广东省广州市造船厂中学高三数学文期末试题含解析

广东省广州市造船厂中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，则大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知A={x|2≤x≤π}，定义在A上的函数y=logax（a＞0，且a≠1）的最大值比最小值大1，则底数a的值为（）A． B． C．π﹣2 D．或参考答案：D【考点】对数函数的值域与最值．【分析】由题意讨论a的取值以确定函数的单调性及最值，从而求解．【解答】解：当0＜a＜1时，f（x）=logax（a＞0且a≠0）在[2，π]上是减函数，故loga2﹣logaπ=1；故a=；当a＞1，f（x）=logax（a＞0且a≠0）在[2，π]上是增函数，故logaπ﹣loga2=1；故a=故选D．3.如图是某几何体的三视图，当最大时，该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：三视图及简单几何体的体积．【易错点晴】本题考查的是三视图与原几何体的形状的转化问题.解答时先依据题设中提供的三视图,将其换元为立体几何中的简单几何体,再依据几何体的形状求其体积.在这道题中,从三视图中可以推测这是一个由四棱锥和四分之一圆锥为几何体的组合体,最后分别求出其体积再加起来.解答本题的难点是先依据题设中提供的数据建立关于的方程.进而运用基本不等式求出取最大值时的全值.4.已知函数的图象与直线相交，其中一个交点的横坐标为4，若与相邻的两个交点的横坐标为2，8，则（

）A．在上是减函数

B．在上是减函数C．在上是减函数

D．在上是减函数参考答案：B考点：函数的图象及运用．5.若直线上存在点满足约束条件,则实数a的最大值为 （）

A．-1

B．1

C．

D．2参考答案：B6.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的零点构成一个公差为的等差数列，，则f（x）的一个单调递增区间是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据零点构成一个公差为的等差数列，可得周期T=π，求出ω，利用，求出φ，结合三角函数的图象及性质，可得单调性．【解答】解：由题意，零点构成一个公差为的等差数列，∴周期T=π，即，∴ω=2．∴函数f（x）=sin（2x+φ）．又，则sinφ=．∵＜φ＜，∴φ=．故得函数f（x）=sin（2x）．令2x≤，k∈Z．得：，当k=0时，可得一个单调递增区区为：．故选：C．7.已知等差数列的前项和为，且，则A.

B.

C.

D.参考答案：B8.若变量满足约束条件,则的最大值是（

）A．

B．0

C．

D．参考答案：D9.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是

（A）y=-ln|x|

（B）y=x3

（C）y=2|x|

（D）y=cosx-（参考答案：A略10.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有(

)

(A)1个

(B)2个

(C)50个

(D)100个参考答案：D解：把身高按从高到矮排为1~100号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知α为钝角，sin（+α）=，则sin（﹣α）=﹣．参考答案：-【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】运用的诱导公式求出cos（）的值，根据α为钝角，求出的取值范围，确定sin（）的符号，运用同角三角函数的平方关系即可得到结果．【解答】解：∵sin（+α）=，∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=，∵α为钝角，即＜α＜π，∴＜﹣，∴sin（﹣α）＜0，∴sin（﹣α）=﹣=﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．12.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为

▲

.参考答案：13.若不等式组的解集中所含整数解只有-2，求的取值范围

.参考答案：由得要使解集中只有一个整数，则由可知，不等式的解为，且，即，所以的取值范围是。14.已知角α的终边上一点的坐标为（﹣sin25°，cos25°），则角α的最小正值为．参考答案：115°【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得角α的最小正值．【解答】解：∵角α的终边上一点的坐标为（﹣sin25°，cos25°），为第二象限角，且tanα==﹣cot25°=﹣tan65°=tan=tan115°，则角α的最小正值为115°，故答案为：115°．15.函数的单调递增区间是_参考答案：略16.,且满足，则的最小值为

参考答案：1略17.若集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，则A∩B=

．参考答案：{x|1＜x＜3}【分析】由集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，结合集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜3}，故答案为：{x|1＜x＜3}三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．

（Ⅰ）若袋中共有10个球，（i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．参考答案：本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，得到．故白球有5个．（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是0123的数学期望．（Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，所以，，故．记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则．所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．故袋中红球个数最少．

19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为：，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求得圆的方程，由直线和圆相切的条件，可得b=，由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0，设AB交x轴于D，用k表示S△OAB，再由基本不等式即可得到最大值．解答： 解：（1）由题意可得x2+y2=b2，直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，有=b，即b=，e==，又c2=a2﹣b2=a2﹣2，解得a=，则椭圆方程为+=1；（2）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0，设AB交x轴于D，由对称性可得S△OAB=2S△OAD=2×x0y0═kx02，由y0=kx0代入+=1，可得x02=，则S△OAB==≤=．当且仅当3k=，即k=时，△OAB面积的最大值为．点评：本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和圆相切的条件，运用基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．20.设函数。求（1）的值域；（2）记的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若=1，b=1,c=，求a的值。参考答案：（1）

=因此的值域为（2）

得

解得a=1或a=2

略21.已知在中，角、、的对边分别为、、，，，．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的值．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）解：（Ⅰ）∵，，，∴，．（Ⅱ）∵，，，代入，，解出，又∵，∴．22.某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元.（1）若扣除投资和装修费，则从第几年开始获取纯利润？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以10万元出售；②该楼年平均利润最大时以46万元出售该楼，问哪种方案更优？参考答案：解析：（1）设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共…………2分因此利润，令

……3分解得：

，