广东省广州市石井中学2023年高二数学文期末试卷含解析

广东省广州市石井中学2023年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B． C． D．参考答案：D【考点】基本不等式．【专题】综合题．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等．2.经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为(

)A.x＋y－5＝0

B.2x＋y－5＝0

C.x＋y＋5＝0

D.2x＋y＋5＝0参考答案：B3.下列有关命题的说法正确的是

(

)A．命题“若则”的逆否命题为真命题.B．常数数列一定是等比数列为真命题.C．命题“使得”的否定是：“均有”.D．“”是“直线与垂直”的必要不充分条件.参考答案：A4.在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】通过给x赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：在二项式的展开式中，令x=1得各项系数之和为4n∴A=4n据二项展开式的二项式系数和为2n∴B=2n∴4n+2n=72解得n=3∴=的展开式的通项为=令得r=1故展开式的常数项为T2=3C31=9故选项为B【点评】本题考查求展开式各项系数和的方法是赋值法；考查二项式系数的性质；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．5.直线m、n均不在平面内，给出下列命题：

①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中正确命题的个数是（

）A、1

B、2

C、3

D、4

参考答案：D略6.抛物线的焦点坐标是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知且则的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.已知抛物线的焦点为F，点时抛物线C上的一点，以点M为圆心与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】作，垂足为点，根据在抛物线上可得，再根据得到，结合前者可得，从而得到抛物线的方程.【详解】画出图形如图所示作，垂足为点.由题意得点在抛物线上，则，得.①由抛物线的性质，可知，因为，所以.所以，解得.

②，由①②，解得（舍去）或.故抛物线的方程是.故选C.【点睛】一般地，抛物线上的点到焦点的距离为；抛物线上的点到焦点的距离为.9.在用反证法证明命题“过一点只有一条直线与已知平面垂直”时，应假设（）A．过两点有一条直线与已知平面垂直B．过一点有一条直线与已知平面平行C．过一点有两条直线与已知平面垂直D．过一点有一条直线与已知平面不垂直参考答案：C【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】假设的结论为原结论的否定．【解答】解：命题“过一点只有一条直线与已知平面垂直”的否定为：过一点至少有两条直线与已知平面垂直，故选C．【点评】本题考查了反证法证明，属于基础题．10.函数f(x)对定义在R上的任意x都有f(2-x)=f(x),且当时其导函数满足,若,则有 （）A． B．

C． D．

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是

．参考答案：略12.比较大小：403（6）

217（8）参考答案：>13.已知复数，为虚数单位），且为纯虚数，则实数a的值为______．参考答案：1【分析】直接利用复数代数形式的加减运算化简，再由实部为0求解．【详解】，，，由为纯虚数，得．故答案为：1．【点睛】本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.函数的最小值为

.参考答案：415.已知ab<0，则＝

。参考答案：－1解析：a、b异号，讨论可得16.已知数列，，，，，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和=

.参考答案：017.若函数f（x）=lnx﹣x﹣mx在区间[1，e2]内有唯一的零点，则实数m的取值范围是．参考答案：[﹣1，﹣1）∪{﹣1}【考点】6D：利用导数研究函数的极值；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】函数f（x）=lnx﹣x﹣mx在区间[1，e2]内有唯一的零点，就是方程lnx﹣x﹣mx=0在区间[1，e2]上有唯一实数解，只需m=﹣1有唯一实数解，令g（x）=﹣1，（x＞0），根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：函数f（x）=lnx﹣x﹣mx在区间[1，e2]内有唯一的零点，得﹣x+lnx=mx，又x＞0，所以m=﹣1，要使方程lnx﹣x﹣mx=0在区间[1，e2]上有唯一实数解，只需m=﹣1有唯一实数解，令g（x）=﹣1，（x＞0），∴g′（x）=，由g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0得x＞e，∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数．g（1）=﹣1，g（e）=﹣1，g（e2）=﹣1，故﹣1≤m＜﹣1或m=﹣1故答案为：[﹣1，﹣1）∪{﹣1}．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)设函数⑴求的最小值.⑵若对恒成立，求实数的取值范围；参考答案：解：⑴，令即，得当时，，原函数单调递减；当时，，原函数单调递增；所以函数在处取到最小值，最小值。⑵由得。令，令。在处取到最大值为1，所以。略19.如图，在等腰梯形ABCD中，，，，，梯形ABCD的高为，E是CD的中点，分别以C，D为圆心，CE，CE为半径作两条圆弧，交AB于F，G两点.（1）求的度数；（2）设图中阴影部分为区域，求区域的面积.参考答案：（1）（2）【分析】（1）设梯形的高为，求得，在中，由正弦定理求得，即可得到.（2）由（1），在中，由余弦定理，列出方程，解得，利用面积公式，即可求解.【详解】（1）设梯形的高为，因为，所以.在中，由正弦定理，得，即，解得又，且，所以.（2）由（1）得.在中，由余弦定理推论，得，即，解得（舍去）.因为，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.20.已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AC=4，延长CB至D，使CB=BD.

（I）求证：直线C1B//平面AB1D；

（II）求平面AB1D平面ACB所成角的正弦值.参考答案：解析：（Ⅰ）连结C1B则C1B1=CB=DB，又C1B1//BD，所以，四边形C1BDB1是平行四边形，………2分所以，C1B//B1D，

……4分又B1D平面AB1D，所以，直线C1B//平面AB1D.…6分

（Ⅱ）在△ACD中，由于CB=BD=BA，所以，∠DAC=90°，以A为原点，建立如图空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（，1，4），D（2，0，0），……………8分设平面AB1D的法向量，则所以取z=1，则=（0，－4，1）

取平面ACB的法向量为=（0,0,1）

……10分则所以，平面AB1D与平面ACB所成角的正弦值为

……………12分

21.数列的前项和为，，．（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和．参考答案：∵∴即∵∴是首项为，公比为的等比数列∴（2）∴

∴略22.（本小题满分12分）设函数.(1)求的单调区间;(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.参考答案：解

：（1）函数的定义域为.

由得;

2分

由得,

3分则增区间为,减区间为.

4分(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增,

6分由,且,

8分时,

的最大值为,故时,不等式恒成立.

9分(3)方程即.记,则.由得;由得.所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1)

10分所以，当a＞1时