，N两点间的距离的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导函数f′（x），根据题意可知f（x1）=g（x2），令h（x）=sinx+x3+1﹣x，x≥0，求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为M、N两点间的最短距离．【解答】解：∵当x≥0时，f'（x）=cosx+x2＞0，∴函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增．∵点M（x1，f（x1））和点N（x2，g（x2））分别是函数f（x）=sinx+x3和g（x）=x﹣1图象上的点，且x1≥0，x2＞0，若直线MN∥x轴，则f（x1）=g（x2），即f（x）=sinx1+x13=x2﹣1，则M，N两点间的距离为x2﹣x1=sinx1+x13+1﹣x1．令h（x）=sinx+x3+1﹣x，x≥0，则h′（x）=cosx+x2﹣1，h″（x）=﹣sinx+x≥0，故h′（x）在[0，+∞）上单调递增，故h′（x）=cosx+x2﹣1≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，故h（x）的最小值为h（0）=1，即M，N两点间的距离的最小值为1，故选：A．3.在数列等于（

）A．1

B．-1

C．

D．2参考答案：B4.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C5.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝（x＋1），则对任意的m∈R，函数F（x）＝f（f（x））－m的零点个数至多有A．3个

B．4个

C．6个

D．9个参考答案：A当时,由此可知在上单调递减，在上单调递增，,且,数是定义在上的奇函数，，而时，,所以的图象如图，令,则，由图可知，当时方程至多3个根，当时方程没有根，而对任意，至多有一个根，从而函数的零点个数至多有3个.

6.在2010年某大学的小语种提前招生考试中，某中学共获得了5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须有男生参加考试．学校通过选拔定下3男2女五个推荐对象，则不同的推荐方案共有（

）种．A．20

B．22

C．24

D．36参考答案：C略7.设双曲线，离心率，右焦点．方程的两个实数根分别为，则点与圆的位置关系A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．不确定参考答案：C8.满足，且的集合的个数是（

）A．1 B．2

C．3 D．4参考答案：B略9.二项式的展开式中常数项是(

)

A．-28

B．-7

C．7

D．-28参考答案：C10.已知球的球面上有、、、四点，其中、、、四点共面，是边长为的正三角形，平面平面，则棱锥的体积的最大值为

A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的值等于________．参考答案：12.将函数y＝sin2x按向量＝(－，1)平移后的函数解析式是____________.参考答案：略13.一渔民从池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带有标记的鱼完全混合于鱼群中，十天后在从池塘里捞出50条，发现其中带有标记的鱼有2条，据此可以估计改池塘里约有_________条鱼；参考答案：750略14.已知实数x，y满足不等式组，则z=|x|+y的取值范围为

．参考答案：[﹣1，]

【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，z=|x|+y=，当M（x，y）位于D中y轴的右侧包括y轴时，平移直线：x+y=0，可得x+y∈[﹣1，2]，当M（x，y）位于D中y轴左侧，平移直线﹣x+y=0，可得z=﹣x+y∈（﹣1，]．所以z=|x|+y的取值范围为：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．15.将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为．参考答案：y=﹣2cos4x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的图象；再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为y=﹣2cos4x的图象，故答案为：y=﹣2cos4x．【点评】本题主要考查诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．16.有一种波，其波形为函数的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是___________参考答案：答案：517.已知△ABC的三边长a，b，c满足b+2c≤3a，c+2a≤3b，则的取值范围为．参考答案：【考点】解三角形．【分析】设出x=，y=，根据b+2c≤3a，c+2a≤3b变形得到两个不等式，分别记作①和②，然后根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边分别列出不等式，变形得到三个不等式，分别记作③④⑤，画出图形，如图所示，得到由四点组成的四边形区域，根据简单的线性规划，得到x的范围，即得到的取值范围．【解答】解：令x=，y=，由b+2c≤3a，c+2a≤3b得：x+2y≤3①，3x﹣y≥2②，又﹣c＜a﹣b＜c及a+b＞c得：x﹣y＜1③，x﹣y＞﹣1④，x+y＞1⑤，由①②③④⑤可作出图形，得到以点D（，），C（1，0），B（，），A（1，1）为顶点的四边形区域，由线性规划可得：＜x＜，0＜y＜1，则的取值范围为（，）．故答案为：（，）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数，），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）设P是曲线C上的一个动眯，当时，求点P到直线l的距离的最小值；（2）若曲线C上所有的点都在直线l的右下方，求实数a的取值范围.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线距离公式构造出距离关于参数的三角函数关系式，利用三角函数值域可求得的最小值；（2）根据点在直线右下方可得：；利用辅助角公式进行整理可得，从而利用三角函数范围得到关于的不等式，从而求得范围.【详解】（1）由，得到，直线普通方程为：设，则点到直线的距离：当时，点到直线的距离的最小值为（2）设曲线上任意点，由于曲线上所有的点都在直线的右下方，对任意恒成立，其中，.从而由于，解得：即：【点睛】本题考查点到直线距离最值的求解、点与直线位置关系的应用，关键是能够将极坐标方程化为普通方程，利用参数方程中的参数来构造距离或不等关系.19.(本小题满分12分)已知函数．（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）设函数在点处的切线为，直线与轴相交于点.若点的纵坐标恒小于1，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）解：（Ⅰ）当时，，，所以，当时，；当时，；所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）因为，所以处切线的斜率，所以切线的方程为，令，得.当时，要使得点的纵坐标恒小于1，只需，即.令，则，因为，所以，①若即时，，所以，当时，，即在上单调递增，所以恒成立，所以满足题意.②若即时，，所以，当时，，即在上单调递减，所以，所以不满足题意.③若即时，.则、、的关系如下表：0递减极小值递增所以，所以不满足题意.综合①②③，可得，当时，时，此时点的纵坐标恒小于1.20.（本小题满分14分）已知函数，（）（1）若函数存在极值点，求实数b的取值范围；（2）求函数的单调区间；（3）当且时，令，()，()为曲线y=上的两动点，O为坐标原点，能否使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由参考答案：

（Ⅰ），若存在极值点，则有两个不相等实数根。所以，

……………2分解得

……………3分(Ⅱ)

……………4分当时，，函数的单调递增区间为；

……………5分当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。……………7分（Ⅲ）当且时，假设使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。则且。

……………8分不妨设。故，则。，该方程有解

……………9分当时，，代入方程得即，而此方程无实数解；

…………10分当时，则；

…………11分当时，，代入方程得即，

…………………12分设，则在上恒成立。∴在上单调递增，从而，则值域为。∴当时，方程有解，即方程有解。

…………13分综上所述，对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。

………………14分21.已知函数．（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）

6分∴即∴①或②或③解得不等式①：；②：无解③：所以的解集为或．

9分（Ⅱ）即的图象恒在图