广东省广州市大学附属中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析

广东省广州市大学附属中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知x,y满足约束条件

，则的最大值是

（

）

A．

B．

C．2

D．4参考答案：B2.已知实数x，y满足则z=|x+4y|的最大值为（）A．9 B．17 C．5 D．15参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，设t=x+4y，将其对应的直线进行平移并观察直线在轴上的截距变化，可得﹣17≤x+4y≤5，由此即得z=|x+4y|的最大值为17．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣3，5），B（﹣3，﹣3），C（1，1）设t=F（x，y）=x+4y，将直线l：t=x+4y进行平移，∵F（﹣3，5）=﹣17，F（﹣3，﹣3）=﹣15，F（1，1）=5，∴当l经过点C时，目标函数t达到最大值；当l经过点B时，目标函数t达到最小值由此可得：﹣17≤4x+y≤5，即得z=|x+4y|的最大值为17故选：B3.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是(

).A．①②③ B．①②

C．②③ D．①③④参考答案：D4.

某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是（

）A．B．C．D．参考答案：A5.设，则（

）A．0.16

B．0.32

C．0.84

D．0.64参考答案：A6.若实数满足则的最小值是

A．0

B．1

C．

D．9参考答案：B略7.在极坐标系中，曲线关于（）

A.直线轴对称BB．直线轴对称D．

C.点中心对称

D.极点中心对称参考答案：B将原极坐标方程，化为：ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，化成直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0，是一个圆心在（﹣，1），经过圆心的直线的极坐标方程是直线轴对称．故选B．8.函数f（x）=x2﹣lnx的递减区间为（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣=，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函数f（x）在（0，1）递减，故选：B．9.在等差数列中，已知，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C10.下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件

②若为两个事件，则③若事件两两互斥，则④若事件满足则是对立事件.其中错误命题的个数是（

）A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.球O的半径为1，点A、B、C在球面上，A与B、A与C的球面距离都是，B与C的球面距离为，则球O在二面角B–OA–C内的部分的体积是

；表面积是

。参考答案：，12.将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①面是等边三角形；

②；

③三棱锥的体积是.其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）

参考答案：①②.13.设曲线

。参考答案：114.曲线在点P（0，1）处的切线方程是__________。参考答案：15.已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是

．参考答案：略16.已知关于x的不等式的解集为，则实数=

．参考答案：317.将边长为1的正方形ABCD延对角形AC折起，使平面平面，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：1

面是等边三角形； 2

③三棱锥D-ABC的体积为其中正确命题的序号是_________（写出所有正确命题的序号）参考答案：①②三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆：的短轴长为，且斜率为的直线过椭圆的焦点及点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线过椭圆的左焦点，交椭圆于点P、Q.（ⅰ）若满足（为坐标原点），求的面积；（ⅱ）若直线与两坐标轴都不垂直，点在轴上，且使为的一条角平分线，则称点为椭圆的“特征点”，求椭圆的特征点．参考答案：解：（Ⅰ）由题意可知，直线的方程为，………1分∵直线过椭圆的焦点，∴该焦点坐标为∴…………2分又椭圆的短轴长为，∴，∴………3分∴椭圆的方程为………4分（Ⅱ）（ⅰ）∵∴………6分∴…………8分（ⅱ）设特征点，左焦点为，可设直线PQ的方程为，由消去得设，则……………10分∵为的一条角平分线，∴，即…………12分又，，代入上式可得∴，解得∴椭圆C的特征点为．………14分略19.（本小题满分12分）如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，,点在底面内的射影恰好是的中点，且(1)求证:平面平面;(2)若，求点到平面的距离.参考答案：(1)取中点，连接，则面，，----------5分（2）设点到平面的距离，…………6分,……8分……12分

20.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，且|AB|=，求l的斜率．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，能求出C的极坐标方程．（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为=0，圆心（﹣6，0）到直线l的距离d==，由此能求出l的斜率k．【解答】解：（Ⅰ）∵在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，∴C的极坐标方程为ρ2+ρcosθ+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，∴直线l的直角坐标方程为=0，∵l与C交于A，B两点，且|AB|=，∴圆心（﹣6，0）到直线l的距离d==，解得cosα=，当cosα=时，l的斜率k=tanα=2；当cosα=﹣时，l的斜率k=tanα=﹣2．21.（14分）已知定义在正实数集上的函数，其中a>0。设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同。（1）用a表示b，并求b的最大值；（2）求证：参考答案：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同。

2分

由题意。

即由

得（舍去）

即有。

4分

令则。于是

当，即；

当，即。

故h(t)在为增函数，在为减函数，

于是h(t)在的最大值为。

7分

（Ⅱ）设

10分

则。

10分

故F(x)在(0，a）为减函数，在为增函数，

于是函数F(x)在上的最小值是。

故当x>0时，有，即当x>0时，14分22.有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和．参考答案：【考点】84：等差数