广东省广州市环城中学2023年高二数学理月考试卷含解析

广东省广州市环城中学2023年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若方程C：（是常数）则下列结论正确的是（

）A．，方程C表示椭圆

B．，方程C表示椭圆C．，方程C表示双曲线

D．，方程C表示抛物线参考答案：C2.椭圆的两顶点为，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：B略3.已知，且，则下列不等式①②③④，其中一定成立的不等式的序号是

（

）A．①②

B．②③

C．③④

D．①④ks5u参考答案：C

略4.若a＞b，x＞y，下列不等式正确的是（）A．a+x＞b+y B．y﹣a＜x﹣b C．|a|x≥|a|y D．（a﹣b）x＞（a﹣b）y参考答案：C【考点】71：不等关系与不等式．【分析】这考查有关不等式的四则运算的知识，主要是不要忽略了a等于零的情况．【解答】解：当a≠0时，|a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变．当a=0时，|a|x=|a|y，故|a|x≥|a|y．故选C．5.设z=1﹣i（i是虚数单位），则+z2等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i参考答案：C【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的四则运算进行化简即可得到结论．【解答】解：∵z=1﹣i，∴+z2===1+i﹣2i=1﹣i，故选：C．【点评】本题主要考查复数的四则运算，容易题．6.已知命题p：是有理数，命题q：空集是集合A的子集，下列判断正确的是（

）

A．为假命题

B．真命题

C．为假命题

D．为假命题参考答案：D略7.曲线围成的封闭图形的面积为

（

）A.10

B.8 C. 2

D.13参考答案：A略8.如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为），则它的体积是（

）． A． B． C． D．参考答案：A由三视图知几何体是一个三棱柱，．故选．9.已知圆C：x2+y2﹣2x+6y=0，则圆心P及半径r分别为（）A．圆心P（1，3），半径r=10 B．圆心P（1，3），半径C．圆心P（1，﹣3），半径r=10 D．圆心P（1，﹣3），半径．参考答案：D【考点】圆的一般方程．【分析】根据已知中圆的一般方程，利用配方法，可将其化为标准方程，进而得到圆的圆心坐标及半径．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+6y=0的方程可化为，（x﹣1）2+（y+3）2=10，故圆心P的坐标为（1，﹣3），半径r=故选D10.观察各式：，，，，……，可以得出的一般结论是（

）A．]B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是参考答案：略12.已知等比数列｛an｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛an｝的前n项和Sn=_______。参考答案：13.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为

．参考答案：14.设函数,其中，若存在唯一的整数，使得，则a的取值范围是_________参考答案：【分析】由得到，设，，从而由题意可得存在唯一的整数，使得在直线的下方．利用导数得到函数的单调性，然后根据两函数的图象的相对位置关系得到关于实数的不等式组，进而得到所求范围．【详解】由，得,其中，设，，∵存在唯一的整数，使得，∴存在唯一的整数，使得在直线的下方．∵，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴当时，，又当时，，直线过定点，斜率为，所以要满足题意，则需，解得，∴实数的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查用导数研究函数的性质和函数图象的应用，具有综合性和难度，考查理解能力和运算能力，解题的关键是正确理解题意，将问题转化为两函数图象的相对位置关系来处理，进而借助数形结合的方法得到关于参数的不等式（组），进而得到所求．15.如图阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．

参考答案：＋ln216.是虚数单位,复数=

▲

.参考答案：2略17.如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】根据题意，取BC的中点M，连接EM、FM，则FM∥BD，分析可得则∠EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角；进而可得EM、EF的值，在△MFE中，有余弦定理可得cos∠EFM的值，即可得答案．【解答】解：如图：取BC的中点M，连接EM、FM，则FM∥BD，则∠EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角；∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，∴EM===，同理EF=；在△MFE中，cos∠EFM==；即异面直线EF与BD所成角的余弦值为；故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且，.（1）证明：MN∥平面PCD；（2）设直线AC与平面PBC所成角为α，当α在内变化时，求二面角P-BC-A的取值范围.参考答案：(1)取PD得中点Q,连接NQ,CQ,因为点M,N分别为BC,PA的中点，，，(2)连接PM,因为,点M为BC的中点，则，以AB,AC,AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0),M(),P()，设平面PBC的一个法向量为=(x,y,z),则由，可取,.

19.已知函数f（x）=loga（）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数y=f（x）的值域是（﹣∞，1]．（1）确定b的值；（2）证明函数y=f（x）在定义域上单调递增，并求a的值；（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．参考答案：（1）根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b；（2）运用单调性的定义，可得g（x）==﹣1+在（﹣1，1）递减，再由复合函数的单调性，可得f（x）在（﹣1，1）递增；由题意可得f（a）=1，解方程可得a的值；（3）由f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），f（x）在（﹣1，1）递增，可得t2﹣2t＞k﹣2t2，且﹣1＜t2﹣2t＜1，﹣1＜k﹣2t2＜1，可得k＜3t2﹣2t的最小值，运用二次函数的最值求法，可得最小值，即可得到k的范围．解：（1）∵函数f（x）=loga（）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴loga+loga=loga（?）=0，即?=1，∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=1（﹣1舍去），当b=1时，函数f（x）=loga为奇函数，满足条件．（2）证明：设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，由g（x）==﹣1+，g（x1）﹣g（x2）=﹣=，x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，可得x2﹣x1＞0，（1+x1）（1+x2）＞0，则g（x1）﹣g（x2）＞0，即有g（x）在（﹣1，1）递减，由f（x）=logag（x），0＜a＜1可得，f（x）在（﹣1，1）递增；∴函数f（x）=loga在x∈（﹣1，a）上单调递增，∵当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，∴f（a）=1，即f（a）=loga=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+；（3）对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，即有f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），由f（x）在（﹣1，1）递增，可得t2﹣2t＞k﹣2t2，且﹣1＜t2﹣2t＜1，﹣1＜k﹣2t2＜1，可得k＜3t2﹣2t的最小值，由3t2﹣2t=3（t﹣）2﹣，可得t=，取得最小值﹣，可得k＜﹣．检验成立．则k的取值范围是（﹣∞，﹣）．20.(6分)已知函数f(x)=x3-x2-2x+5.(1)求函数的单调区间;(2）求函数在[-1,2]区间上的最大值和最小值.

参考答案：21.已知函数.（1）解不等式；（2）设函数的最小值为m，若a，b均为正数，且，求的最小值.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）通过讨论范围，求出各个区间上的的范围，取并集即可；（2）求出的值，根据基本不等式求出的最小值即可【详解】（1）因为，由可得或或得不等式解集为．（2）由（1）知，在单调递减，在上单调递增，所以．因为是正数，则，当且仅当时取等号．又因为，所