高中数学人教A版3第二章随机变量及其分布单元测试

第二章综合检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n，如果P(ξ<4)＝，那么n的值为eq\x(导学号03960584)()A．3 B．4C．9 D．10[答案]D[解析]∵P(ξ<4)＝eq\f(3,n)＝，∴n＝10.2．(2023·北京东城区高二检测)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为eq\x(导学号03960585)()A．eq\f(5,12) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[答案]A[解析]根据相互独立事件与互斥、对立事件的概率公式得P＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(3,4))＋(1－eq\f(2,3))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12)，故选A．3．已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D(X)等于eq\x(导学号03960586)()X01Pm2A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]由m＋2m＝1得，m＝eq\f(1,3)，∴E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝(0－eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(2,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，故选B．4．(2023·天水高二检测)设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一个必要不充分条件是eq\x(导学号03960587)()A．a＝1或2 B．a＝±1或2C．a＝2 D．a＝eq\f(3－\r(5),2)[答案]B[解析]∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1或2.故选5．如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，则p等于eq\x(导学号03960588)()A．eq\f(1,7) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,4)[答案]A[解析]如果随机变量ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)，又E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，∴np＝7，np(1－p)＝6，∴p＝eq\f(1,7).6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是eq\f(3,10)的事件为eq\x(导学号03960589)()A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的[答案]C[解析]X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,10))(k＝1、2、3、4)．∴P(X＝1)＝eq\f(1,30)，P(X＝2)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)，P(X＝4)＝eq\f(1,6)，∴选C．7.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是eq\f(1,2)，则小球落入A袋中的概率为eq\x(导学号03960590)()A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8) D．eq\f(3,4)[答案]D[解析]小球落入B袋中的概率为P1＝(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))×2＝eq\f(1,4)，∴小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝eq\f(3,4).8．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为eq\x(导学号03960591)()A．13,4 B．13,8C．7,8 D．7,16[答案]D[解析]由已知E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，得E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是eq\x(导学号03960592)()A． B．8C．16 D．[答案]A[解析]X的取值为6、9、12，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).E(X)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝.10．设随机变量ξ服从分布P(ξ＝k)＝eq\f(k,15)，(k＝1、2、3、4、5)，E(3ξ－1)＝m，E(ξ2)＝n，则m－n＝eq\x(导学号03960593)()A．－eq\f(31,9) B．7C．eq\f(8,3) D．－5[答案]D[解析]E(ξ)＝1×eq\f(1,15)＋2×eq\f(2,15)＋3×eq\f(3,15)＋4×eq\f(4,15)＋5×eq\f(5,15)＝eq\f(11,3)，∴E(3ξ－1)＝3E(ξ)－1＝10，又E(ξ2)＝12×eq\f(1,15)＋22×eq\f(2,15)＋32×eq\f(3,15)＋42×eq\f(4,15)＋52×eq\f(5,15)＝15，∴m－n＝－5.11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为eq\x(导学号03960594)()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,6)[答案]C[解析]由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝eq\f(1,3)(3a)·b≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋b,2)))2＝eq\f(1,12)，等号在3a＝b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,2)时成立．12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为eq\x(导学号03960595)()A．eq\f(7,4) B．eq\f(77,20)C．eq\f(3,4) D．eq\f(7,3)[答案]A[解析]由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,20).所以ξ的分布列为ξ1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,20)＝eq\f(7,4).二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(2023·泉州高二检测)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝aξ－2，E(η)＝1，则D(η)的值为\x(导学号03960596)[答案]11[解析]根据题意得出随机变量ξ的分布列：ξ01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)E(ξ)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝eq\f(3,2)，∵η＝aξ－2，E(η)＝1，∴1＝a×eq\f(3,2)－2，即a＝2，∴η＝2ξ－2，E(η)＝1，D(ξ)＝eq\f(1,2)×(0－eq\f(3,2))2＋eq\f(1,20)×(1－eq\f(3,2))2＋eq\f(1,10)×(2－eq\f(3,2))2＋eq\f(3,20)×(3－eq\f(3,2))2＋eq\f(1,5)×(4－eq\f(3,2))2＝eq\f(11,4)，∵D(η)＝4D(ξ)＝4×eq\f(11,4)＝11.故答案为11.14．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝\x(导学号03960597)[答案]eq\f(2,3)[解析]由条件知，P(A)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(2,3).15．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为，亏损100元的概率为，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是________元.eq\x(导学号03960598)[答案]140[解析]设此人获利为随机变量X，则X的取值是300，－100，其概率分布列为：X300－100P所以E(X)＝300×＋(－100)×＝140.16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是______(写出所有正确结论的序号).eq\x(导学号03960599)①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．[答案]②④[解析]从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故④正确，易知P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，又P(B|A1)＝eq\f(5,11)，P(B|A2)＝eq\f(4,11)，P(B|A3)＝eq\f(4,11)，故②对③错；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,11)＋eq\f(1,5)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学.eq\x(导学号03960600)(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．[解析](1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)＝eq\f(A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,18)，即甲、乙两人同时分到A社区的概率是eq\f(1,18).(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6)，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是P(eq\x\to(E))＝1－P(E)＝eq\f(5,6).(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i个同学到A社区，则p(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3).所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝eq\f(2,3)，ξ的分布列是：ξ12peq\f(2,3)eq\f(1,3)∴E(ξ)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).18．(本题满分12分)(2023·重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个.eq\x(导学号03960601)(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．[解析](1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的可能取值为0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)综上知，X的分布列为：X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)故E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)(个)．19．(本题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.eq\x(导学号03960602)(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；工序概率产品第一工序第二工序甲乙(2)已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，求ξ、η的分布列及E(ξ)，E(η)；等级利润产品一等二等甲5(万元)(万元)乙(万元)(万元)(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(2)的条件下，x、y为何值时，z＝xE(ξ)＋yE(η)最大？最大值是多少？项目产品工人(名)资金(万元)甲85乙210[解析](1)P甲＝×＝，P乙＝×＝.(2)随机变量ξ、η的分布列是ξ5PηPE(ξ)＝5×＋×＝，E(η)＝×＋×＝.(3)由题设知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋10y≤60，,8x＋2y≤40，,x≥0，,y≥0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,4x＋y≤20，,x≥0，y≥0.))目标函数为z＝xE(ξ)＋yE(η)＝＋.作出可行域(如图)：作直线l：＋＝0，将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝＋取最大值．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝12，,4x＋y＝20.))得x＝4，y＝4，即x＝4，y＝4时，z取最大值，z的最大值为.20．(本题满分12分)(2023·天津理，16)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.eq\x(导学号03960603)(Ⅰ)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率(Ⅱ)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．[解析](Ⅰ)由已知有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3).所以，事件A发生的概率为eq\f(1,3).(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).所以，随机变量X分布列为X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(4,15)＝1.21．(本题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：eq\x(导学号03960604)(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数eq\x\to(x)和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\x\to(x)，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求p<Z<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间,的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：eq\r(150)≈.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝.[解析](1)抽取产品的质量指标值的样本平均数eq\x\to(x)和样本方差s2分别为eq\x\to(x)＝170×＋180×＋190×＋200×＋210×＋220×＋230×＝200，s2＝(－30)2×＋(－20)2×＋(－10)2×＋0×＋102×＋202×＋302×＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P<Z<＝P(220－<Z<200＋＝.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间,的概率为，依题意知X～B(100,，所以E(X)＝100×＝.22．(本题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是eq\f(1,2