梯形中的一题多解题

梯形的多解题若EF是△ABC的中位线，则EF∥BC，一、主要知识点1平行线等分线段定理及推论：2梯形中位线定理和三角形中位线定理：若EF是梯形中位线，则EF∥AD∥BC，ADEFBC若AE=BE,EF∥AD∥BC,则DF=CF.AEFBC若AE=BE,EF∥BC,则AF=CF.一、主要知识点3梯形中常添加的辅助线：AD

BCAD

BCAD

BCAD

BCAD

BCEEOEFEF二、例题和练习例1.已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB的中点，且∠A+∠B=90°.求证：方法三.证明：作ME∥AD交AB于E，MF∥BC交AB于F.∵AB∥CD,∴AE=DM,BF=CM.∴EF=AB-CD.∵∠A=∠1,∠B=∠2,又∵∠A+∠B=90°,∴∠1+∠2=90°.∴△MEF是直角三角形.在Rt△MEF中，EN=FN,N是EF的中点,例2.填空题：顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是_______________;顺次连结矩形各边中点所得的四边形是____________;顺次连结菱形各边中点所得的四边形是____________;顺次连结正方形各边中点所得的四边形是__________;顺次连结梯形各边中点所得的四边形是____________;顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是_________;顺次连结四边形各边中点所得的四边形是__________________.结论：中点四边形都是平行四边形；若原四边形对角线相等，则中点四边形是菱形；若原四边形对角线垂直，则中点四边形是矩形.二、例题和练习平行四边形菱形矩形正方形平行四边形菱形平行四边形例3.一题多证：已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD.以AD、AC为邻边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF=FB.方法一：提示：延长EC交EC交AB于M.AMCD是平行四边形，AD=CM；ACED是平行四边形，AD=CE.在△EMB中，CE=CM，CF∥AB.

∴EF=FB.（推论2）二、例题和练习例3.一题多证：已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD.以AD、AC为邻边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF=FB.方法二：提示：过E作EG∥AB交AD延长线于G.∵AG∥CE,CD∥EG.∴DG=CE.∵AD=CE,AD=DG,在梯形GABE中，D是AG中点，DF∥AB.∴EF=FB.（推论1）二、例题和练习例3.一题多证：已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD.以AD、AC为邻边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF=FB.方法三：提示：连AE交CD于O.∵ACED是平行四边形，

∴AO=EO.在△EAB中，O是AE中点，OF∥AB，∴EF=FB.（推论2）二、例题和练习例4.已知：如图，EF为梯形ABCD的中位线，AH平分∠DAB交EF于M，DM的延长线交AB于N.求证：△AND是等腰三角形.证明：∵EF为梯形ABCD的中位线，∴EF∥AB.在△DAN中，E为AD的中点，EM∥AB.∴M为DN中点(推论2).∵AH是∠DAB的平分线，∴∠1=∠2.又∠2=∠3，∴∠1=∠3.即AN=AD.△AND是等腰三角形.二、例题和练习例5.根据要求将下面题目改编为一道新题.已知：如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,PA=PD.求证：PB=PC.请将上述题目的条件“在等腰梯形ABCD中，AD∥BC”改为另一种四边形.其余条件不变，使结论“PB=PC”仍然成立.再根据改编后的题目，画出图形，写出已知和求证，并进行证明.[解]已知：矩形ABCD中，PA=PD.求证：PB=PC.证明：∵PA=PD,∴∠1=∠2.在矩形ABCD中，AB=DC.∠BAD=∠CDA=90°.∴∠3=∠4.∴△BAP≌△CDP.∴PB=PC.二、例题和练习例6.有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边上的中点，将C点折至MN上，落在P点位置，折痕为BQ，连结PQ.求MP的长.解：连结BP.∵BQ是△BQC和△BQP的对称轴.∴△BQC≌△BQP,∴BP=BC=1.∵M、N是AD、BC边上的中点，在Rt△BNP中，二、例题和练习三、练习题求证：三角形两边中点的连线与第三边上的中线互相平分.已知：△ABC中，AD是BC中线，E、F分别是AB、AC中点.求证：AD、EF互相平分.提示：连ED，FD.

∵ED是ABC的中位线,

∴ED∥AF,

∴四边形AEDF是平行四边形.即AD、EF互相平分.对角线互相垂直的四边形各边中点的连线，构成的四边形是___________.如图，梯形ABCD中，AD∥BC,中位线EF分别与BD、AC交于G、H.若AD=6，BC=10，则GH=__________.三、练习题矩形2三、练习题一题多解.已知：如图，ABCD中，AD=2AB.延长BA到E，延长AB到F，使EA=AB=BF.EC交FD于O点.求证：EC⊥FD.方法一.提示：∵AD=2AB,AF=2AB.∴AD=AF.∴∠1=∠F.∵CD∥EF,∴∠2=∠F.∴∠1=∠2.同理，∠3=∠4.EC⊥FD.三、练习题一题多解.已知：如图，ABCD中，AD=2AB.延长BA到E，延长AB到F，使EA=AB=BF.EC交FD于O点.求证：EC⊥FD.方法二.提示：连MN.∵AD=AF,又∠1=∠F，CD∥EF，∠2=∠F.∴∠1=∠2，∠1=∠3.∴∠2=∠3，CD=CN.同理CD=DM,∴四边形DMNC是菱形，∴EC⊥FD.三、练习题一题多解.已知：如图，ABCD中，AD=2AB.延长BA到E，延长AB到F，使EA=AB=BF.