广东省揭阳市东园中学2021年高三数学理期末试题含解析

广东省揭阳市东园中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知集合M={x｜x=a+（a2﹣1）i}（a∈R，i是虚数单位），若M?R，则a=（）A．1B．﹣1C．±1D．0参考答案：C【考点】：复数的基本概念．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的基本概念，推出复数是实数，复数的虚部为0，求解即可．解：集合M={x｜x=a+（a2﹣1）i}（a∈R，i是虚数单位），若M?R，可知复数是实数：a2﹣1=0，解得a=±1．故选：C．【点评】：本题考查复数的基本概念，考查计算能力．2.已知数列{an}满足a1=1,且,且n∈N*）,则数列{an}的通项公式为（

） A． B． C．an=n+2 D．an=（n+2）·3n参考答案：3.设过点且斜率为1的直线与圆相切,则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.若抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．参考答案：D由题得抛物线的标准方程为．5.已知实数x，y满足，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D作出不等式组不等式的平面区域如图所示，表示的几何意义为区域内的点到点的斜率加上2．因为、，所以，所以由图知或，所以或，即或，故选D．6.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．【解答】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R=PD=．则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征是解答本题的关键．7.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为

A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.设集合，，则A∩B=(

)．A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.[1,3] D.[0,3]参考答案：A【分析】对集合用列举法进行表示，对集合用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出.【详解】因为，，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法.本题易错的地方是认为自然数集不包括零.解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识.9.一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．5参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V1为=2剪去的三棱锥体积V2为：=所以几何体的体积为：2﹣=，故选：A．10.在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC,AB=BC=,SA=SC=2,，二面角S—AC—B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（

）A．

B．

C．24

D．6参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x,y满足若取得最小值的最优解有无数多个,则m的值为参考答案：1本题考查线性规划.,,取得最小值,则直线的截距最小,最优解有无数个,即与边界重合,故.12.已知角构成公差为的等差数列.若，则

参考答案：13.已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______.参考答案：2由，所以。根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，即，所以三角形为直角三角形，所以。14.若的二项展开式中的常数项为m，则m=

▲

．参考答案：792015.将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为

．参考答案：﹣

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．16.在如右图所示的数表中，第i行第j列的数记为ai，j，且满足a1，j＝2j－1，ai，1＝i，ai＋1，j＋1＝ai，j＋ai＋1，j（i，j∈N*）；又记第3行的数3，5，8，13，22，39，…．则第3行第n个数为

．参考答案：17.已知过原点的直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆的左焦点，且，则椭圆的离心率为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，N.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数,使,,成等比数列?若存在,求的值；若不存在,请说明理由.参考答案：（1）；（2）；（3）不存在正整数，使，，成等比数列．试题分析：（1）令即可求出的值；（2）先利用（）转化为等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求出数列的通项公式；（3）假设存在正整数,使,,成等比数列，由,,成等比数列得：，化简，解出的值，与为正整数矛盾，故不存在正整数,使,,成等比数列．试题解析：（1）解：∵，∴.

…………1分（2）解法1：由，得，…………2分故.

…………3分∵，∴.∴.

…………4分∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴.

…………5分∴.

…………6分当时，，

…………8分又适合上式，∴.

…………9分解法2：由，得，

…………2分当时，，…………3分∴.

…………４分∴.

∴.

…………５分∵，∴.

…………６分∴数列从第2项开始是以为首项，公差为的等差数列．……………７分∴．…………８分∵适合上式，∴.

…………9分解法3：由已知及（1）得，，猜想.

…………2分下面用数学归纳法证明.①当，时，由已知，，猜想成立.………3分②假设时，猜想成立，即，

…………4分由已知，得，

故.

∴.

…………5分∴.∴.

…………6分∵，∴.

…………7分∴.

…………8分故当时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即.

…………9分（3）解：由(2)知,.假设存在正整数,使,,成等比数列,则.

…………10分即.

…………11分∵为正整数，∴.∴.∴.化简得.

…………12分∵,∴.解得,与为正整数矛盾.……13分∴不存在正整数,使,,成等比数列.…………14分考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质；3、等差数列的前项和.19.（本题14分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。已知袋中共有10个球．从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．求：

（Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；（Ⅱ）袋中白球的个数．参考答案：【解析】

本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力．满分14分．（Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为．记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A，则．（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，设袋中白球的个数为，则，得到．20.（本小题满分12分）

已知椭圆E的两焦点分别为（-1,0），(1，0)，且点在椭圆E上．

(I)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)过点P（-2，0）的直线交椭圆E于两个不同的点A，B，且，点C（不同于点B）是点B关于x轴的对称点，求△AOC面积的取值范围，参考答案：21.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C:上，过M作x轴的垂线，垂足