广东省揭阳市洪冶中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

广东省揭阳市洪冶中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f（f（5））=(

)A．﹣5 B． C． D．5参考答案：B【考点】函数的周期性．【专题】计算题．【分析】先通过f（x+2）=可推断函数f（x）是以4为周期的函数．进而可求得f（5）=f（1），f（﹣5）=f（﹣1）；根据f（x+2）=可求得f（﹣1）=，进而可求得f（f（5））．【解答】解：∵f（x+2）=∴f（x+2+2）==f（x）∴f（x）是以4为周期的函数∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）又∵f（﹣1）===﹣∴f（f（5））=﹣故选B【点评】本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中f（x+2）=的关系式．2.（

）A． B． C． D．参考答案：B.故选：B

3.已知复数是纯虚数，则实数a＝A．－2

B．4

C．－6

D．6参考答案：D4.已知A（﹣2，0），B（2，0），斜率为k的直线l上存在不同的两点M，N满足：|MA|﹣|MB|=2，|NA|﹣|NB|=2，且线段MN的中点为（6，1），则k的值为（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2参考答案：D【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出双曲线方程，利用点差法，即可得出结论．【解答】解：由题意，M，N是双曲线的右支上的两点，a=，c=2，b=1，∴双曲线方程为=1（x＞），设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=12，y1+y2=2，代入双曲线方程，作差可得（x1﹣x2）﹣2（y1﹣y2）=0，∴k=2，故选D．5.圆上的点到直线的距离的最大值是（

）

A．

B．

C．

D．0参考答案：A略6.已知集合，，则A∩B中元素的个数为（

）A.3 B.2 C.1 D.0参考答案：B【分析】表示与的交点个数，由函数图象可确定交点个数，进而得到结果.【详解】由与图象可知，两函数图象有两个交点，如下图所示：中的元素个数为个故选：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键是明确交集表示的含义为两函数交点个数，通过数形结合的方式可得到结果.7.函数有最小值，则实数的取值范围是

（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B8.如图，给出的是的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（）A．i≤99 B．i＜99 C．i≥99 D．i＞99参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由已知中该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，由此易给出条件中填写的语句．【解答】解：∵该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，故判断框中应该填的条件是：i≤99故选A．9.复数z满足z（4+i）=3+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由z（4+i）=3+i，得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题的计算题．10.定义在R上的偶函数，满足，且在上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列等式：…，根据以上规律，________________。（结果用具体数字作答）

参考答案：1296观察前3个等式发现左边的等式分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得.12.已知点，，，其中为正整数，设表示△的面积，则___________．参考答案：过A,B的直线方程为，即，点到直线的距离，，所以，所以。13.已知，，则___________。参考答案：-814.函数的定义域为.参考答案：15.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且，则数列{an}的公差是________．参考答案：416.已知定义在R的奇函数满足，且时，，下面四种说法①；②函数在［-6，-2］上是增函数；③函数关于直线对称；④若，则关于的方程在［-8，8］上所有根之和为-8，其中正确的序号

参考答案：①④由得，所以函数的周期是8.又函数为奇函数，所以由，所以函数关于对称。同时，即，函数也关于对称，所以③不正确。又，函数单调递增，所以当函数递增，又函数关于直线对称，所以函数在［-6，-2］上是减函数，所以②不正确。，所以，故①正确。若，则关于的方程在［-8，8］上有4个根，其中两个根关于对称，另外两个关于对称，所以关于对称的两根之和为，关于对称的两根之和为，所以所有根之后为，所以④正确。所以正确的序号为①④。17.已知实数满足且目标函数的最大值是，则的最大值为_____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l：（其中t为参数，α为倾斜角）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（1）求C的直角坐标方程，并求C的焦点F的直角坐标；（2）已知点P（1，0），若直线l与C相交于A，B两点，且=2，求△FAB的面积．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）原方程变形为ρ2sin2θ=ρcosθ，利用互化公式可得：C的直角坐标方程．（2）把l的方程代入y2=x得t2sin2α﹣tcosα﹣1=0，利用根与系数的关系及其已知可得：|t1﹣t2|=2|t1t2|，平方得，可得sin2α=1，即可得出．【解答】解：（1）原方程变形为ρ2sin2θ=ρcosθ，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C的直角坐标方程为y2=x，其焦点为．（2）把l的方程代入y2=x得t2sin2α﹣tcosα﹣1=0，则，①，即|t1﹣t2|=2|t1t2|，平方得，②把①代入②得，∴sin2α=1，∵α是直线l的倾斜角，∴，∴l的普通方程为x=1，且|AB|=2，点F到AB的距离d=1﹣=∴△FAB的面积为S=|AB|×d==．19.已知函数.（1）求函数的极值；（2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点， 且，使得曲线在点处的切线∥,，则称为弦的伴随切线.

特别地，当时，又称为弦的-伴随切线.①求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有-伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由.参考答案：（II）（i）设P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上的任意两点，要证明弦P1P2有伴随切线，只需证明存在点Q(x0,f(x0))，x1<x0<x2，使得，且点Q不在P1P2上。…………7分，即证存在，使得，即成立，且点Q不在P1P2上。以下证明方程在（x1,x2）内有解。记F(x)=，则F(x)=，令g(t)=lnt-t+1，t>1。，g(t)在内是减函数，g(t)<g(1)=0。取，则，即F(x1)<0…………9分同理可证F(x2)>0,F(x1)F(x2)<0。函数F(x)=在（x1,x2）内有零点。即方程=0在（x1,x2）内有解x=x0。…………10分又对于函数g(t)=lnt-t+1，取t=，则，可知，即点Q在P1P2上。F(x)是增函数，F(x)的零点是唯一的，即方程=0在（x1,x2）内有唯一解。综上，曲线y=f(x)上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。……………11分（ii）取曲线C：y=h(x)=x2，则曲线y=h(x)的任意一条弦均有-伴随切线。￥高#考#资%源*网证明如下：设R（x3,y3）,S(x4,y4)是曲线C上任意两点（x3y4），则又即曲线C：y=x2的任意一条弦均有-伴随切线。……14分

略20.已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量.(I）求B；(II）若，求△ABC的面积。参考答案：（I）∵∴由余弦定理得：又∵∴(II）∵，由正弦定理得：

∴∴

∴a＜b

∴A＜B

∴

∴

∴ABC=21.已知向量，.（1）若，求的值；（2）设函数，将函数的图像上所有的点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再把所得的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求的单调增区间.参考答案：（1）∵p,∴==,∴－cos2x===

（2）f(x)=p=+=2,由题意可得g(x)=2,g(－x)=2，由2x+,－x,∴单调递增区间为kZ.

22.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【专题】方程思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量坐标，利用线面垂直的性质建立方程关系即可证明D为BB1的中点；（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，∴三角形ACC1是正三角形，∵H是CC1的中点，∴AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH?平面AA1C1C，∴AH⊥ABB1A1，以A为原点，建立空间直角坐标系如图，设AB=，则AA1=2，则A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），则=（，2，0），=（，t﹣2，0），∵A1D丄平面AB1H．AB1?丄平面AB1H．∴A1D丄AB1，则?=（，2，0）?（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，即D