广东省广州市钟落潭中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

广东省广州市钟落潭中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆C：（），直线：，则“”是“C上恰有不同的两点到l的距离为”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】根据圆心到直线距离d，比较d与r的关系即可判断。【详解】圆：（）圆心坐标为则圆心到直线距离为所以当时恰有两个不同的点到的距离为当上恰有不同的两点到的距离为时，满足所以“”是“上恰有不同的两点到的距离为”的充分不必要条件所以选A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，充分必要条件的简单应用，属于中档题。2.当时，不等式

恒成立，则实数的取值范围是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略3.设等差数列{an}的前n项和是Sn，且a1=10，a2=9，那么下列不等式中成立的是（）A．a10﹣a11＜0 B．a20﹣a22＜0 C．S20﹣S21＜0 D．S40+a41＜0参考答案：D【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的公差为d，根据a1=10和a2=9求出a1和d，得到数列为递减数列，排除A、B、C，由前n项和公式得到当n＞21时，sn＜0，所以D正确．【解答】解：设等差数列的公差为d，由a1=10，a2=a1+d=10+d=9，得到d=﹣1，所以an=11﹣n；sn=﹣n（n﹣21）；得到此数列为减数列，所以答案A、B、C错，由sn=﹣n（n﹣21）知当n＞21时，sn＜0，所以D正确；故选D【点评】考查学生会利用待定系数法求函数解析式，灵活运用等差数列前n项和公式解决数学问题的能力．4.已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．2参考答案：C5.在等差数列中，，则的值为（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：A试题分析：在等差数列中，，所以，所以.考点：等差数列的性质6.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为（

）A.20%369 B.80%369C.40%360 D.60%365参考答案：A【分析】设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意列出方程组,由此能求出结果．【详解】解：设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意得,解得,,．故选：A．

7.a，b是正实数,且a+b=4，则有A.

B.C.

D.

参考答案：B略8.下列函数中，其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是A．y=ln(1－x) B．y=ln(2－x) C．y=ln(1+x) D．y=ln(2+x) 参考答案：B解答：关于对称，则.故选B.

9.已知角的终边过点，且，则的值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知区域Ω={（x，y）||x|≤，0≤y≤}，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域A的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】首先明确几何概型测度为区域面积，利用定积分求出A的面积，然后由概型公式求概率．【解答】解：由已知得到事件对应区域面积为=4，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，面积为2=2sinx|=，由急火攻心的公式得到所求概率为：；故选C【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确几何测度是关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=sin2x+的最大值是．参考答案：考点： 三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．

专题： 三角函数的求值．分析： 利用两角和的余弦展开，令t=cosx﹣sinx换元，转化为二次函数求最值解答．解答： 解：f（x）=sin2x+=sin2x+=sin2x+=2sinxcosx+cosx﹣sinx．令t=cosx﹣sinx，则t∈[]，∴t2=1﹣2sinxcosx，2sinxcosx=1﹣t2．原函数化为y=﹣t2+t+1，t∈[]，对称轴方程为t=，∴当t=时函数有最大值为．故答案为：．点评： 本题考查了两角和与差的余弦函数，考查了利用换元法求三角函数的最值，考查了二次函数最值的求法，是中档题．12.不等式组所表示的平面区域的面积等于________．参考答案：13.（5分）已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．参考答案：【考点】：数量积表示两个向量的夹角．计算题；平面向量及应用．【分析】：利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量和的夹角解：设向量和的夹角是α，则∵，且，∴=2﹣=2﹣2cosα∴cosα=∵α∈[0，π]∴α=故答案为：【点评】：本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题．14.椭圆（）的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，，则点与圆的位置关系是

参考答案：点在圆内15.若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值

.参考答案：18略16.若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是

．参考答案：y=x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程．解答： 解：双曲线E的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y=x，即为y=x．故答案为：y=x．点评：本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．17.椭圆x2+4y2=1的离心率为

．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆x2+4y2=1化为标准方程得，可得a2，b2．再利用即可得出．解答： 解：椭圆x2+4y2=1化为标准方程得，∴a2=1，，∴=．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=kex﹣x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若k＜0，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围，并证明0＜f（x1）＜1．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），由于f′（x）＜0，即得f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；（Ⅱ）根据导函数即可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，由单调性即可比较f（x）与2的大小；（Ⅲ）先求导数f′（x），由题意知x1、x2是方程f′（x）=0的两个根，令，利用导数得到函数φ（x）的单调区间，继而得到k的取值范围，由f′（x1）=0，则得，又由f（x1）=﹣（x1﹣1）2+1，x1∈（0，1），即可得到0＜f（x1）＜1．【解答】解：（Ⅰ）由f′（x）=kex﹣2x可知，当k＜0时，由于x∈（0，+∞），f′（x）=kex﹣2x＜0，故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．（Ⅱ）当k=2时，f（x）=2ex﹣x2，则f′（x）=2ex﹣2x，令h（x）=2ex﹣2x，h′（x）=2ex﹣2，由于x∈（0，+∞），故h′（x）=2ex﹣2＞0，于是h（x）=2ex﹣2x在（0，+∞）为增函数，所以h（x）=2ex﹣2x＞h（0）=2＞0，即f′（x）=2ex﹣2x＞0在（0，+∞）恒成立，从而f（x）=2ex﹣x2在（0，+∞）为增函数，故f（x）=2ex﹣x2＞f（0）=2．（Ⅲ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f′（x）=kex﹣2x=0的两个根，即方程有两个根，设，则，当x＜0时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；当x＞1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减且φ（x）＞0．要使有两个根，只需．故实数k的取值范围是．又由上可知函数f（x）的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，由，得，∴，由于x1∈（0，1），故，所以0＜f（x1）＜1．19.已知函数（k为常数，且）．（1）在下列条件中选择一个________使数列{an}是等比数列，说明理由；①数列是首项为2，公比为2的等比数列；②数列是首项为4，公差为2的等差数列；③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：（1）②，理由见解析；（2）【分析】（1）选②，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；（2）运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和.【详解】（1）①③不能使成等比数列.②可以：由题意，即，得，且，.常数且，为非零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知，所以当时，.因为，所以，所以，.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.20.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；（2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长.参考答案：(1)的极坐标方程为,表示圆；(2).试题分析：(1)将曲线的参数方程化为普通方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式进行转换即可;(2)将转换为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.

（2）∵直线的直角坐标方程为∴圆心到直线的距离为，∴弦长为.考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线坐标与极坐标的互化；3.直线与圆的位置关系.21.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】根据极坐标方程，参数方程与普通方程的关系求出曲线的普通方程，利用点到hi直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：由ρsin（θ﹣）=m得ρsinθcos﹣ρcosθsin=m，即x﹣y+m=0，即直线l的直角坐标方程为x﹣y+