广东省惠州市市第一中学高二数学理期末试题含解析

广东省惠州市市第一中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数是

（）．周期为的奇函数.周期为的偶函数.周期为的奇函数

.周期为的偶函数参考答案：C2.如图，圆C内切于扇形AOB，，若在扇形AOB内任取一点，则该点不在圆C内的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C设圆半径为，因为扇形面积为，所以该点不在圆内的概率为，选C.

3.若a、b、c，则下列不等式成立的是 A． B． C． D．参考答案：C4.若命题，则是A．

B．C．

D．参考答案：A5.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是（

）X3459PA. B. C. D.参考答案：C【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a.【详解】，解得.故选：C6.的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：D7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=7a1，则数列{an}的公比q的值为（）A．2 B．3 C．2或﹣3 D．2或3参考答案：C【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的通项公式表示出S3等于前三项相加，让其值等于7a1，根据a1不等于0，消去a1得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值．【解答】解：由S3=7a1，则a1+a2+a3=7a1，即a1+a1q+a1q2=7a1，由a1≠0，化简得：1+q+q2=7，即q2+q﹣6=0，因式分解得：（q﹣2）（q+3）=0，解得q=2或q=﹣3，则数列{an}的公比q的值为2或﹣3．故选C8.若球的半径为，则这个球的内接正方体的全面积等于（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A9.6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人，每人1本，共有不同分法（）A. B.C. D.参考答案：A先分语文书有种，再分数学书有，故共有=，故选A.10.若复数（1+a?i）2（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．±1 B．﹣1 C．0 D．1参考答案：A【考点】复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质化简复数（1+a?i）2，依据纯虚数的定义求出答案．【解答】解：∵复数（1+a?i）2（i为虚数单位）是纯虚数，（1+a?i）2=1﹣a2+2ai，∴1﹣a2=0，a=±1，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足不等式组那么目标函数的最大值是

.参考答案：412.将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇A的概率为

（用数字作答）．参考答案：13.一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，则球O的表面积为_______．参考答案：8π【分析】根据该八面体的棱长为2，所有顶点都在球上可确定球的半径，即可求出球的表面积。【详解】根据题意该八面体的棱长为，所有顶点都在球上所以球的半径为几何体高的一半，即半径所以表面积【点睛】本题考查球体的表面积公式，解题的关键是求出半径，属于简单题。14.已知为锐角三角形的两个内角，则与的大小关系是______．参考答案：【分析】由题意利用锐角三角形的性质、诱导公式和三角函数的单调性比较与的大小关系即可.【详解】因为是锐角三角形的两个内角，故，，，，所以.即.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，锐角三角形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.若数列{an}是首项为，公比为a﹣的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值为

．参考答案：1【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得：=a，化为：2a2﹣3a+1=0，解得a并验证即可得出．【解答】解：由题意可得：=a，化为：2a2﹣3a+1=0，解得a=1或，a=时，公比为0，舍去．∴a=1．故答案为：1．16.已知是定义在R上的奇函数，，且对任意都有成立，则不等式的解集是______.参考答案：【分析】令，可证为偶函数且为上的增函数，考虑当时，的解及当时，的解，它们的并是所求不等式的解集.【详解】等价于，令，则，当时，有，故为上的增函数，而，故当时，的解为，故当时，的解为，因，故为偶函数，当时，等价于，因为偶函数，故当时，的解为即当时，的解为，综上，的解集是，填.【点睛】如果题设中有关于函数及其导数的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.17.四个人进3个不同的房间，其中每个房间都不能空闲，则这四个人不同的住法种数是_______。参考答案：36三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分10分)已知函数（1）当的值域；（2）设恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：19.（理）m个元素环绕在一条封闭曲线上的排列，称为环状排列.已知m个不同元素的环状排列的所有种数为.请利用此结论来解决下列问题，要求列式并给出计算结果.（1）从10个不同的元素中选出8个元素的环状排列的所有种数为多少？（2）某班8个班干部中有1个班长，2个副班长，现在8个干部围坐一张圆桌讨论班级事务，则分别满足下列条件的此8人的坐法有多少种？（i）班长坐在两个副班长中间；（ii）两个副班长不能相邻而坐；（iii）班长有自己的固定座位.参考答案：解：（1）----------------------3分（2-i）

----------------------6分（2-ii）间接法：；插空法：----------------------10分(2-iii)

----------------------14分20.高二数学ICTS竞赛初赛考试后，某校对95分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求这组数据的平均数M；（2）从所有95分以上的考生成绩中，又放回的抽取4次，记这4次成绩位于（95，105]之间的个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）（分布列结果不用化简）参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图，能求出这组数据的平均数．（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，X～B（4，），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得这组数据的平均数：M=100×0.1+110×0.25+120×0.45+130×0.15+140×0.05=118，…（2）X的可能取值为0，1，2，3，4．…某个考生成绩位于（95，105]的概率=0.01×10=…因此X～B（4，），…∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．∴X的分布列为：X01234PEX=4×=．…【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．21.（本小题满分12分）如图，F是椭圆(a>b>0)的一个焦点，A,B

是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：相切．（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且

，求直线l2的方程． 参考答案：(1)F(-c，0)，B(0,)，∵kBF=，kBC=-，C(3c，0)且圆M的方程为(x-c)2+y2=4c2，圆M与直线l1：x+u+3=0相切，∴，解得c=1，22.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点，（1）求证：AC⊥平面EDB；（2）求四面体B﹣DEF的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）记AC与BD的交点为G，连接EG，GH，由已知可得AB⊥BC，且EF⊥BC，而EF⊥FB，由线面垂直的判定可得EF⊥平面BFC，进一步得到EF⊥FH．则AB⊥FH，再由已知可得FH⊥BC．则FH⊥平面ABCD，得到AC⊥EG．结合AC⊥BD，可得AC⊥平面EDB；（2）由EF⊥FB，∠BFC=90°，可得BF⊥平面CDEF，求出BF=FC=．代入三棱锥体积公式可得求四面体B﹣DEF的体积．【解答】（1）证明：记AC与BD的交点为G，连接EG，GH，由四边形ABCD是正