广东省广州市新华中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析

广东省广州市新华中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设,则下列不等式一定成立的是(

).A.

B.

C.

D.参考答案：D2.在一个投掷硬币的游戏中，把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()参考答案：A3.设，，为整数（），若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记作，已知，且，则的值可为（

）A．2011

B．2012

C．2009

D．2010参考答案：C4.等差数列的前项和为，那么值的是

（

）A．30

B．65

C．70

D．130参考答案：D略5.用反证法证明命题“已知a、b、c为非零实数，且a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，求证a、b、c中至少有二个为正数”时，要做的假设是（）A．a、b、c中至少有二个为负数 B．a、b、c中至多有一个为负数C．a、b、c中至多有二个为正数 D．a、b、c中至多有二个为负数参考答案：A【考点】反证法的应用．【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a、b、c中至少有二个为负数”，由此得出结论．【解答】解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“a、b、c中至少有二个为正数”的否定为：“a、b、c中至少有二个为负数”．故选A．6.设，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：D分析：对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得到不等式的解集，然后利用充分条件与必要条件的定义判断即可..详解：，当时，化为，解得；当时，化为，即，解得；当时，化为，解得，综上可得：的取值范围是，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将含绝对值不等式解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题7.若(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（

）A．10

B．20

C．30

D．120参考答案：B略8.已知定点P（x0，y0）不在直线l：f（x，y）=0上，则f（x，y）﹣f（x0，y0）=0表示一条（）A．过点P且垂直于l的直线 B．过点P且平行于l的直线C．不过点P但垂直于l的直线 D．不过点P但平行于l的直线参考答案：B【考点】直线的一般式方程．【分析】由当x=x0，y=y0时，f（x，y）﹣f（x0，y0）=0，可得：f（x，y）﹣f（x0，y0）=0过P点，由定点P（x0，y0）不在直线l上，可得f（x0，y0）=b≠0，即f（x，y）﹣f（x0，y0）=0表示一条斜率与l：f（x，y）=0相等的直线，进而得到答案．【解答】解：∵定点P（x0，y0）不在直线l：f（x，y）=0上，∴f（x0，y0）=b≠0，∴f（x，y）﹣f（x0，y0）=0表示一条斜率与l：f（x，y）=0相等的直线，又由当x=x0，y=y0时，f（x，y）﹣f（x0，y0）=0，故f（x，y）﹣f（x0，y0）=0过P点，故f（x，y）﹣f（x0，y0）=0表示一条过点P且平行于l的直线，故选：B9.双曲线的焦距是（）A．4 B． C．8 D．与m有关参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程可先根据公式c2=a2+b2求出c的值，进而可求焦距2c【解答】解：由题意可得，c2=a2+b2=m2+12+4﹣m2=16∴c=4焦距2c=8故选C10.已知直线，当k变化时，所有直线都过定点（

）A．

B．

C．（3，1）

D．（2，1）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线与直线间的距离是

参考答案：略12.如图算法最后输出的结果是．参考答案：67【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序语句可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当i=7时，满足进行循环的条件，S=5，i=5，当i=5时，满足进行循环的条件，S=23，i=3，当i=3时，满足进行循环的条件，S=67，i=1，当i=1时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为67，故答案为：67【点评】本题考查的知识点是程序语句，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．13.在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝，有一个点D使得AD平分BC并且∠ADB是直角，比值能写成的形式，这里m,n是互质的正整数，则m＋n＝参考答案：设BC中点为E，AD＝，由中线公式得AE＝故＝所以m＋n＝27＋38＝65

14.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400＜ξ＜450)＝0.3，则P(550＜ξ＜600)＝________.参考答案：

0.315.汽车从路灯正下方开始向前作变速行驶，汽车影长为（t的单位是秒），则汽车影长变化最快的时刻是第_________秒。参考答案：116.平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，当时把平面分成的区域数记为,则时 .参考答案：17.已知函数，若存在，使得，则实数a的值为______．参考答案：【分析】函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y′=ex=，曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，要使f（x0）≤，则f（x0）=，然后求解a即可．【详解】函数f（x）=（x+a）2+（ex+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，动点M在函数y=ex的图象上，N在直线y=x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y′=ex=，解得x=-1，所以曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，最小距离d=，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，此时N恰好为垂足，由KMN=-e，解得a=．故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）参考答案：（1）当时，当时，

……………4分（2）①当时，由，得，当时，；当时，；当时，取最大值，且

………………7分②当时，当且仅当，即时，

…10分综合①、②知时，取最大值.所以当年产量为9千件时，该企业生产此产品获利最大.

……………12分备注：当时，求得：时，，有学生认为（要取整），实际上无论取整与否，其函数均小于38，故对结论不会有影响，学生交待不清。略19.如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.（1）求证:AF∥平面PCE;（2）若二面角P—CD—B为45°,AD=2,CD=3,求点F到平面PCE的距离;（3）在（2）的条件下,求PC与底面所成角的余弦值。参考答案：解法一:(1)证明:取PC中点M,连结ME、MF,则MF∥CD,MF=CD．又AE∥CD,AE=CD,

∴AE∥MF且AE=MF.∴四边形AFME是平行四边形.∴AF∥EM.∵AF平面PCE,

∴AF∥平面PCE.

(2)解:∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,∴CD⊥PD．

∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,即∠PDA=45°.∴△PAD是等腰直角三角形.∴AF⊥PD．又AF⊥CD,∴AF⊥平面PCD,而EM∥AF,∴EM⊥平面PCD．

又EM平面PEC,∴面PEC⊥面PCD．在平面PCD内过F作FH⊥PC于H,则FH就是点F到平面PCE的距离.由已知,PD=2,PF=,PC=,△PFH∽△PCD,∴=.

∴FH=.

(3)解:∵PA⊥平面ABCD,∴AC是PC在底面上的射影.

∴∠PCA就是PC与底面所成的角.由(2)知PA=2,PC=,

∴sin∠PCA==,即PC与底面所成的角余弦值cos∠PCA==,

解法二：(1)证明:取PC中点M,连结EM,∵=+=+=+(+)=++=++=,∴AF∥EM.又EM平面PEC,AF平面PEC,∴AF∥平面PEC．

(2)解:以A为坐标原点,分别以、、所在直线为x、y、z轴建立坐标系.∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,

∴CD⊥PD．∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,即∠PDA=45°.∴A(0,0,0)、P(0,0,2)、D(0,2,0)、F(0,1,1)、E(,0,0)、C(3,2,0).设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,而=(－,0,2),=(,2,0),∴－x+2z=0,且x+2y=0.

解得y=－x

,z=x.取x=4,得n=(4,－3,3).

又=(0,1,－1),故点F到平面PCE的距离为d===.

(3)解:

∵PA⊥平面ABCD,

∴AC是PC在底面上的射影.∴∠PCA就是PC与底面所成的角.=(－3,－2,0),=(－3,－2,2).∴cos∠PCA==,

即PC与底面所成的角的余弦值是.

略20.（本题满分12分）已知函数在与x=1时都取得极值，（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若对，不等式恒成立，求实数c的取值范围.参考答案：21.已知动圆C经过点，.（1）求周长最小的圆的一般方程；（2）求圆心在直线上的圆的标准方程.参考答案：（1）以线段AB为直径的圆的周长最小，AB中点坐标(0,1)，，圆的标准方程为，一般方程为；（2）线段AB中垂线的斜率为，中垂线方程为，联立方程，得圆心坐标(3,2)，半径，标准方程为22.已知等比数列{an}中每一项都是正数，如果a2=4，a1?a5=64（1）求数列{an}的通项公式an（2）若数列{n?an}的前n的和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等比数列的性质可求得a3=8，又a2=4，从而可求得公比q=2，于是可求得数列{an}的通项公式；（2）由（1）知a