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广东省广州市大学附属中学2022年高一数学理模拟试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.下列各函数中,最小值为2的是()A.y=x+ B.y=sinx+,x∈(0,2π)C.y= D.y=+﹣2参考答案:D【考点】7F:基本不等式.【分析】通过举反例,排除不符合条件的选项A、B、C,利用基本不等式证明D正确,从而得出结论.【解答】解:当x=﹣1时,y=x+=﹣2,故排除A.当sinx=﹣1时,y=sinx+=﹣2,故排除B.当x=0时,y==,故排除C.对于y=+﹣2,利用基本不等式可得y≥2﹣2=2,当且仅当x=4时,等号成立,故D满足条件,故选:D.2.设a、b、c是非零向量,下列命题正确的是()A.(a·b)·c=a·(b·c)B.|a-b|2=|a|2-2|a||b|+|b|2C.若|a|=|b|=|a+b|,则a与b的夹角为60°D.若|a|=|b|=|a-b|,则a与b的夹角为60°参考答案:D对于A,数量积的运算不满足结合律,A错;对于B,|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=|a|2-2|a||b|·cos<a,b>+|b|2,B错,对于C、D,由三角形法则知|a|=|b|=|a-b|组成的三角形为正三角形,则<a,b>=60°,∴D正确.3.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有()A.13项
B.12项
C.11项
D.10项
参考答案:A略4.(5分)在y=2x,这四个函数中,当0<x1<x2<1时,使恒成立的函数的个数是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3参考答案:B考点: 余弦函数的单调性;对数函数的单调性与特殊点.专题: 三角函数的图像与性质.分析: 函数f(x)只有在区间(0,1)上的函数图象是上凸型的,才能满足,由于函数y=2x、y=x2、y=cos2x区间(0,1)上的图象是下凹型的,只有y=log2x在区间(0,1)上的图象是上凸型的,从而得出结论.解答: 函数f(x)只有在区间(0,1)上的函数图象是上凸型的,才能满足,由于函数y=2x在区间(0,1)上的图象是下凹型的,故不满足条件.由于y=log2x在区间(0,1)上的图象是上凸型的,故满足条件.由于函数y=x2在区间(0,1)上的图象是下凹型的,故不满足条件.由于函数y=cos2x在区间(0,1)上的图象是下凹型的,故不满足条件.故选B.点评: 本题主要考查函数的图象特征,体现了转化的数学思想,属于中档题.5.若,则“”是“”的()A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:A略6.若是等差数列,首项,则使前n项和成立的最大自然数n是(
)A.4005
B.4006
C.4007
D.4008参考答案:B7.下列函数中,与函数y=|x|表示同一函数的是()A.y=()2 B.y= C.y= D.y=log22|x|参考答案:D【考点】判断两个函数是否为同一函数.【专题】对应思想;定义法;函数的性质及应用.【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,即可判断它们是同一函数.【解答】解:对于A,y==x,x≥0,与函数y=|x|(x∈R)的定义域不同,对应关系也不同,不是同一函数;对于B,y==x,x∈R,与函数y=|x|(x∈R)的对应关系不同,不是同一函数;对于C,y==|x|,x≠0,与函数y=|x|(x∈R)的定义域不同,不是同一函数;对于D,y=log22|x|=|x|,x∈R,与函数y=|x|(x∈R)的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数.故选:D.【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题目.8.已知是偶函数,那么函数是(
)A、奇函数
B、偶函数
C、非奇非偶函数
D、既是奇函数又是偶函数参考答案:A9.设函数,则=
A.0
B.1
C.2
D.参考答案:A10.要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为()A.t≤﹣1 B.t<﹣1 C.t≤﹣3 D.t≥﹣3参考答案:C【考点】指数函数的图象变换.【分析】函数g(x)=3x+1+t是由指数函数y=3x平移而来的,根据条件作出其图象,由图象来解.【解答】解:指数函数y=3x过定点(0,1),函数g(x)=3x+1+t过定点(0,3+t)且为增函数,要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限,只须函数g(x)=3x+1+t与y轴的交点的纵坐标小于等于0即可,如图所示,即图象不过第二象限,则3+t≤0∴t≤﹣3,则t的取值范围为:t≤﹣3.故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5,则其体对角线长为
.参考答案:长方体的体对角线的长为。12.函数f(x)=+的定义域为
.参考答案:(0,1)【考点】函数的定义域及其求法.【分析】函数f(x)=+有意义,只需2﹣2x≥0,lnx≠0,x>0,解不等式即可得到所求定义域.【解答】解:函数f(x)=+有意义,只需2﹣2x≥0,lnx≠0,x>0,解得x≤1,且x≠1,x>0,则函数的定义域为(0,1).故答案为:(0,1).【点评】本题考查函数的定义域的求法,注意偶次根式被开方数非负,分式分母不为0,对数真数大于0,考查运算能力,属于基础题.13.若为y=sin(2x+α)+cos(2x+α)奇函数,则最小正数α的值为.参考答案:考点:正弦函数的奇偶性;两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数.专题:计算题.分析:首先分析题目已知y=sin(2x+α)+cos(2x+α)是奇函数,则由奇函数的性质得:在原点的函数值为0.可把函数化为标准型再求解,取最小正数即可直接得到答案.解答:解因为y=sin(2x+α)+cos(2x+α)为奇函数,且y=sin(2x+α)+cos(2x+α)=是奇函数,则x=0时y=0所以且α是正数,所以,故答案为.点评:此题主要考查三角函数的奇偶性的问题,其中涉及到奇函数的基本性质:在原点的函数值为0.题目计算量小,属于基础题型.14.如图,在平行四边形ABCD中,E是BC中点,G为AC与DE的交点,若则用表示
.参考答案:15.已知幂函数存在反函数,若其反函数的图像经过点,则该幂函数的解析式
.参考答案:略16.在中,三边、、所对的角分别为、、,已知,,
的面积S=,则
参考答案:300或1500略17.下列命题中:(1)若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素,则k=1;(2)已知函数y=f(3x)的定义域为[﹣1,1],则函数y=f(x)的定义域为(﹣∞,0];(3)方程2|x|=log2(x+2)+1的实根的个数是2.(4)已知f(x)=x5+ax3+bx﹣8,若f(﹣2)=8,则f(2)=﹣8;(5)已知2a=3b=k(k≠1)且,则实数k=18;其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号)参考答案:(3)(5)【考点】命题的真假判断与应用.【分析】求出满足条件的k值,可判断(1);求出函数的定义域,可判断(2);求出方程根的个数,可判断(3);求出f(2)的值,可判断(4);求出k值,可判断(5);【解答】解:(1)若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素,则k=1,或k=0,故错误;(2)已知函数y=f(3x)的定义域为[﹣1,1],则3x∈[,3],则函数y=f(x)的定义域为[,3],故错误;(3)函数y=2|x|与函数y=log2(x+2)+1的图象有两个交点,故方程2|x|=log2(x+2)+1的实根的个数是2,故正确;(4)已知f(x)=x5+ax3+bx﹣8,则f(﹣x)+f(x)=﹣16,若f(﹣2)=8,则f(2)=﹣24,故错误;(5)已知2a=3b=k(k≠1)则=logk2,若,则logk2+2logk3=logk18=1,故实数k=18,故正确;故答案为:(3)(5)三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.一空间几何体的三视图如图所示,求该几何体的体积。
参考答案:.该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为,高为,所以体积为所以该几何体的体积为.19.(本小题满分16分)设关于的函数的最小值是的函数,记为.(1)求的解析表达式;(2)当=时,求的值;(3)如果方程在有两不相等的解,求实数的取值范围.参考答案:(1):----2分;--------5分.(2):
或--------7分(3):在上有一解
或或-----------16分(对一个得3分)略20.已知点P(2,0)及圆C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.(1)设过P直线l1与圆C交于M、N两点,当|MN|=4时,求以MN为直径的圆Q的方程;(2)设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.参考答案:【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(1)由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离,再根据弦长|MN|的一半及半径,利用勾股定理求出弦心距d,发现|CP|与d相等,所以得到P为MN的中点,所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标,半径为|MN|的一半,根据圆心和半径写出圆的方程即可;(2)把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程,因为直线与圆有两个交点,所以得到△>0,列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范围,利用反证法证明:假设符合条件的a存在,由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上,根据P与C的坐标即可求出l2的斜率,然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1,即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率,进而求出a的值,经过判断求出a的值不在求出的范围中,所以假设错误,故这样的a不存在.【解答】解:(1)由于圆C:x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C(3,﹣2),半径为3,|CP|=,而弦心距d=,所以d=|CP|=,所以P为MN的中点,所以所求圆的圆心坐标为(2,0),半径为|MN|=2,故以MN为直径的圆Q的方程为(x﹣2)2+y2=4;(2)把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1.代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a﹣1)x+9=0.由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A,B两点,故△=36(a﹣1)2﹣36(a2+1)>0,即﹣2a>0,解得a<
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