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广东省广州市石井中学2023年高二数学文期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b2>2ab B. C. D.参考答案:D【考点】基本不等式.【专题】综合题.【分析】利用基本不等式需注意:各数必须是正数.不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a,b∈R.【解答】解:对于A;a2+b2≥2ab所以A错对于B,C,虽然ab>0,只能说明a,b同号,若a,b都小于0时,所以B,C错∵ab>0∴故选:D【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时,必须注意满足的条件:已知、二定、三相等.2.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线方程为(
)A.x+y-5=0
B.2x+y-5=0
C.x+y+5=0
D.2x+y+5=0参考答案:B3.下列有关命题的说法正确的是
(
)A.命题“若则”的逆否命题为真命题.B.常数数列一定是等比数列为真命题.C.命题“使得”的否定是:“均有”.D.“”是“直线与垂直”的必要不充分条件.参考答案:A4.在二项式的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项的值为()A.6 B.9 C.12 D.18参考答案:B【考点】DC:二项式定理的应用.【分析】通过给x赋值1得各项系数和,据二项式系数和公式求出B,列出方程求出n,利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0得常数项.【解答】解:在二项式的展开式中,令x=1得各项系数之和为4n∴A=4n据二项展开式的二项式系数和为2n∴B=2n∴4n+2n=72解得n=3∴=的展开式的通项为=令得r=1故展开式的常数项为T2=3C31=9故选项为B【点评】本题考查求展开式各项系数和的方法是赋值法;考查二项式系数的性质;考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.5.直线m、n均不在平面内,给出下列命题:
①若,则;②若,则;③若,则;④若,则;其中正确命题的个数是(
)A、1
B、2
C、3
D、4
参考答案:D略6.抛物线的焦点坐标是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A7.已知且则的值是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A8.已知抛物线的焦点为F,点时抛物线C上的一点,以点M为圆心与直线交于E,G两点,若,则抛物线C的方程是(
)A. B. C. D.参考答案:C【分析】作,垂足为点,根据在抛物线上可得,再根据得到,结合前者可得,从而得到抛物线的方程.【详解】画出图形如图所示作,垂足为点.由题意得点在抛物线上,则,得.①由抛物线的性质,可知,因为,所以.所以,解得.
②,由①②,解得(舍去)或.故抛物线的方程是.故选C.【点睛】一般地,抛物线上的点到焦点的距离为;抛物线上的点到焦点的距离为.9.在用反证法证明命题“过一点只有一条直线与已知平面垂直”时,应假设()A.过两点有一条直线与已知平面垂直B.过一点有一条直线与已知平面平行C.过一点有两条直线与已知平面垂直D.过一点有一条直线与已知平面不垂直参考答案:C【考点】R9:反证法与放缩法.【分析】假设的结论为原结论的否定.【解答】解:命题“过一点只有一条直线与已知平面垂直”的否定为:过一点至少有两条直线与已知平面垂直,故选C.【点评】本题考查了反证法证明,属于基础题.10.函数f(x)对定义在R上的任意x都有f(2-x)=f(x),且当时其导函数满足,若,则有 ()A. B.
C. D.
参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数的取值范围是
.参考答案:略12.比较大小:403(6)
217(8)参考答案:>13.已知复数,为虚数单位),且为纯虚数,则实数a的值为______.参考答案:1【分析】直接利用复数代数形式的加减运算化简,再由实部为0求解.【详解】,,,由为纯虚数,得.故答案为:1.【点睛】本题考查复数代数形式的加减运算,考查复数的基本概念,是基础题.14.函数的最小值为
.参考答案:415.已知ab<0,则=
。参考答案:-1解析:a、b异号,讨论可得16.已知数列,,,,,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前项之和=
.参考答案:017.若函数f(x)=lnx﹣x﹣mx在区间[1,e2]内有唯一的零点,则实数m的取值范围是.参考答案:[﹣1,﹣1)∪{﹣1}【考点】6D:利用导数研究函数的极值;53:函数的零点与方程根的关系.【分析】函数f(x)=lnx﹣x﹣mx在区间[1,e2]内有唯一的零点,就是方程lnx﹣x﹣mx=0在区间[1,e2]上有唯一实数解,只需m=﹣1有唯一实数解,令g(x)=﹣1,(x>0),根据函数的单调性求出m的范围即可.【解答】解:函数f(x)=lnx﹣x﹣mx在区间[1,e2]内有唯一的零点,得﹣x+lnx=mx,又x>0,所以m=﹣1,要使方程lnx﹣x﹣mx=0在区间[1,e2]上有唯一实数解,只需m=﹣1有唯一实数解,令g(x)=﹣1,(x>0),∴g′(x)=,由g′(x)>0,得0<x<e;g′(x)<0得x>e,∴g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数.g(1)=﹣1,g(e)=﹣1,g(e2)=﹣1,故﹣1≤m<﹣1或m=﹣1故答案为:[﹣1,﹣1)∪{﹣1}.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)设函数⑴求的最小值.⑵若对恒成立,求实数的取值范围;参考答案:解:⑴,令即,得当时,,原函数单调递减;当时,,原函数单调递增;所以函数在处取到最小值,最小值。⑵由得。令,令。在处取到最大值为1,所以。略19.如图,在等腰梯形ABCD中,,,,,梯形ABCD的高为,E是CD的中点,分别以C,D为圆心,CE,CE为半径作两条圆弧,交AB于F,G两点.(1)求的度数;(2)设图中阴影部分为区域,求区域的面积.参考答案:(1)(2)【分析】(1)设梯形的高为,求得,在中,由正弦定理求得,即可得到.(2)由(1),在中,由余弦定理,列出方程,解得,利用面积公式,即可求解.【详解】(1)设梯形的高为,因为,所以.在中,由正弦定理,得,即,解得又,且,所以.(2)由(1)得.在中,由余弦定理推论,得,即,解得(舍去).因为,所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用,其中在解有关三角形的题目时,要抓住题设条件和利用某个定理的信息,合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.20.已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=2AC=4,延长CB至D,使CB=BD.
(I)求证:直线C1B//平面AB1D;
(II)求平面AB1D平面ACB所成角的正弦值.参考答案:解析:(Ⅰ)连结C1B则C1B1=CB=DB,又C1B1//BD,所以,四边形C1BDB1是平行四边形,………2分所以,C1B//B1D,
……4分又B1D平面AB1D,所以,直线C1B//平面AB1D.…6分
(Ⅱ)在△ACD中,由于CB=BD=BA,所以,∠DAC=90°,以A为原点,建立如图空间直角坐标系,则A(0,0,0),B1(,1,4),D(2,0,0),……………8分设平面AB1D的法向量,则所以取z=1,则=(0,-4,1)
取平面ACB的法向量为=(0,0,1)
……10分则所以,平面AB1D与平面ACB所成角的正弦值为
……………12分
21.数列的前项和为,,.(1)求数列的通项;(2)求数列的前项和.参考答案:∵∴即∵∴是首项为,公比为的等比数列∴(2)∴
∴略22.(本小题满分12分)设函数.(1)求的单调区间;(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.参考答案:解
:(1)函数的定义域为.
由得;
2分
由得,
3分则增区间为,减区间为.
4分(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增,
6分由,且,
8分时,
的最大值为,故时,不等式恒成立.
9分(3)方程即.记,则.由得;由得.所以g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.而g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,∴g(0)>g(2)>g(1)
10分所以,当a>1时
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