广东省广州市第八十一中学高二数学理下学期期末试题含解析

广东省广州市第八十一中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆C1：f（x，y）=0，圆C2：g（x，y）=0，若存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）满足f（x1，y1）＜0，f（x2，y2）＞0，g（x1，y1）＜0，g（x2，y2）＜0，则C1与C2的位置关系为（）A．相交 B．相离C．相交或C1在C2内 D．相交或C2在C1内参考答案：C2.命题，则是

（

）A．

B．C．

D．参考答案：C略3.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种参考答案：A略4.椭圆的焦点坐标是A．

B．

C．

D．

参考答案：A略5.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为且；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是(

)A.乙有四场比赛获得第三名B.每场比赛第一名得分a为4C.甲可能有一场比赛获得第二名D.丙可能有一场比赛获得第一名参考答案：A【分析】先计算总分，推断出，再根据正整数把计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案.【详解】由题可知,且都是正整数当时，甲最多可以得到24分，不符合题意当时，，不满足推断出，最后得出结论:甲5个项目得第一,1个项目得第三乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三丙5个项目得第二,1个项目得第三,所以A选项是正确的.【点睛】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力.6.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50 B．40 C．25 D．20参考答案：C【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25．故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．7.设是正数，且a+b=4，则下列各式中正确的一个是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知函数，则的值为

（

）A．1

B．2

C．4

D．5参考答案：C略9.对于任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C10.命题“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是（）A．若x≠2，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=2C．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2 D．若x≠2，则x2﹣3x+2=0参考答案：C【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出它的逆否命题即可．【解答】解：命题“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最大值为____．参考答案：1【分析】先写出函数的定义域，利用导数得到函数的单调区间，由单调性即可得函数最值.【详解】函数f(x)的定义域为，对函数求导得，=0，x=1,当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，则当x=1时函数f(x)取得最大值为f(1)=1,故答案为：1【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值和单调性，属于基础题.12.三个平面最多把空间分割成

个部分。参考答案：813.经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是__________参考答案：14.双曲线的离心率=________；焦点到渐近线的距离=________.参考答案：

1【分析】由双曲线得，再求出，根据公式进行计算就可得出题目所求。【详解】由双曲线得，，，一个焦点坐标为，离心率，又其中一条渐近线方程为：，即，焦点到渐近线的距离故答案为：

1【点睛】本题考查双曲线的相关性质的计算，是基础题。

15.甲、乙两人独立的解决一个问题，甲能解决这个问题的概率为0.6，乙能解决这个问题的概率为0.7，那么甲乙两人中至少有一人解决这个问题的概率是

.参考答案：0.8816.函数y=lg（12+x﹣x2）的定义域是．参考答案：{x|﹣3＜x＜4}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】令12+x﹣x2＞0，解不等式即可．【解答】解：由12+x﹣x2＞0，即x2﹣x﹣12＜0解得﹣3＜x＜4．所以函数的定义域为{x|﹣3＜x＜4}．故答案为：{x|﹣3＜x＜4}．17.不等式|x﹣1|≥5的解集是．参考答案：{x|x≥6或x≤﹣4}【考点】绝对值不等式的解法．【分析】问题转化为x﹣1≥5或x﹣1≤﹣5，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵|x﹣1|≥5，∴x﹣1≥5或x﹣1≤﹣5，解得：x≥6或x≤﹣4，故答案为：{x|x≥6或x≤﹣4}．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知（a＞0），定义.（1）求函数的极值（2）若，且存在使，求实数a的取值范围；（3）若，试讨论函数（x＞0）的零点个数.参考答案：解：（1）∵函数，∴令，得或，∵，∴，列表如下：0+0－0+极大值极小值∴的极大值为，极小值为.（2），∵存在使，∴在上有解，即在上有解，即不等式在上有解，设（），∵对恒成立，∴在上单调递减，∴当时，的最大值为.∴，即.（3）由（1）知，在(0,+∞)上的最小值为，①当，即时，在(0,+∞)上恒成立，∴在(0,+∞)上无零点.②当，即时，，又，∴在(0,+∞)上有一个零点.③当，即时，设（），∵，∴在(0,1)上单调递减，又，，∴存在唯一的，使得.Ⅰ.当时，∵，∴且为减函数，又，，∴在上有一个零点；Ⅱ.当时∵，∴且为增函数.∵，∴在上有一个零点；从而在(0,+∞)上有两个零点.综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点.

19.已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（Ⅱ）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，∴∴①0＜t＜，时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增，∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（）=﹣，②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，∴f（x）min=；（Ⅱ）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点∵G′（x）=﹣+2，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意，两式相减可得ln=2（x1﹣x2）=﹣2ln2∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2，此时a=ln2﹣ln（）﹣1，所以，实数a的取值范围为a＞ln2﹣ln（）﹣1；【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查的知识点比较多，考查数形结合的数学思想，综合性强．20.已知数列{an}满足a1=，﹣=0，n∈N*．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）设bn=﹣1，数列{bn}的前n项之和为Sn，求证：Sn＜．参考答案：【考点】数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）把已知的数列递推式变形，得到，然后代入即可得到答案；（2）由（1）中的等差数列求出数列{an}的通项公式，代入bn=﹣1并整理，然后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和后得答案．【解答】证明：（1）由﹣=0，得=，∴，即，∴．则=．∴数列{}是以﹣1为公差的等差数列；（2）由数列{}是以﹣1为公差的等差数列，且，∴，则．bn=﹣1=．Sn=b1+b2+…+bn===．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．21.（本小题满分14分）等比数列满足的前n项和为,且(I)求;(II)数列的前n项和,是否存在正整数m,,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.参考答案：解:(Ⅰ),所以公比

得

所以

略22.当前《奔跑吧兄弟第三季》正在热播，某校一兴趣小组为研究收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄是否相关，在某市步行街随机抽取了110名成人进行调查，发现45岁及以上的被调查对象中有10人收看，有25人未收看；45岁以下的被调查对象中有50人收看，有25人未收看．（1）试根据题设数据完成下列2×2列联表，并说明是否有99.9%的把握认为收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄有关；

收看不收看总计45岁及以上

45岁及以下

总计

（2）采取分层抽样的方法从45岁及以上的被调查对象中抽取了7人．从这7人中任意抽取2人，求至少有一人收看《奔跑吧兄弟第三季》的概率．附参考公式与数据：．

0.0100.0050.0016.6357.87910.