广东省梅州市上八中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析

广东省梅州市上八中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数a=()A.1 B.－1 C.－2或1 D.2或1参考答案：D【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案．【详解】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z的共轭复数=(

)A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i参考答案：B【分析】利用复数的运算法则求出z，再共轭复数的定义即可得到答案。【详解】由，可得，所以的共轭复数；故答案选B【点睛】本题考查复数的运算法则以及共轭复数的定义，属于基础题。

3.当时，设命题p：函数在区间上单调递增，命题q：不等式对任意都成立．若“pq”是真命题，则实数的取值范围为A． B． C． D．参考答案：A4.已知为虚数单位，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A5.已知函数，，，使得成立，则实数a的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求导，求出的最值，再根据，使得，得到关于a的不等式解得即可．【详解】∵，故的最小值为;函数≤a,故a≥e故选：A．【点睛】本题考查了导数与函数的最值问题，以及不等式有解问题，双变元问题，考查转化化归能力，属于中档题．6.离散型随机变量X的概率分布列如下：X1234P0.20.30.4c则c等于()A．0.01

B．0.24

C．0.1

D．0.76参考答案：C7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 （）A．

B． C． D．参考答案：C8.某学校高中部学生中，高一年级有700人，高二年级有500人，高三年级有300人．为了了解该校高中学生的健康状况，用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一年级学生中抽取14人，则n为（）A．30 B．40 C．50 D．60参考答案：A【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义和性质进行求解即可．【解答】解：由分层抽样的性质可得=，解得n=30，故选：A9.椭圆（）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若垂直于，则椭圆的离心率为A． B． C． D．参考答案：D10.点（-1，2）关于直线y=x—1的对称点的坐标是

（

）A．(3,2)

B．(?3,?2)

C．(?3,2)D．(3,?2)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若双曲线的左、右焦点是、，过的直线交左支于A、B两点，若|AB|=5，则△AF2B的周长是_________________参考答案：1812.若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为

。参考答案：13.设α为△ABC的内角，且tanα=－，则sin2α的值为＿＿＿＿参考答案：略14.若等差数列的前项和为，则.由类比推理可得：在等比数列中，若其前项的积为，则_______.参考答案：15.设实数a、b、c满足a+b+c=1，则a、b、c中至少有一个数不小于．（填具体数字）参考答案：【考点】反证法的应用；进行简单的合情推理．【分析】根据题意，通过反证法，通过得出与已知a+b+c=1矛盾，可得结论．【解答】解：假设a、b、c都大于，则a+b+c＞1，这与已知a+b+c=1矛盾．假设a、b、c都小于，则a+b+c＜1，这与已知a+b+c=1矛盾．故a、b、c中至少有一个数不小于．故答案为：．16.任何一个三次函数都有对称中心.请你探究函数,猜想它的对称中心为_________.参考答案：略17.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CB,AB=AD=,CD=,点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF=

参考答案：解：连结DE，可知为直角三角形。则EF是斜边上的中线，等于斜边的一半，为.略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．参考答案：【考点】解三角形．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC?（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．19.（本题满分12分）已知函数,问是否存在自然数，使得方程在区间内有且仅有两个不等的实数解？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：解问题等价于方程在内有且仅有两个不等的实数根，令当时，，单调递减；当时，，单调递增；……4由于，……7所以方程在内分别有唯一实数根，而在内没有实数根………………10

所以存在唯一自然数使得方程在区间内有且仅有两个不等的实数解。…………………1220.学校对同时从高一，高二，高三三个不同年级的某些学生进行抽样调查，从各年级抽出人数如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些学生中共抽取6人进行调查年级高一高二高三数量50150100（1）求这6位学生来自高一，高二，高三各年级的数量；（2）若从这6位学生中随机抽取2人再做进一步的调查，求这2人来自同一年级的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（1）求出样本容量与总体中的个体数的比是=，即可求这6位学生来自高一，高二，高三各年级的数量；（2）利用枚举法列出从这6位学生中随机抽取2人的不同结果，求出2人来自同一年级的情况数，由古典概型概率计算公式得答案．【解答】解：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是=，所以样本中包含三个年级的个体数量分别是50×=1，150×=3，100×=2．所以高一，高二，高三三个年级的学生被选取的人数分别为1，3，2．（2）设6件来自高一，高二，高三三个地区的学生分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2．则抽取的这2人构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2人来自相同年级”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P（D）=，即这2人来自相同年级的概率为．21.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：K2=．参考答案：【考点】BL：独立性检验．【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率．（3）利用独立性检验进行求解即可【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的