专题五、与代数及图形几何间的综合

(2012省安顺市)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OAOC分别为12cm、6cm，A、Cyxyax2bxcAB，且18ac0PAAB1cm/sB移动，同时点QBBC2cm/sC①移动开始后第t秒时，设△PBQSS与t之间的函数关系式，并写出t的SRPB、QR为顶点的四边形是R点的坐标，如果不存在，请说明理由．（1）A(0，12)，又18ac0，a23xb4

3y2x24x123（2）①S12t6t)t26t(t3)29t的取值范围（0t62②当t3SPB、QRR的坐标就是(3，18).R不满足条件．(2012省随州市)在一次数学活动课上，老师出了一道题（1）x22x30x的方程mx2m3)x30（m为常数，且m0xymx2m3)x3（m为常数mxy轴上的两个定点（xAy轴上的定点为C②若m0xB.当△ABCm的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围.答案：（1）x22x30，得(x1)(x3)0（2）方法一：由mx2m3)x3得(x1mx3)03∵m0，∴x1，x 3 2：x1,2

3m

(m3)2

3mm33∴x1，x 3 （3）①1°当m0ymx2m3)x3y3x3yx1x0，则y32°当m0ymx2m3)x3y(x1mx30 0 观察图象，可知，当△ABCRt△时，则△AOC∽△COBAOCO. ∴OC2OAOB，∴321|OB|.B(0)∴当0

39m1 m1△ABC3，当0m1B点在(90)的右边时，∠ACB，3m0且m3BxBA..△ABC∴当0m1m0m3△ABC3(2012浙江省衢州市)如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、ODxA(2)A、Cxy轴EFyax2bxc经过OA、CP为线段OCPyMxNPABPMP的坐标；若若△AOB沿AC方向平移（点A始终段AC上，且不与点C重合，△AOB在移过程中与

答案：（1）抛物线yax2bxc经过OA、ab解得a3，b7 y3x27 2Ptt

3 7

在抛物线上,M t t 2

2MMGAB于GPPHABHyyFAM POBN xGAGy 23t27t3t27t2 2 BHPN2AGBHABPM3t27t2 3t28t40，解得t=2t2 P的坐标为21，33 P21ABPM，33(3)如图，△AOBAC方向平移至△AOBABx轴于T，交OC于QAOKOCRACyACx3AaA(aa3，易知△OQT∽△OCDyFAA′ARCRQD BK O′ aa可得QT

点Q的坐标为 2AB与OCJ△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，

HT

OB

3a12

12

， 22

OB KT1AT1(3a)，AQyy(a3)a33

S△AKT

13

1 21a23a

21 3 a 1

A33由于

AC

， 223能使部分面积S取到最大值，最大值为8

OB1

（1（2）

OB1KT3a2

由（3（4）3aa3OH 即OH2a2RHa1,R的坐标为R(2a2a

- 四边形

·21a1a-113a5·(a22 2 2 1a23a 1 3

33 a .由于 段AC上存在点

，2 2 3

22能使部分面积S取到最大值，最大值为8AB2，OBtanOABtanOAB12·· OKOTKTa1a33a3 2 过点RRHx轴于H，tanAOBtanRKH

2，RH又tanOABtanROHRH OK 2RHOKKH2RH3a31 S四边形RKJQSAKTS1KT·AT1AQ·(x-x · 13 1 3 2 21a23a 1 3

33 a .由于 段AC上存在点

，2 2 3

22能使部分面积S取到最大值，最大值为8(2012福建 y1x2hP、Q 求h通过操作、观察，算出△POQ面积的最小值（不必说理P、CxB，试问：在直线lAOBQ是（1）y1x24经过点C102h4hPQx△POQ令（1）y1x21y2x4BQ，若lx轴不平行（如图PQx轴不平行y1x21上的点4Pa1 1 a1、Qbb a0bBCyk1x1P1a21ak1k1a y1ax14y0

4aA的直线lykx2P、1a21ak2…①1b21bk44①b②a1a2bb2aba2ba4baB与Q的横坐标相同，BQyBQ∥OA，又AQ与OB不平行，AOBQ是梯形．据抛物线的对称性可得a0b结论相同故在直线l旋转过程中：当lxAOBQ是梯形，当lx轴平行时，四边AOBQ是正方形．NyH， HA， Px1，y1，Bx0，0Px0，y2y1y2 x0

1…① x0

2y2y1y1x21，代入

1x21

x

4 4

04 由

y1y22241x24y2

4

x x4

1x21 4M

y1x21上，即为点Q，故QBy4AQ与OB不平行，AOBQ据抛物线的对称性可得y1y2故在直线l旋转过程中：当lxAOBQ是梯形；当lxAOBQ(2012省襄阳市)如图，在矩形OABC中，AO10，AB8，沿直线CD折叠矩OABCBCB落在OAE处．分别以OC，OAxyax2bxc经过ODCPEEC2C运动，同时动点Q从点CCO1OP运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当tPQC为顶点的三角形与△ADE相似？（3）NMMNM，N，C，EMN的坐标（不写求解过程）；（1）OAB=AOC=B=90，ABCD8，AOBC10BDBC90ECBC10EDBD．由勾股定理易得EO6．AE1064ADxBDDE8xx2428x2．解之得xAD3．a 解之得 64a8b

b y2x216x （2）DEA+OEC=90，OCEOEC90而CQt，EP2t，PC102t．当PQC=DAE90△ADE∽△QPCCQCP

102t，解得t40 当QPC=DAE90△ADE∽△PQCPCCQ，即102tt，解得t25 当t4025P，Q，C为顶点的三角形与△ADE M432 14 3，，N3 3 3)B(20)PxPAPC，求OPMMACH△①若M在y轴右侧， ∽△AOC（点C与点A对应求点M的坐标△②若⊙M的半径为 5，求点M的坐标5（1）x0y2代入，得2a(01)(02．解得a1．yx1)(x2yx2x2设OPx，则PCPAxRt△POCx222x1)2x3，即OP32△①△

1：H在点CCM∥x轴yH2x2x222：H在点C上方时由（2）M为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CMykx2．P303k20 解得k4y4x2 4x2x2x23x0（舍去x73 ，3945②在x轴上取一点D，过点D作DEAC于点E，使DE45 5AD AD2．52D0DDMACM，则直线DM的解析式为：y2x2y2x62当2x6x2x2时，方程无实数解．当2x2x2x2时，2

2

17，

1172MM117317M117317． (2012江苏省扬州市)1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，A、Cxy轴的正半轴上，且OA2OC1AC、OB相EE的直线与边OABC分别相交于点GH①直接写出点E的坐标 ；②求证：AGCH2，以OOC为半径画弧交OAD，若直线GH与弧CD所在的圆相切F，求直线GH的函数关系式；在（2）ABHGP，当⊙PHG、GAAB求⊙P1 11（1）① 2②证明：在矩形OABCEAECOABCED、OF、OBD为OAE为OBED1AB1，且EDAB 又直线GH切⊙OFEFED12HC是⊙OHFHC由（1）EHEG∴EG1m，FG1m2∴2m2121m2m1OG2m5，点G坐标为50 E11 设直线GHykxb

、G01k k3

2 得 得 解得 0

k3

b ∴直线GHy3x5 BG，作BAOBCMBGP由（2）BH5GH5 ∴BHGH∵BC∥OA即GB平分HGAP45，∴MAMB1，∴MC1，MAMyk1xb1k1b1

b k1b1∴yx2BGyk2xb250 2k2b2

∴

解得 b2∴y3x5x7yx 由y3xP

解得y1 71∴点的坐标为∴⊙P

441.4(2012省乐山市)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，m)，点B的坐标为(n，nA、OB三点，连结OA、OBABABy轴于点C．已知实数mn（mn）x22x30P为线段OB上的一个动点（不与点OB重合PCD两点（Dy轴右侧ODBD①当△OPCP②求△BODD答案：（1）x22x30x3，x=-1． yax2bx1ab解得a1，b139a y1x21x （2）ABykxb1k33kb

k1，b3 ABy1x3 2 2直线OByx△OPC为等腰三角形，OCOP或OPPC或OCPC．Px，（i）当OCOP时x2x294x32，x32（舍去）．P3232

1 4 2 4当OPPC时，点 段OC的中垂线上，P3，-2 4 当OCPC时，由x2x3)29 x

3 2 PP3232P3，3P33 1 4

2 4

3 2 DDGx轴，垂足为G，交OB于QBBHxH设Qx，D1x21x 2

=1DQOG1DOGH1DQ(OGGH 1

1

3 3 2 0x2 0x2

x2

x32

x44

16x3S27D33 (2012湖南省张家界市)

yx253x2x轴交于C、A3B，点OABDABykD，求kxP、QAABAOB、OP1Q1个单位，设△POQS，移动时间为t，问：在P、2S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值，若不存在，请（1）y0，即x23

3x20解得x1

3，x 3 3C(

0)30)3AByk1x2A(230k13

23k13ABy

3x23D点与OABODOA233D3ykD3x3

333

k，k

APt，AQ1t23OQ 1t32P到OQ1t23 13

1t)1t1(t

23

t≤2t2得0t≤42当t

3S有最大值为．32(2012浙江省丽水市)在△ABC中，ABC45，tanACB3．如图，把5BCx轴上，有OB14OC1034ACyE3过点O作OGAC，垂足为G，求△OEG形与△OFPOPP的坐标；在Rt△OCE中OEOCtanOCE10343234 ACykx234，有1034k3

0k35ACy3x2345方法1：在Rt△OGE中tanEOGtanOCEEG3EG3t，OG5t，OE

EG2EG2

34t，得t2．

1OGEG110630 2：在Rt△OCE3sinOCE 3

tanOCE35OGOCsinOCE3

34 10335

1OGEG110630 ①当点QAC上时，点Q即为点G，1，作FOQ的角平分线交CEP1，y3105

2346②当点QAB2，有OQOF．作FOQ的角平分线交CEP2，过点Q作QHOBH，设OHa，BHQH14a在Rt△OQHa214a2100．a16，a2=8．M2，4．此时直线OMy2xy

x10 y3x234.解得：

y

P

34

342 33

34，3，

343，有QP4∥OF，QP4OF10设点P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为x10yQyPAByx14x10143x 5x53410y5346 P53440534+6点4 ， ③当QBC4，OQOF10P5E

34

34 2 P

34

34

P53410534+63 ，4

(2012省南充市)在Rt△POQ中，OPOQ4，M是PQ中点，把一三角尺的MM为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边A、B．MAMBAB△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求（1）证明：连接OM，Rt△POQOPOQ4MPQ2OMPM1PQ22

45．△AOB△PMA

令OAxABy，则y2x24x)22x28x162(x2)28≥8．当x2时y2有最小值=8，y22．2故△AOB的周长存在最小值，其最小值是4 2(2012黑龙江省齐齐哈尔市)Rt△AOBOAOB分别在yxOAOBx27x120的两根（OAOB动点P从点A开始段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动同时，动点Q从点B开始段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒求当t△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q当t2MA、P、Q、M为顶点的四边形是平行M点的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）x27x12x13x2A(3，B(0)(2)APtAQ5①当APQAOB△APQ

t5 解得t

Q(20，11，②当AQPAOB△APQ

t5 解得t12所以可得

，13M(4 4 4 ，)，M2(，)，M3( 5 5)60B、C的坐标：B(、C(A、B、点E放段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点，并使ED所在直线经过点C，此EF所在直线与（1）中的抛物线交M.AExx△OCE∽△OBCP使△PEM是等腰三角形，若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.B(0)AB、Cya(xx1)(xx2)(a0ya(x1)(x又C(0，3)在抛物线3 a(x1)(x3ayy

33(x1)(x333x223x3 2：AB、Cyax2bxc(a0)abc9a3bc3c333a b2 3c3y

3x223x3 3（2）①解：当△OCE∽△OBCOC OC 3，OEAEAOx1，OBx3x33xx2△OCE（2）P.理由如下：E(0)

点CMx

1M(20)MN EN若△PEMEPEM时EM2Px1P2)EMPMMEPP2EMPMPEMx1，P(123，3，P点坐标为(12)或(1，-2)或23或(123时，△EPM，3B(0)90．求点C求Rt△ACB的角平分线CD所在直线l在l

12

△

PM在lN，使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱N的坐标；若不存在，请说答案：（1）由△AOC∽△COB，可得OC2OAOB36，OC(06)DDEBCEDB的长为m 5 2545，255由CEBEBC，即25m 5m ，得m5 又由OAOB，知点D段OA上，OB3，所以OD2，故点D(2，0)；设直线lykxb，把C(06)D(2，0ykxb中，b得2kb

，解之，得k3，故直线ly3x6b

12

△

，P1为符合题意的点直线P1可由直线BC向左平移

BCy2x6P1Fy2(x7.56y2x

y2x，由y3x

得到点S△P2

12

△

(15)P(15)

1，9，910

△ACB3918639

3(3) ，，

， 55

(2012江苏省徐州市)10）yxb（b4）xyA、B，与反比例函数y4的图象相交于点C、D（CD的左侧xCEx轴，DEy轴，CEDE相交于点E，⊙O是以CD长为半径的圆△CDECD坐标为▲（用含有b的代数式表示随着byxb与⊙O有哪些位置关系？求出相应byxy答案：1）0x4 1（2）d3m2，n 4由题意，可设图②中函数关系式为ya(x2)29 5∵图象过点(0,25)，∴25a(02)29，∴a4．故y4(x2)29 6当y16时，得164(x2)29 7

42

7，

42

742

742

70、42故点F出发422

742

7秒时，正方形EFGH面积为16 8如图，过点EEI⊥BC，垂足为I．则四边形DEIC为矩形∴EIDC3，CIDEx∵BFxIF42x 5∴正方形EFIH的面积＝EF2EI2IF2＝32(42x)2 6由题意，32(42x)216 7

42

7，

42

742

742

70、422244故44

8当y16时，即EF216，EF4 5过点EEI⊥BC，垂足为7在Rt△EFI中，IF2EF2EI21697．IF ．…67IBBFBFIB

7，4xx7，x(4x)

7，x427，x4

7 77

（第27题42

742

70、4故点F出发42

742

7秒时，正方形EFGH面积为16 8bb2bb2

bbb2bbb22

4bbb2当点E在⊙O上时，如图，连接OE，则易知△BAO是等腰直角三角形，从而

bbb2bb2x2y2x