高中数学苏教版1本册总复习总复习 模块综合测评

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.)1.已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则綈p为________.【解析】根据全称命题的否定为存在性命题可知，綈p为∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1.【答案】∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤12.下列求导数的运算：①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2)；②(log2x)′＝eq\f(1,xln2)；③(3x)′＝3xlog3x；④(x2cosx)′＝－2xsinx；⑤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,lnx)))′＝eq\f(xcosx·lnx－sinx,xlnx2).其中正确的是________(填序号).【解析】①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)，故错误；②符合对数函数的求导公式，故正确；③(3x)′＝3xln3，故错误；④(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故错误；⑤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,lnx)))′＝eq\f(cosx·lnx－sinx·\f(1,x),lnx2)＝eq\f(xcosx·lnx－sinx,xlnx2)，正确.【答案】②⑤3.已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′【导学号：24830095】【解析】∵函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，∴f(1)＝1，f′(1)＝eq\f(1,2)，∴f(1)＋2f′(1)＝2.【答案】24.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为________.【解析】双曲线的a2＝1，b2＝eq\f(1,2)，c2＝eq\f(3,2)，c＝eq\f(\r(6),2)，∴右焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0))5.“a＞1”是“eq\f(1,a)＜1”的________条件.【解析】由eq\f(1,a)＜1得：当a＞0时，有1＜a，即a＞1；当a＜0时，不等式恒成立.所以eq\f(1,a)＜1⇔a＞1或a＜0，从而a＞1是eq\f(1,a)＜1的充分不必要条件.【答案】充分不必要6.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝eq\r(3)x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同.则双曲线的方程为________.【解析】由双曲线渐近线方程可知eq\f(b,a)＝eq\r(3)，①因为抛物线的焦点为(4,0)，所以c＝4，②又c2＝a2＋b2③，联立①②③，解得a2＝4，b2＝12，所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.【答案】eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝17.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1所示，则函数f(x)的极大值是________，极小值是________.图1【解析】由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.【答案】f(－2)f(2)8.函数y＝f(x)的图象如图2所示，则导函数y＝f′(x)的图象大致是________(填序号).图2【解析】由f(x)的图象及f′(x)的意义知，在x＞0时，f′(x)为单调递增函数且f′(x)＜0；在x＜0时，f′(x)为单调递减函数且f′(x)＜0.故选④【答案】④9.函数y＝xlnx，x∈(0,1)的单调增区间是________.【解析】函数y＝xlnx的导数为y′＝(x)′lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋1，(x＞0)由lnx＋1＞0，得x＞eq\f(1,e)，故函数y＝xlnx的增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))10.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________.【解析】设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm，则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0＜x＜5)，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或x＝eq\f(20,3)(舍去)，∴ymax＝6×12×2＝144(cm3).【答案】144cm311.若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内只有极小值，则实数b的取值范围是________.【解析】∵f′(x)＝3x2－6b，由题意知，函数f′(x)图象如下.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′0＜0,f′1＞0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6b＜0,3－6b＞0))，得0＜b＜eq\f(1,2).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))12.椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为________.【解析】依题意可知点F(－c,0)，直线AB斜率为eq\f(b－0,0－a)＝－eq\f(b,a)，直线BF的斜率为eq\f(0－b,－c－0)＝eq\f(b,c)，∵∠FBA＝90°，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))·eq\f(b,c)＝－eq\f(b2,ac)＝－eq\f(a2－c2,ac)＝－1整理得c2＋ac－a2＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋eq\f(c,a)－1＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(\r(5)－1,2)或－eq\f(\r(5)＋1,2)∵0＜e＜1，∴e＝eq\f(\r(5)－1,2).【答案】eq\f(\r(5)－1,2)13.设AB为过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦，则AB的最小值为________.【解析】焦点F坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设直线L过F，则直线L方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，联立y2＝2px得k2x2－(pk2＋2p)x＋eq\f(p2k2,4)＝0，由韦达定理得x1＋x2＝p＋eq\f(2p,k2).AB＝x1＋x2＋p＝2p＋eq\f(2p,k2)＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))，因为k＝tana，所以1＋eq\f(1,k2)＝1＋eq\f(1,tan2α)＝eq\f(1,sin2α).所以AB＝eq\f(2p,sin2α)，当a＝90°时，即AB垂直于x轴时，AB取得最小值，最小值是AB＝2p.【答案】2p14.定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞1－f(x)，f(0)＝6，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)＞ex＋5(其中e为自然对数的底数)的解集为________.【解析】设g(x)＝exf(x)－ex，(x∈R)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，∵f′(x)＞1－f(x)，∴f(x)＋f′(x)－1＞0，∴g′(x)＞0，∴y＝g(x)在定义域上单调递增，∵exf(x)＞ex＋5，∴g(x)＞5，又∵g(0)＝e0f(0)－e0＝6－1＝5，∴g(x)＞g(0)，∴x＞0，∴不等式的解集为(0，＋∞)【答案】(0，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)已知条件p：∃m∈[－1,1]使不等式a2－5a＋5≥m条件q：x2＋ax＋2＝0有两个负数根，若p∨q为真，且p∧q为假，求实数a的取值范围.【解】∵p∨q为真，p∧q为假，∴p，q一真一假.由题设知，对于条件p，∵m∈[－1,1]，∴m＋2∈[1,3]，∵不等式a2－5a＋5≥1成立，∴a2－5a＋4≥0，解得a≤1或a≥4.对于条件q，∵a2＋a＋2＝0有两个负数解，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－8≥0,x1＋x2＝－a＜0))，∴a≥2eq\r(2)，若p真q假，则a≤1；若p假q真，则2eq\r(2)≤a＜4，∴a的取值范围是：a≤1或2eq\r(2)≤a＜4.16.(本小题满分14分)过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程.【导学号：24830096】【解】设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵M(2,1)为AB的中点∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵又A、B两点在椭圆上，则xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,1)＝16，xeq\o\al(2,2)＋4yeq\o\al(2,2)＝16,两式相减得(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋4(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝－eq\f(4,4×2)＝－eq\f(1,2)，即kAB＝－eq\f(1,2)，故所求直线的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.17.(本小题满分14分)已知a＜2，函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)的极大值是6·e－2，求a的值.【解】(1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x＋1)ex，∴f′(x)＝(x2＋3x＋2)ex，由f′(x)≥0，得x≤－2或x≥－1，∴f(x)的增区间为(－∞，－2]，[－1，＋∞).(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋2a]ex，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝－a列表讨论，得：x(－∞，－2)－2(－2，－a)－a(－a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴x＝－2时，f(x)取得极大值，又f(－2)＝(4－a)·e－2，f(x)的极大值是6·e－2，∴(4－a)·e－2＝6·e－2，解得a＝－2.∴a的值为－2.18.(本小题满分16分)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值.【解】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝eq\f(4,3).(2)l的方程式为y＝x＋c，其中c＝eq\r(1－b2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c，,x2＋\f(y2,b2)＝1，))化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则x1＋x2＝eq\f(－2c,1＋b2)，x1x2＝eq\f(1－2b2,1＋b2).因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝eq\r(2)|x2－x1|，即eq\f(4,3)＝eq\r(2)|x2－x1|.则eq\f(8,9)＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\f(41－b2,1＋b22)－eq\f(41－2b2,1＋b2)＝eq\f(8b4,1＋b22).解得b＝eq\f(\r(2),2).19.(本小题满分16分)设函数f(x)＝2lnx－x2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)＋x2－x－2－a＝0在区间[1,3]内恰有两个相异实根，求实数a的取值范围.【解】(1)f′(x)＝eq\f(21－x2,x)，∵x＞0，x∈(0,1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1).(2)将f(x)代入方程f(x)＋x2－x－2－a＝0得2lnx－x－2－a＝0，令g(x)＝2lnx－x－2－a则g′(x)＝eq\f(2－x,x)；∴当2≤x≤3时，g′(x)＜0；∴g(2)是g(x)的极大值，也是g(x)在上的最大值；∵关于x的方程f(x)＋x2－x－2－a＝0在区间内恰有两个相异实根；∴函数g(x)在区间[1,3]内有两个零点；则有：g(2)＞0，g(1)＜0，g(3)＜0，所以有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ln2－4－a＞0，,－3－a＜0，,2ln3－5－a＜0，))解得：2ln3－5＜a＜2ln2－4，所以a的取值范围是(2ln3－5,2ln2－4).20.(本小题满分16分)已知椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y