广东省云浮市千官中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

广东省云浮市千官中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则等于(

)

A．2

B．2

C.

D.参考答案：D2.已知集合A={x|y=ln（1﹣2x）}，B={x|x2≤x}，则?A∪B（A∩B）=（）A．（﹣∞，0） B．（﹣，1] C．（﹣∞，0）∪[，1] D．（﹣，0]参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】分别求出关于集合A、B中的x的范围，从而求出A∪B，A∩B，进而求出?A∪B（A∩B）．【解答】解：∵集合A={x|y=ln（1﹣2x）}，∴A={x|1﹣2x＞0}={x|x＜}，∵B={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，∴A∪B={x|x≤1}，A∩B={x|0≤x＜}，∴?A∪B（A∩B）=（﹣∞，0）∪[，1]，故选：C．【点评】本题考查了集合的交、并、补集的运算，是一道基础题．3.定义域为R的函数当时，，若时，恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B．C． D．参考答案：C4.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：并集是所有元素，故.考点：集合并集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.5.下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足?＜0，则与的夹角为钝角参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题．【分析】A．我们知道：命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，同时注意“x=y=0”的否定是“x，y中至少有一个不为0”，据此可以判断出A的真假．B．依据“命题：?x0∈R，结论p成立”，则￢p为：“?x∈R，结论p的反面成立”，可以判断出B的真假．C．由于，因此在△ABC中，sinA＞sinB?＞0?A＞B．由此可以判断出C是否正确．D．由向量，可得的夹角，可以判断出D是否正确．【解答】解：A．依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可知：命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”．可判断出A正确．B．依据命题的否定法则：“命题：?x0∈R，﹣x0+1≤0”的否定应是“?x∈R，x2﹣x+1＞0”，故B是真命题．C．由于，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0，∴，又0＜B＜A＜π，∴0＜A﹣B＜π，∴，∴．据以上可知：在△ABC中，sinA＞sinB?＞0?A＞B．故在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件．因此C正确．D．由向量，∴，∴的夹角，∴向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角π，∴可以判断出D是错误的．故答案是D．【点评】本题综合考查了四种命题之间的关系、命题的否定、三角形中的角大小与其相应的正弦值之间的大小关系、向量的夹角，解决问题的关键是熟练掌握其有关基础知识．6.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出四个二元函数:①；②；③；④.能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是

A.①

B.②

C.③

D.④参考答案：A略7.（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为（）A．B．C．1D．参考答案：D【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值范围，代入化简即可得到答案．解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．【点评】：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．8.已知M，N是四边形ABCD所在平面内的点，满足：，则(

)A. B.C. D.参考答案：C【分析】将变形为，可得四边形是平行四边形，又由利用向量加法运算法则可得.【详解】由得，所以四边形是平行四边形，又由得，选C．【点睛】本题考查向量的运算，向量加法的三角形法则，考查转化能力及运算能力，属于基本题.9.如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于 （

）A． B．C． D．参考答案：B10.不等式组表示的平面区域的面积等于A． B．2 C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥A-SBC的体积为，各顶点均在以SC为直径球面上，，则这个球的表面积为_____________。参考答案：16π【分析】由，所以为直角三角形，设三棱锥的高为，解得，取的中点，连接，根据球的性质，可得平面，得出,再在在直角中，利用勾股定理，求得球的半径，即可求解.【详解】由题意，设球的直径是该球面上的两点，如图所示，因为，所以为直角三角形，设三棱锥的高为，则，解得，取的中点，连接，根据球的性质，可得平面，所以,在直角中，,即球的半径为，所以球的表面积为.【点睛】本题主要考查了球内接三棱锥的组合体的应用，其中解答中熟练球的截面的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题.12.若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是__________．参考答案：13.已知离心率是的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，则该双曲线的标准方程为．参考答案：【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】利用抛物线方程求出双曲线的焦点坐标，通过离心率求出a，然后求解b，即可求解双曲线方程．【解答】解：离心率是的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，可得c=5，=，可得a=，则b==2．所求的双曲线方程为：．故答案为：．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．14.在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是．参考答案：【考点】等可能事件的概率．【分析】先求出“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，即得所求．【解答】解：从中随机抽取2个球，所有的抽法共有=6种，事件“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件为“所抽取的球中没有红球”，而事件：“所抽取的球中没有红球”的概率为=，故事件“所抽取的球中至少有一个红球”的概率等于1﹣=，故答案为．15.已知实数x，y满足不等式组，且z=2x-y的最大值为a，则=______．参考答案：6分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标函数的几何意义，利用平移法进行求解可得a的值，然后求解定积分即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x-y得y=2x-z，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点B时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大．由，得，即a=zmax=2×4-2=6，则==6lnx=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想以及函数的积分公式是解决此类问题的基本方法，属中档题．16.已知函数，其中，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，函数在区间上的最大值为，最小值为，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）(x)＝3x2－6ax＝3x（x－2a），令(x)＝0，则＝0，x2＝2a，（1）当a＞0时，0＜2a，当x变化时，(x)，(x)的变化情况如下表：x（－，0）0（0，2a）2a

（2a，＋）(x)＋0－0＋(x)↗极大值↘极小值↗所以函数(x)在区间（－，0）和（2a，＋）内是增函数，在区间（0，2a）内是减函数．（2）当a＜0时，2a＜0，当x变化时，(x)，(x)的变化情况如下表：x（－，2a）2a

（2a，0）0（0，＋）(x)＋0－0＋(x)↗极大值↘极小值↗所以函数(x)在区间（－，2a）和（0，＋）内是增函数，在区间（2a，0）内是减函数．（Ⅱ）由及（Ⅰ），(x)在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，又(2)－(1)＝（8－12a＋b）－（1－3a＋b）＝7－9a＞0，∴M＝(2)，m＝(2a)＝8a3－12a3＋b＝b－4a3．∴M－m＝（8－12a＋b）－（b－4a3）＝4a3－12a＋8．设g(a)＝4a3－12a＋8，∴(a)＝12a2－12＝12（a＋1）（a－1）＜0（a[]）．∴g(a)在[]内是减函数．故g(a)max＝g()＝2＋＝，g(a)min＝g()＝－1＋4＝．∴≤M－m≤．

略17.已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则?U（A∪B）=

．参考答案：{2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据已知中集合U，A，B，结合集合的并集和补集运算的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={1，4}，B={3，4}，∴A∪B={1，3，4}，又∵全集U={1，2，3，4}，∴?U（A∪B）={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD.四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且，是边长为1的等边三角形，M为线段BD中点，.(1)求证：；(2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值；(3)线段BD上是否存在点N，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）见解析（2）（3）线段BD上存在点N,使得直线平面AFN，且，详见解析.【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证得平面，由此证得.（2）取中点，中点，连接，证得两两垂直.分别以为轴建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量计算出线面角的正弦值.（3）通过向量共线设出点坐标，求得的坐标，根据列方程，解方程求得的值，由此证得存在点符合题意.【详解】(1)证明：因为为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以．

(2)取AD中点O,EF中点K，连接OB，OK.于是在△ABD中，，在正方ADEF中，又平面平面，故平面，进而，即两两垂直．

分别以为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系（如图）．于是，，,,,所以设平面的一个法向量为，则

即

令，则，则．设直线与平面所成角为，

(3)要使直线平面，只需，设,则,,，所以,又，由得解得所以线段BD上存在点N,使得直线平面AFN，且．【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查利用空间向量法求线面角的正弦值，考查利用空间向量法求解存在性问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.已知椭圆过点，且离心率e＝.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。参考答案：（Ⅱ）设

由消去并整理得

…………8分∵直线与椭圆有两个交点，即又

中点的坐标为……10分设的垂直平分线方程：在上

即……11分将上式代入得

即或

的取值范围为……12分

略20.（本题满分9分）在中，内角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设边的中点为，，求的面积．参考答案：【答案解析】(1)(2)解析：解：(I)由，得又代入得由，得得，(II),则，【思路点拨】根据正弦定理列出关系式求出角A，再根据余弦定理求出边长及三角形的面积.21.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；（Ⅱ）随机抽取8位同学，数