广东省揭阳市实验中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省揭阳市实验中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：答案:D2.函数的图象大致为参考答案：D3.命题“?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”的否定是（）A．?x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1 B．?x0?（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．?x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1 D．?x0?（0，+∞），lnx0=x0﹣1参考答案：A【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”的否定是?x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1；故选：A．【点评】本题考查命题的否定，基本知识的考查．4.设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（abc）的组数为（）A．2组 B．4组 C．5组 D．6组参考答案：B5.在△ABC中，E为AC上一点，，P为BE上任一点，若，则的最小值是A.9 B.10C.11 D.12参考答案：D【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：，三点共线，则：，据此有：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是12.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.定义在上的函数满足.当时,,当时,.则 （）A．335 B．338 C．1678 D．2012参考答案：B略7.在△ABC中，∠A=30°，，BC=1，则△ABC的面积等于(

)A． B． C．或 D．或参考答案：D【考点】正弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosA，a与c的值代入求出b的值，再由于b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，AB=c=，BC=a=1，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+3﹣3b，解得：b=1或b=2，则S△ABC=bcsinA=或．故选D【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．8.设全集，集合，则集合=

（▲）A．

B． C．

D．参考答案：B略9.设向量，，定义一种向量积：．已知向量，，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是A．

B．

C．

D．参考答案：D

10.曲线处的切线方程是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

。参考答案：略12.若函数在其定义域上的最小值为0，则a2b的最小值为

参考答案：13.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设以上、下底面各边中点为顶点的正四棱柱为P,以左、右侧面各边中点为顶点的正四棱柱为Q，则正方体体对角线AC1在P、Q公共部分的长度为

.参考答案：

画出图像如下图所示，根据正四棱柱的对称性可知在，公共部分的长度，也即是在内的长度，，设在，公共部分的长度为，由平行线分线段成比例和正方形的对称性得，故.

14.在展开式中，含x的负整数指数幂的项共有_____项．参考答案：4【分析】先写出展开式的通项：由0≤r≤10及5为负整数，可求r的值，即可求解【详解】展开式的通项为其中r＝0，1，2…10要使x的指数为负整数有r＝4，6，8，10故含x的负整数指数幂的项共有4项故答案为：4【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是根据通项及r的范围确定r的值15.已知是单位向量，，若向量满足，则的最大值是

.参考答案：∵||=||=1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∴的最大值==．故答案为：．

16.对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：

给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则②在中，若则③在中，其中真命题为

***

（写出所有真命题的代号）．参考答案：

①17.在△ABC中，A=30°，AB=3，，且，则=．参考答案：﹣6【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意建立直角平面坐标系，得出△ABC是直角三角形，利用坐标表示向量、，求出?即可．【解答】解：如图所示，△ABC中，A=30°，AB=3，，∴cos30°==，∴∠ABC=90°，∴BC=AC=；又，∴A（0，3），D（0，1），C（，0）；∴=（，﹣3），=（﹣，1），∴?=×（﹣）﹣3×1=﹣6．故答案为：﹣6．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分16分）若数列的前项和为，且满足等式.（1）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项，说明理由；（2）能否从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列，且使它的所有项和满足，如果这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？参考答案：19.设，函数．（Ⅰ）当时，求在内的极大值；（Ⅱ）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值.（其中是的导函数．）

参考答案：解：（Ⅰ）当时，，则，

………2分令，则，显然在内是减函数，又因，故在内，总有，所以在上是减函数

…………4分又因，

…………5分所以当时，，从而，这时单调递增，当时，，从而，这时单调递减，所以在的极大值是．

…………7分（Ⅱ）由题可知，则．

…………8分

根据题意，方程有两个不同的实根，（），

所以，即，且，因为，所以.

由，其中，可得注意到，所以上式化为，即不等式对任意的恒成立

…………10分（i）当时，不等式恒成立，；（ii）当时，恒成立，即．令函数，显然，是上的减函数，所以当时，，所以；

…………12分（iii）当时，恒成立，即．由（ii），当时，，所以

…………14分综上所述，．

…………15分

略20.已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数∴的图象经过点，b、a、c成等差数列，且?=9，求a的值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（1）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用函数的周期以及正弦函数的单调区间求解即可．（2）求出A，利用等差数列以及向量的数量积求出bc，通过三角形的面积以及余弦定理求解a即可．【解答】解：==，（1）最小正周期：由得：，所以f（x）的单调递增区间为：；（2）由可得：所以，又因为b，a，c成等差数列，所以2a=b+c，而，?=bccosA==9，∴bc=18，，∴．21.在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，BA=BS=4．（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）用余弦定理求出BD=2，从而利用勾股定理得BD⊥AD，BD⊥SD，由此能证明BD⊥平面SAD．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵∠SAD=30°，AD=SD=2，∴∠SDA=120°，SA==6，∵底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，BA=BS=4．∴cos60°=，解得BD=2，∴AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，∵SD2+BD2=SB2，∴BD⊥SD，∵AD∩SD=D，∴BD⊥平面SAD．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，2，0），S（﹣，0，3），=（3，0，﹣3），=（），=（﹣，2，﹣3），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，），设平面BCS的法向量=（a，b，c），则，取b=3，得=（0，3，2），设二面角A﹣SB﹣C的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣SB﹣C的