材料力学课程论文

关于剪切模量G、弹性模量E和泊松比v的关系证明及其应用姓名：学号：班级：摘要：众所周知,材料力学在工科专业中发挥着不可忽视的重要基础作用,前人们也对此进行了深入的研究和探索，为我们现在的快速计算打下了良好的基础,胡克定律的发明极大方便了弹力的计算，而剪切模量、弹性模量和泊松比的发现也方便了我们对应力的计算，三者关系的得出更是提升了我们的计算效率。本文首先对剪切模量、弹性模量和泊松比的重要意义进行了说明，然后证明了三者之间的关系，最后简要谈一些相关应用。关键词：剪切模量、弹性模量、泊松比、应用引言:笔者在学习《材料力学》到第四章扭转时，学到了弹性胡克定律:。=E£,式中。为正应力，E为弹性模量(YounglModulus),t为线应变；泊松比：v=§，式中v为泊松比(Poissorfsratio),勺为横向线应变，&为轴向线应变；剪切胡克定律：T=Gy,式中T为切应力，Y为切应变，G为切变模量(shearmodulus)o笔者乂看到，对各向同性材料，材料的三个弹性常数：弹性模量E、泊松比V和切变模量G之间存在下列关系G=^。但是教材中并没有给出证明，当时才疏学浅，无法证明，但是笔者当学习到第八章时，有了一些个人见解。刨根问底是笔者的一贯风格，为此，笔者对本公式进行了探讨证明。剪切模量是材料常数，是剪切应力与应变的比值。乂称切变模量或刚性模量。材料的力学性能指标之一。是材料在剪切应力作用下，在弹性变形比例极限范围内，切应力与切应变的比值。它表征材料抵抗切应变的能力。模量大，则表示材料的刚性强。剪切模量的倒数称为剪切柔量，是单位剪切力作用下发生切应变的量度，可表示材料剪切变形的难易程度。[1]材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系(即符合胡克定律)，其比例系数称为弹性模量。弹性模量的单位是达因每平方厘米。[2]泊松比是材料横向应变与纵向应变的比值的绝对值(即比值的负数)，也叫横向变形系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。[3]位为1,公式符合量纲要求。图位为1,公式符合量纲要求。图1平面纯剪切应力状态单元体下面从公式关系上进行分析，为方便研究，笔者选择纯剪切平面应力状态单元体，如图1所示。在纯剪切应力状态下,由于=Txy,=~Txy＞根据主应力的广义胡克定律，得主应变1 (1+U)£1=厅91一U%)=——-——Txy ⑴单元体内任意斜面上的线应变公式

&=：（&+勺）+：（勺-勺）cos2a+"xycos2a ⑵£ £ 匕公式（2）推导如下：图图2 图3图5图5如图2,取一微元体，设其边长分别为dx,dy,角度为a,则可得下式:TOC\o"1-5"\h\z由图3可知：AL】=sxdxcosa （3）由图4可知：AL2=^ydysina （4）由图5可知：AL3=ydxsina （5）由叠加定理和（3）（4）（5）可得，AL=ALi+AL2+AL3,ALsxdxcosa+sydysina+yxydxsinaSa=Is=~ —AS■因为竺=cosa,^=sina。所以ds dssa=sxcosacosa+sysinasina+yxycosasina111=方（&+Sy）+-（£x-Sy）cos2a+-yxycos2a令a=45°ex=£y=0,则单元体中45°方向的应变为f45-=号 ⑹ Txy=GyxY ⑺因为45°方向是最大主应变方向，所以二者相等，即^45-=£1 ⑻由(1)、(6)、(7)和(8)可知，色=心2化简可得2GEEG= 2(1+v)剪切模量G,表征材料抵抗切应变的能力，模量大，则材料的刚性强。在实际工程应用当中，我们都希望材料的刚性强，即能够抵抗较大的切应变，弹性强，即能够抵抗较大的正应变。经过对相关资料的查询，笔者得到了常用材料的剪切模量、弹性模量和泊松比。序号材料名称弹性模量E/GPa切变模室G/GPa泊松比P1镣铭钢、合金钢20679.380.32碳钢196〜206790.33铸钢172〜2020.34球墨铸铁140〜15473〜760.35灰铸铁、白口铸铁113〜157440.23〜0.276冷拔纯铜127487轧制磷青铜113410.32〜0.358轧制纯铜108390.31—0.349轧制铉晋铜10839 '0.3510铸铝音铜103410.311冷拔黄铜89〜9734〜360.32〜0.4212轧制锌82310.2713硬铝合金7026 ;0.314轧制铝6825〜260.32〜0.3615铅1770.4216玻璃5522 J0.2517混褫土14〜394.9—15.70.1〜0.1818纵纹木材9.8〜120.519横纹木材0.5〜0.980.44~0.6420橡胶0.007840.4721电木1.96—2.940.69—2.060.35—0.3822赛晓咯1.71〜1.890.69〜0.980.423可锻铸铁152246925大理石5526花岗石4827石灰石4128尼龙10101.0729夹布酚醛塑料4—8.830石棉酚醛塑料1.331昂压聚乙烯0.15〜0.2532低压聚乙烯0.49〜0.7833聚丙烯1.32—1.4234硬聚氢乙烯3.14〜3.9235聚四氟乙烯1.14—1.42下面谈一些关于剪切和弹性胡克定律的应用。曾经风靡一时的《肖申克的救赎》中主角通过一个小锤将一堵墙坚持不懈打穿，看上去似乎不太可能，但是经过应用胡可定律结合轴力分析可以找到墙应力最薄弱的儿个点，打孔后，墙自然会坍塌。同样，在爆破当中，也应用到了胡克定律，在一个实心大块混凝土结构上,通过计算得出关键的受力点，然后在这儿个受力点上打孔，放入引爆所需要的最少量的炸药，进行引爆，引爆的结果就是会导致混凝土爆炸影响范围最小，这种爆破方法就是通过精确的计算来决定爆破最好的效果，从而不会影响其他的附近的建筑物。除此之外，在动力机械方面也得到广泛应用。综上所述，剪切和弹性胡可定律虽然看上去简单，但是在理论计算过程中发挥着弥足轻重的作用，同时，在现今工程中发挥着不可替代的作用。参考文献：L1]:白度白科，http：//baike.bnidu.co