广东省梅州市乐育中学2023年高二数学理月考试卷含解析

广东省梅州市乐育中学2023年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若实数a，b满足，则下列关系中不可能成立的是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据题意，结合对数函数的性质，依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，实数，满足，对于，若，均大于0小于1，依题意，必有，故有可能成立；对于，若，则有，故有可能成立；对于，若，均大于1，由，知必有，故有可能成立；对于，当时，，，不能成立，故选：D．【点睛】本题考查对数函数的单调性，注意分类讨论、的值，属于中档题.

2.已知是两条不同直线,是三个不同平面,则下列正确的是（）A．若,则

B．若,则C．若,则

D．若,则参考答案：D3.在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{an}，已知a2=2a1，且样本容量为300，则对应小长方形面积最小的一组的频数为(

)A．20 B．40 C．30 D．无法确定参考答案：A【考点】频率分布直方图．【专题】等差数列与等比数列；概率与统计．【分析】根据题意等比数列前n项和频率和为1，求出小长方形面积最小一组的频率与频数即可．【解答】解：根据题意，得；等比数列{an}中，a2=2a1，∴a3=4a1，a4=8a1；∴a1+2a1+4a1+8a1=15a1=1，解得a1=；又样本容量为300，∴对应小长方形面积最小的一组的频数为300×=20．故选：A．【点评】本题考查了频率和为1与等比数列的通项公式、前n项和的应用问题，是基础题目．4.若直线过圆的圆心，则的值为 A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B略5.设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()

A．14

B．16

C．17

D．19参考答案：B6.已知平面上三点A、B、C满足，，，则的值等于

(

)A．25

B．24

C．－25

D．－24参考答案：C7.如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．对于给定的常数，给出下列命题：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个；②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：D略8.从装有2支铅笔和2支钢笔的文具袋内任取2支笔，那么互斥而不对立的两个事件是（

）

A．恰有1支钢笔；恰有2支铅笔。

B．至少有1支钢笔；都是钢笔。

C．至少有1支钢笔；至少有1支铅笔。D．至少有1个钢笔；都是铅笔。参考答案：A略9.某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤服务人员24名，今从中抽取一个容量为20的样本，采用(

)较为合适．A．简单随机抽样

B．系统抽样

C．分层抽样

D．其他抽样参考答案：C10.平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线y＝4x2的焦点坐标是________．参考答案：略12.已知集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，则A∩B=

.参考答案：{1，3}集合的交集为由两集合的公共元素构成的集合，集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，则A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．13.已知等差数列｛an｝的前n项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则＝

参考答案：100略14.若函数，且，则

▲

.参考答案：略15.在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α+cos2β=1．类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=．参考答案：2【考点】类比推理；棱柱的结构特征．【分析】由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形证明其为真命题即可．【解答】解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=，令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有cos2α+cos2β+cos2γ===2故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．16.函数的最小正周期为__________．参考答案：π【分析】由周期公式求解即可【详解】由题故答案为π【点睛】本题考查正弦函数的周期公式，熟记公式是关键是基础题17.下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有_____________；参考答案：2对于（1）、平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；（2）是对的；（3）是错的；（4）是对的

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题14分）数列满足，.（I）求数列的通项公式；（II）证明：；（III）证明：.参考答案：解：由得，猜想：下面用数学归纳法证明猜想：成立.ⅰ当时，猜想成立；ⅱ假设时，猜想成立，即；那么当时，；从而时猜想成立。综合ⅰ，ⅱ知：猜想成立.即数列的通项公式为.(2)由于当时，；

所以令得即，∴，于是，从而即证：.(3)由柯西不等式得：所以要证即证，也就是需证：，即证：；因为函数的导函数当时所以当时，取得

∴，所以.19.设定义在（0，+）上的函数（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若曲线在点处的切线方程为，求的值。参考答案：（I）（方法一），…………3分当且仅当时，的最小值为。…………3分…………2分

…………3分…………1分（II）由题意得：，

①…………2分，

②…………3分由①②得：。

…………2分略20.如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BCD=120°(1)求线段BD的长与圆的面积。(2)求四边形ABCD的周长的最大值。

参考答案：(1)由于四边形ABCD为圆内接四边形，所以∠BCD+∠BAD=1800由题设知∠BCD=1200，所以∠BAD=600……………1分在中由余弦定理得==7……………4分由正弦定理得………6分(2)解法一：设∠CBD=θ，那么00<θ<600……………7分在中有正弦定理得……………8分……………9分四边形ABCD的周长=5+=…………11分由于00<θ<600，所以600<θ+600<1200所以θ+600=900即所以θ=300时四边形ABCD的周长取得最大值5+……………12分解法二：设，，在中由余弦定理得…7分…………8分………9分四边形ABCD的周长………11分当且仅当时上式取等号，四边形ABCD的周长最大值为……12分(没有取等条件扣一分)21.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如右图.（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．参考答案：解:（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于之间。因此乙班平均身高高于甲班;

(2)

甲班的样本方差为

＝57.2

（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）

（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）

（178，173）

(178,

176)

（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；

；

略22.（8分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的