广东省揭阳市埔田中学2021年高三数学理月考试题含解析

广东省揭阳市埔田中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则（

）A．(0,3]

B．[3,π)

C．[－1,π)

D．[－1,0)参考答案：A2.已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x0是函数f（x）的一条对称轴，且tanx0=2，则点（a，b）所在的直线为(

) A．x﹣2y=0 B．x+2y=0 C．2x﹣y=0 D．2x+y=0参考答案：A考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式将函数进行化简，求出函数的对称轴即可得到结论．解答： 解：f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx），令sinα=，则cosα=，即tanα=，则f（x）=cos（x﹣α），由x﹣α=kπ，得x=α+kπ，k∈Z，即函数的对称轴为x=α+kπ，k∈Z，∵x=x0是函数f（x）的一条对称轴，∴x0=α+kπ，则tanx0=tanα==2，即a=2b，即a﹣2b=0，则点（a，b）所在的直线为x﹣2y=0，故选：A点评：本题主要考查三角函数的化简，以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．3.已知，满足约束条件，若的最小值为，则A. B. C. D.参考答案：A4.设，则对于任意的实数a和b，a+b0是的A．充分且必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

参考答案：A5.若（为虚数单位），则使的值可能是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案:A6.已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

参考答案：B因为，所以函数为偶函数，因为函数在上是增函数，所以当时，，此时为减函数，所以当，函数单调递增。因为，所以有，解得，即，选B.7.设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由a＞|b|”能推出“a3＞b3”，是充分条件，反之，不成立，比如a=1，b=﹣2，不是必要条件，故选：A．8.如图，已知等于（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】向量在几何中的应用．【分析】将向量转化成，向量转化成，然后化简整理即可求出所求．【解答】解：∵∴=（）化简整理得=﹣+故选C．9.在四面体P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，则该四面体P﹣ABC的外接球的表面积为(

) A．π B．π C．2π D．3π参考答案：D考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积解答： 解：由题意，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=，∴球直径为，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（）2=3π故选：D．点评：本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．10.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题中正确的是（

）A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，都在球面上，且在所在平面外，，，，，在球内任取一点，则该点落在三棱锥内的概率为

．参考答案：

12.已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点,则实数的取值范围是________.参考答案：略13.已知圆：，直线：，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则

参考答案：414.在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则?+2的最小值为

．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由三角形的面积公式，S△ABC=2S△MBC，则S△MBC=，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则?+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则?+2的最小值；方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得?+2的最小值．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴A到BC的距离=点A到BC的距离的一半，∴S△ABC=2S△MBC，而△ABC的面积1，则△MBC的面积S△MBC=，S△MBC=丨MB丨×丨MC丨sin∠BMC=，∴丨MB丨×丨MC丨=．∴?=丨MB丨×丨MC丨cos∠BMC=．由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC，显然，BM、CM都是正数，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨×丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．．∴?+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，?+2的最小值是，方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，?+2的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.三棱锥中，、、、分别为、、、的中点，则截面将三棱锥分成两部分的体积之比为

.参考答案：

16.函数的最大值是

参考答案：17.若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.参考答案：(e,e)

切线斜率K=2

则，，

所以P(e,e)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：,以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)若把曲线C上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，求C1的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是,与曲线C1交于A，B两点，求三角形AOB的面积.参考答案：(1)；(2).试题分析：（1）根据坐标变换得到曲线，利用极坐标转换公式即可写出极坐标方程；（2）转化为直角坐标系方程后，联立方程组，解出点的坐标，计算即可.试题解析：（1）设曲线上任意一点经过坐标变化后得到，依题意：所以：故曲线的标准方程为，极坐标方程为：(2)（法一）直线与曲线的交点为，则的极坐标满足方程组：解之得：、，（法二）直线与曲线C1交点为，则A、B的直角坐标满足方程组：联立方程可得:、,所以边上的高为，19.（本小题满分12人）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差。

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。参考答案：见解析【知识点】概率综合茎叶图解：(Ⅰ)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10。

所以平均数为；

方差为

(Ⅱ)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；

乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，

这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21。

事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，

所以该事件有2种可能的结果，

因此P(Y=17)=。

同理可得P(Y=18)＝；P(Y=19)=

；P(Y=20)=

；P(Y=21)=。

所以，随机变量Y的分布列为：

EY=17×＋18×＋19×＋20×＋21×＝19。20.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为(单位：元)．(1)将表示为的函数：

(2)试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．参考答案：解：(1)依条件可知，

=

（x>2）(2)当且仅当取到等号答：当时，最小费用为10440元

略21.（本小题满分13分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，点是点关于轴的对称点，过点的直线交抛物线于两点（1）试问在轴上是否存在不同于点的一点，使得与轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出顶点的坐标，若不存在，说明理由；（2）若的面积为，求向量的夹角。参考答案：22.在直角坐标系xOy中，将曲线（t为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C1；以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）已知点M（1，0），直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求△MPQ的面积．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由题意求出曲线C1的参数方程，从而得到曲线C1的普通方程，由此能求出曲线C1的极坐标方程．（2）设点ρ，Q的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），由直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为O，P，分别求出O，P的极坐标，从而求出|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2，再由M到直线l的距离为，能求出△MPQ的面积．解：（1）∵曲线（t为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C1，∴由题意知，曲线C1的参数方程为（t为参数），∴曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+y2=1